Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 87
Текст из файла (страница 87)
В этом случае А (х) — коэффициент теплопроводности; и> (х) = йи = -Й (х) — — плотность потока тепла; в (х) — коэффициент теплоотдадх чи (ди — мощность стоков тепла, пропорциональная температуре и); ~(х) — плотность источников тепла (при ~ < Π— плотность стоков тепла). Уравнение (15.1) описывает также установившееся распределение плотности нейтронов в реакторе, характеристики которого зависят от одной пространственной переменной х. В такой трактовке и (х) — это полный поток нейтронов, Й (х) — коэффициент диффузии, а (х) сечение поглощения, ~(х) — плотность источников нейтронов. То же уравнение описывает и стационарные процессы диффузии газов (растворов) в пористых средах; и (х) рассматривается тогда как концентрация диффундирующего вещества.
Поэтому уравнение (15.1) часто называют однолерныл уравнением диффузии. Рассматриваемое уравнение имеет приложения и в других областях техники и естествознания (деформации струн и стержней, распространение электромагнитных волн и т. д.) Далее будем считать функции х (х), в (х), ~(х) заданными и предполагать, что выполнены неравенства Аналогичное условие для правого торца имеет вид — Ь (Ь) и'(Ь) = Основное внимание в этой главе будет уделено краевой задаче (15.3) (15.4) Л [и](х) = Дх), а ( х < Ь, и (а) = иа, и (Ь) = иь.
Здесь ь — дифференциальный оператор, определяемый следующим образом: ~ [и](х) = -(Ь (х) и'(х)) ' + д ( ) (х). 485 2. Разрешимость краевой задачи. Будем считать, что коэффициенты у и ~ непрерывны на отрезке [а, Ь], коэффициент Й непрерывно дифференцируем на [а, Ь] и выполнены условия (15.2). Назовем дважды непрерывно дифференцируемую на отрезке [а, Ь] функцию и (х) решением (классическим решением) краевой задачи (15.3), (15.4), если и (х) является решением дифференциального уравнения (15.3) и удовлетворяет краевым условиям (15.4). Приведем без доказательства известные из теории дифференциальных уравнений результаты о разрешимости рассматриваемой краевой задачи и о гладкости ее решения. Т е о р е и а 15.1. Решение краевой задачи (15,3), (15.4) существует и единственно.
Т е о р е и а 15 2 Пусть хозффициенты в и ~ являются т раз, а козффициент Й вЂ” т + 1 раз непрерывно дифференцируемыми на отрезке [а, Ь] функциями. То1да решение и (х) краевой задачи (15.3), (15.4) есть непрерывно дифференцируемая т + 2 раза на отрезке [а, Ь] функция. 3. Принцип максимума. Важным свойством уравнения (15.3) является наличие так называемого принципа макси иума.
Приведем один из вариантов его формулировки. Т е о р е и а 15.3. Пусть и (х) — решение задачи (15.3), (15.4). Тоьда если ~ (х) < О, иа < О, иь ~ О, то и (х) < О. Теорема 15.3 имеет простой физический смысл. Если отсутствуют источники тепла и температура торцов стержня неположительна, то ни в одной из внутренних точек стержня температура не может стать положительной.
Заметим, что произвольную дважды непрерывно дифференцируемую функцию и (х) можно рассматривать как решение краевой задачи (15.3), (15.4), если специальным образом выбрать правую часть ~ и кРаЕвыЕ ЗнаЧеыиЯ иа, иЬ, а именно положить |(х) = Х [и](х), иа = и (а), иь = и (Ь). Учитывая это замечание, сформулируем теорему 15.3 иным образом. шах ~ и (х) ~ 4 птах ( ( иа ), ~ иЬ [) + К гпах ~ Дх) [. [а, Ь] [а, Ь] И с1х Здесь К= —, й= ] —,1= Ь вЂ” а.
4' аЬ х)' 3 а м е ч а н и е 1. Неравенства типа (15.5) принято называть априорными оценкалги решения. 3 а м е ч а н и е 2. Если коэффициент Ь (х) рассматривать как 1 коэффициент теплопроводности, то — — это коэффициент теплов (х) сопротивления, а тг = ] — — это полное теплосопротивление Ь (х) стержня. 3 а м е ч а н и е 3. При Ь (х) = 1 уравнение (15.3) принимает вид -и "(х) + у (х) и (х) = Дх). (15.5) В этом случае Я = ! и оценку (15.5) можно уточнить следующим образом: т2 тпах ~ и (х) [ 4 гпах ( ) иа ), ) иь | ) + — гпах ! У(х) [.
(15.7) [а, Ь] [а, Ь] Рассмотрим теперь вопрос о влиянии погрешностей задания краевых значений иа, иь и пРавой части ~ на Решение кРаевой заДачи. Пусть и (х) — решение краевой задачи (15.3), (15.4), а и '(х) — решение краевой задачи Ь [и'](х) = ~*(х), а < х < Ь, и*(а)= а ()= ь 486 Т е о р е и а 15.4. Пусть и (х) — дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке [а, Ь] функция, удовлетворяющая неравенстпва и г: [и] ~~ О, и (а) 4 О, и (Ь) ~ О. Тогда и (х) < О. Из теоремы 15.4 вытекает следующее утвермгдение.
