Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Такие уравнения называют линейны ии однородными раэностныли ураоненияли Ь-го порядка с постоянныли коэффициентами. Пусть у*" — решение того же уравнения, .соответствующее возмущенным начальным значениям у', у,*, ..., у~,. Тогда в силу линейно- сти уравнения погрешность еп = у„— у„* также является его решением: (14.87) его г+ егге + ... + ече -ы = О.
Будем искать частное решение уравнения (14.87) в виде е„= оп. Подставляя е„,1 — — ~п" г 0 = О, 1, ..., Ь) в (14.87), и сокращая на об- 454 где К (Т) не зависит от Ь. Методы, для которых неравенство (14.85) выполнено в случае, когда решается задача Коши для однородного уравнения у' = О, будем называть нуль-устойчивыли. Чтобы отбросить те из методов (14.83), которые заведомо не обладают свойством нуль — устойчивости, применим метод (14.83) к решению задачи Коши для уравнения у' = О.
В этом случае ~— : О, Ф— : О и уравнение (14.83) принимает вид щий множитель уп" ", видим, что величина 4 должна удовлетворять уравнению ао д1' + о,1 Чй-1 + + щ — 0 (14.88) которое называют характеристическим уравнением, соответствующим методу (14.83). Многочлен Р (д) = аВд" + а1дк ' + ... + аь называется характеристическил1 лногочленол. Приведем некоторые факты, известные из теории линейных разностных уравнений. Пусть д — корень уравнения (14.88) (вообще говоря, комплексный). Тогда сеточная функция зп = дп является решением разностного уравнения (14.87).
Если же 4 — кратный корень кратности т ~ 2, то ему отвечают частные решения д" пд" пг4" ... и~14п. Опишем теперь структуру общего решения разностного уравнения. Пусть 41, вг, ..., в„— коРни хаРактеРистического УРавнениЯ, а т1, тг, ..., тг— их кратности (т1 + тг + ... + т„= к). Тогда всякое решение уравнения (14.87) может быть представлено в виде' т1-1 тпг 1 тт-1 Е с'йп19п+ Е с'11п1уп+ ... + Е с~0 п19п. 1 -в 1 -в 1 -о (14.89) В частности, если все корни 41, 4г, ..., 4„— простые, то для всякого решения уравнения (14.87) справедливо представление ' = сХ + его+ . + "Ь". 1 Если среди корней характеристического уравнения имеется корень д = 0 кратности в, то представление (14.89) верно при и ~ ~а 455 Оказывается, что наличие или отсутствие у метода (14.83) нуль- устойчивости определяется исключительно расположением корней характеристического уравнения.
Будем говорить, что выполнено корневое условие, если все корни д1, Дг, ..., 4г хаРактеРистического УРавнениЯ лежат внУтРи или на гРанице единичного круга комплексной плоскости (т.е. удовлетворяют условию ~ 4,~ ~ 1, г = 1, 2, ..., т), причем на границе единичного крута нет кратных корней. Заметим, что в силу равенства (14.30) число 4 = 1 всегда является корнем характеристического уравнения.
Т е о р е м а 14.9. Для того чтобы ~иетод (14.83) обладал нуль- устойчивостью, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось корневое условие, а Ограничимся доказательством необходимости выполнения корневого условия. Предположим, что метод обладает свойством нуль-устой- чивости, а корневое условие не выполнено. Тогда характеристическое уравнение имеет либо корень д такой, что ~д~ ) 1, либо корень кратности т ~ 2 такой, что ~9~ = 1. В первом случае сеточная функция еЬ со значениями еи = бди есть решение разностного уравнения (14.87), соответствующее заданию начальных значений я, = е4' (1 = О, 1, ..., й — 1).
Во втором случае решением, соответствующим заданию начальных значений е, = я19' (г = О, 1, ..., а — 1), является функция е" со значениЯми еи = яики. И в том, и в дРУгом слУчалх благодаРЯ выбору е начальные погрешности могут быть сделаны сколь угодно малыми, но в то же время ~еи~ -+ х при п ~ м. Т вЂ” ~о Учитывая, что Р = — со при И О, получим ~уу — уу) = ~еу~ ~ ~ при Л ~ О, т.е.
неравенство (14.85) не может выполняться для всех 6. Итак, необходимость корневого условия доказана. Й Т е о р е м а 14 10. Яастоды Руньс — Кутты и Ада иса обладают свойство,и нуль-устойчиоости. с Методам Рунге — Кутты соответствует однородное разно стное уравнение у„+1 — у„= О, а ему, в свою очередь — характеристическое уравнение 9 — 1 = О. Последнее имеет один простой корень 9 = 1, т.е. корневое условие выполнено. Аналогично, х-шаговому методу Адамса соответствует разностное уравнение у„1 — уи + О ° у„1 + ...
+ О уи ~ 1 — — О, а ему — характеристическое уравнение д" — дь1 = О. Последнее имеет один простой корень д1 — 1 и корень о2 —— О кратности а — 1, т.е. корневое условие здесь также выполняется.® Пример 14.17. Рассмотрим метод уи~! + уи — 2упч 5А+ Уи-1 (14.90) б имеющий второй порядок аппроксимации|. Попытаемся применить его для численного решения задачи Коши у (ь) = сов 4, у (О) = О.
Заметим, что функция у (г) = в1п1 является ее решением. Возьмем шаг Ь = 0.1. Положим уо = 0 и в качестве второго начального значения, необходимого для расчета по методу (14.90), примем у1 = 0.1. Так как у (0.1) = 0.099833..., то абсолютная погрешность значения у1 не превышает 2. 10-4.
В наличии второго порядка аппроксимации можно убедиться самостоятельно. 456 График полученного приближения изображен на рис. 14.13. При 1 ) 0.7 !погрешность уже становится заметной. Далее она быстро развивается и при " 1 й 1.4 потеря точности становится катастрофической. Попытка увеличить точность решения за счет уменьшения шага вдвое приводит лишь к еще более быстрому нарастанию погрешности. Полная потеря точности происходит здесь уже при 1 в 0.9.
Проверим теперь, выполняется ли для метода (14.90) корневое условие. Характеристическое уравнение имеет вид 4т + д — 2 = О. Корня- Рис. Ц.13 ~~.ми уравнения являются числа д~ = 1, д~ = -2. Так как ~ 42~ = 2 ) 1, то ~,корневое условие нарушено. Отсутствие у метода (14.90) нуль-устойчивости и ' служит причиной наблюдаемого неконтролируемого роста погрешности. Такого рода колебания приближенного решения, вызванные ростом погрешности, иногда называют четко — нечетной болтанкой~. Таким образом, для того чтобы численный метод можно было использовать на практике, необходимо, чтобы он был нуль — устойчивым. Игнорирование этого требования даже для методов, обладающих высоким порядком аппроксимации, приводит к катастрофической потере точности. ~ Конечно это не математический термин, а жаргон.
457 Оказывается, что для линейных многошаговых методов выполнение корневого условия гарантирует не только нуль-устойчивость метода, ио и устойчивость метода на конечном отрезке по начальным значениям и правой части в смысле определения устойчивости (14.28), введенного в у 14.2. Т е о р е м а 14.11. Пусть выполнено условие ~~'~ ~~ Ь. Предполоу жилг, что линейный лгногошаговый иетод (14.82) удовлетворяет корнево иу условию и при,до 1 0 (т.е. для неявного лгетода) выполнено дополнительное условие на шаи Ь < Ьо — — . Тогда лгетод (14.82) 1 его! 2,Во Ь уст ойчив на кон ечн ол отрезке.
Доказательство этой теоремы можно найти в ~71~. 2. Абсолютная устойчивость. Как уже отмечалось в у 14.1, необхог димость решения задачи Коши на больших временных отрезках ~го, 7~ возникает в самых различных областях науки и техники. Наибольший интерес в этих случаях представляет изучение устойчивых решений. Отметим, что нуль — устойчивость гарантирует устойчивое развитие погрешностей при Ь ~ 0 только в том случае, когда отрезок интегрирования ~1о, 1~ фиксирован.