Т е о р е м а 15.5 (теорема сравнения). Пусть и (х), о (х) — дважды непрерывно дифференцируелгые на отпрезке [а, Ь] функции, удовлетпворяющие неравенствам Х [и] < Х [о], и (а) К о (а), и (Ь) < о (Ь). Тогда и (х) ~ и (х). 4. Априорная оценка и устойчивость решения. Используя теорему сравнения, можно вывести оценку максимума модуля решения и (х) через данные краевой задачи. Т ео р ем а 15.6.
Справедлива следующая оценка решения краевой задами (15.3), (15.4): Здесь |*(х) — непрерывная функция, рассматриваемая как приближенно заданная (с погрешностью б~"(х) = ~(х) — ~*(х)) правая часть уравнения; и*, иЬ* — приближенно заданные (с погрешностями х = и„— — и*, еЬ = щ — и*) краевые значения. Т е о р е и а 15.7. Справедлива оиенка гпах /и (х) — и*(х)~ ч тпах (~е~~, ~еь~) + К п1ах [бт(х)/, (15.8) [а, Ь] [а, Ь] тде К вЂ” та же постпоянная, чтпо и в неравенстве (15.5).
а Для доказательства достаточно заметить, что функция е (х) = = и (х) — и'(х) является решением краевой задачи Ь [я](х) = б~(х), а ( х < Ь, з(а) =е„е(Ь) =еь, и воспользоваться для оценки величины шах ~ е (х) ~ теоремой 15.6. ° [а, Ь] Из оценки (15.8) видно, что в случае, когда величина К не очень велика, краевая задача (15.3), (15.4) хорошо обусловлена.
Если же К > 1, то задача является плохо обусловленной. В этом случае погрешности порядка б задания правой части уравнений может отвечать погрешность порядка Кб решения задачи. Ниже при рассмотрении численных методов решения краевой задачи будем предполагать, что она хорошо обусловлена. 3 а м е ч а н и е. Если рассматривается устойчивость решения краевой задачи для уравнения (15,6), то в оценке (15.8) следует заменить К на Р/8. ~ 15.2.
Метод конечных разностей: основные понятия Метод конечных раэностпей (или метод сеток) является одним из универсальных и широко используемых методов решения краевых задач. Его популярность во многом объясняется относительной простотой подхода к дискретизации дифференциальных уравнений. Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента заменяют конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемым сетпкой. Вместо функций непрерывного аргумента.рассматривают функции, определенные только в узлах сетки, — сеточные 487 -и (х) + д (х) и (х) = 1(х), а < х < 6, (15З) и (а) = иа и (6) = и6. (15.10) 1.
Построение сетки и введение сеточных функций. Произведем дискретизацию области непрерывного изменения аргумента х, заменив отрезок (а, 6] сеткой мЛ вЂ” конечным набором точек а = хо< х~< ... < хЛ = = 6 (рис. 15.1). Точки х, называются х„=6 х о=А', х, Рис. 1,7.1 узла.ии сетки ~А Для простоты изложения в этом параграфе будем считать сетку равномерной с шагом Ь = (6 — а)/Х Тогда х; — х; ~ — Ь для всех ~ = 1, 2, ..., У, Заметим, что при У -+ м шаг Ь 0 (сетка измельчается). Сетка м естественным образом разбивается здесь на два подмно- Л жества: м = ыЛ 0 1 .
Множество внутренних узлов мЛ состоит из тех -Л Л узлов хь (1 ч 1 ч У вЂ” 1), которые лежат внутри интервала (а, 6). Множество ~раничнмх узлов г состоит из двух узлов хо — — а и ху = 6, Л лежащих на границе отрезка [а, 6]. Далее будем вычислять решение краевой задачи не в произвольных точках отрезка (а, 6], а только в узлах сетки Р'. Таким образом, искомой окажется не функция и, а сеточная функция' и". Значения и"(х,) 1 Сеточные функции использовались нами и в предыдущей главе. 488 фуниции. Производные, которые входят в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяют их разностными аналогами — линейными комбинациями значений сеточных функций в некоторых узлах сетки.
В результате краевую задачу заменяют дискретной краевой задачей (разностной схе иой)„представляющей собой систему конечного числа линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Решение разностной схемы (предполагается, что оно существует) принима-' ют за приближенное решение краевой задачи. Несмотря на кажущуюся простоту метода, при его использовании приходится решать ряд проблем. Например, следует иметь в виду, что для одной краевой задачи можно построить большое число различных, разностных схем, среди которых далеко не все пригодны для использования на практике.
В этом параграфе мы покажем, как применяется разностный метод для решения краевой задачи (15.3), (15.4), ограничиваясь для просто- ' ты изложения случаем уравнения с постоянным коэффициентом Ь (х) = 1. В этом случае краевая задача принимает вид этой функции в узлах х; будем обозначать через и, и рассматривать как приближения к значениям и (х;) решения задачи (15.9), (15,10). Введем также сеточные функции д" и Р, принимающие в узлах сетки оР значения 4; = 4 (х,) и Я = ~(х,).
2. Построение разностной схимы. Напомним (см. гл. 12), что производную и (х) можно аппроксимировать второй разностной производной: и (х- Л) — 2и (х) + и (х+ Л) (15.11) Ьг с погрешностью гь(х) = и<~'(~) —, где ~ Е [х — Ь, х + Ь). Используя формулу (15.11), заменим теперь в каждом из внутренних узлов х; (1 < ~ < У вЂ” 1) дифференциальное уравнение (15.9) приближенным равенством и (х,1) — 2и (х,) + и(х;,1) Лг +,, (;)нУ, (15.12) связывающим неизвестные значения решения в трех последовательных узлах сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