Однако наличие нуль — устойчивости вовсе не исключает того, что сколь угодно малая погрешность в начальных значениях при неограниченном росте 1„(при Т ~ о) может приводить к сколь угодно большой погрешности решения. Значительную часть таких заведомо непригодных для решения задачи Коши на больших l временных отрезках методов можно отбросить, если исследовать результат их применения к решению модельной задачи У = Лу У (го) = Уо (14.91) /с /с — Е гггу„г.г — — Л Х фЬЛ)у„,г г. "У=о г=о (14.92) Здесь рг(ЬЛ) — некоторые зависящие от величины г = ЛЬ функции. В силу линейности уравнения (14.92) ошибка еп = у„— у„*, возни- Напомним (см.
~ 14.1), что решение этой задачи устойчиво по Ляпунову, если комплексный параметр Л удовлетворяет условию ИеЛ ( О, и асимптотически устойчиво, если ВеЛ < О. Большинство используемых дискретных методов (в том числе и методы Рунге — Кутты и Адамса) в применении к задаче (14.91) становятся линейными и приобретают вид кающая из-за погрешностей в начальных значениях, удовлетворяет тому же уравнению: /с — Е «тр„, =.Л Е Ру(ЬЛ) „, "1=о ро Перепишем это уравнение в виде (14.93) где т (т) = а~ — газ), г = ЬЛ. Заметим, что (14.93) — это линейное однородное разностное уравнение. Поэтому для того чтобы при фиксированном г погрешность еп оставалась ограниченной при п -~ с~, необходимо и достаточно выполнение корневого условия для отвечающего уравнению (14.93) полинома.
Назовем метод (14.83) абсолютно устойчиоь«и для данного г = ЬЛ, если при этом л все корни полипома устойчивости Ь Р (д, г) = Е Ь(х)4~ ) р'= О (14.94) лежат в комплексной плоскости внутри единичного круга и на границе этого круга нет кратных корней. Множество Х) точек комплексной плоскости, состоящее из тех ю, для которых метод абсолютно устойчив, называют областью абсолютной устойчивости метода. Пример 14 18. Найдем область абсолютной устойчивости метода Эйлера. Применительно к модельному уравнению у = Лу расчетная формула метода Эйлера принимает вид уп+« — — у„+ ЬЛуп.
Запишем соответствующее разностное уравнение для погрешности оп+1 (1 + ЬЛ)еп — 9 (14.95) 459 и заметим, что полипом устойчивости Р (««, г) = д — (1 + г) имеет один прос— той корень д = 1 + а Область абсолютной устойчивости состоит здесь из тех ~ = ЬЛ, для которых ~ 1 + г~ ~~ 1, и представляет собой в комплексной плоскости круг единичного радиуса с центром в точке го = -1 (рис. 14.14, а). Тот же результат нетрудно установить, не используя полипом устойчивости и корневое условие. Действительно, из уравнения (14.95) следует, что е„= = (1 + ЬЛ)"ео.
Поэтому ~я„) = «1 + ЬЛ«"ео и е„ м при п ~ ю, если ~1 + + ЬЛ~ > 1. В этом случае метод не является устойчивым. Наоборот, если ~1 + ЬЛ ~ < 1, то ~еп! < ~ео( и метод устойчив. а) Рис. Ц.Ц Пример 14.19. Найдем области абсолютной устойчивости для неявного метода Эйлера (14.24), правила трапеций (14.25), метода Эйлера — Коши (14.61) и усовершенствованного метода Эйлера (14.62). Применительно к модельному уравнению неявный метод Эйлера принимает вид у„+1 = уа + ЬЛу„,ь Соответствующий полипом устойчивости (1 — г)д — 1 имеет единственный корень д = (1 — г) '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
