Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Условие ) д) ~ 1 эквивалентно здесь условию ~ 1 — 4 ~ 1. Таким образом, область устойчивости представляет собой внешнюю часть единичного круга с центром в точке го = 1 (рис. 14.14, б). ЬЛ Для правила трапеций у +1 = у„+ — (уп + дп,1) полином устойчивости и 2 г Р (д, х) = (1 — -) д — (1 + -) имеет корень д = (2 + г)/(2 — а). Условие ~ 41 ~~ 2 2 ~ 1 эквивалентно здесь неравенству Нею ~~ О. Поэтому область устойчивости представляет собой левую полуплоскость (рис, 14.14, и).
Применительно к уравнению у ' = Лу расчетные формулы методов (14.61) и ЬЛ (14.62) совпадают: у„,1 = у„+ — (2 + ЬЛ)у„. Корнем полинома устойчивости 2 ~г д1 д — (1 + г + — ) является д = 1 + г + —. Область абсолютной устойчивости 2 2 изображена на рис. 14.14, а Для сравнения на рис. 14,14, д схематично изображена область абсолютной устойчивости метода Рунге — Кутты четвертого порядка точности.
460 2 Ьч Ьо= —. !л! (14.96) Такое же ограничение на шаг возникает при использовании метода Эйлера — Коши и усовершенствованного метода Эйлера. В то же время метод Рунге — Кутты четвертого порядка точности оказывается абсолютно устойчивым при выполнении чуть менее ограничительного условия 2.8 Ьч Ьо~ — ' ~Л~ ' (14.97) Отметим, что при Л < 0 неявный метод Эйлера и правило трапеций оказываются абсолютно устойчивыми при любых Ь.
3. А-устойчивость. Для того чтобы исключить ограничение на шаг Ь при решении устойчивой по Ляпунову модельной задачи (14.91), необходимо потребовать, чтобы область абсолютной устойчивости метода включала в себя полуплоскость йег < 0, Численный метод, обладающий таким свойством, называют А-устпойчивил, Примерами А — устойчивых методов служат неявный метод Эйлера и правило трапеций. В то же время метод Эйлера и метод Рунге — Кутты четвертого порядка точности не являются А-устойчивыми. $14.9.
Неявный метод Эйлера Как следует из результатов предыдущего параграфа, простейшим представителем семейства А-устойчивых методов является неявный метод Эйлера Уп+1 = Уп + Ч(оп+и Уп+1)- (14.98) Как нетрудно понять, геометрическая интерпретация одного шага метода (14.98) заключается в том, что решение на отрезке [1„, аппроксимируется касательной у = Уа ~ + У'(М„+д)(М вЂ” Х„+~), проведенной в точке (1„,~, у„,~) к интегральной кривой, проходящей через эту точку (рис. 14.15).
Достоинства неявного метода Эйлера проявляются при решении 461 Предположим, что параметр Л, входящий в модельное уравнение ~(14.91), отрицателен. Тогда условие абсолютной устойчивости метода ~ Эйлера ~1 + ЬЛ ~ ~~ 1 оказывается эквивалентным неравенству дифференциальных уравнений, имеющих устойчивые по Ляпунову решения. Как уже отмечалось в ~ 14.2, достаточным условием такой устойчивости является выполнение одностороннего условия Липшица ~ ~ О.
У Пусть у" — решение дискретной задачи Коши для уравнения (14.98) соответствующее начальному условию у~'(1о) = уо, а у'" — решение возмущенной Рис. Д.15 задачи у„'„= у„'+ Ь И(~ г, у„'„) + Ф ), (14.99) у ~(го)=у . Аналогично теореме 14.5 можно доказать следующий результат. Т е о р е и а 14.12.
Пусть функция г" удовлетворяет условию ~' ~~ О. У То~да справедливо неравенство Ф-1 х 1у - у„*1'1уо-у,*1+ Ь ~1Фа1, О(иО (14.100) овначающее, что неявный лгетод Эйлера устойчив на конечнолг отрезке. Заметим, что неравенство (14.100) является дискретным аналогом оценки (14.16), справедливой для погрешности решения задачи Коши (при этом К (Т) = 1). Следует отметить, что оно верно для метода (14.98) при любых Ь, в то время как для явного метода Эйлера это неравенство имеет место только если — Т, ( ~' ~ 0 и Ь ~ Ьо — — 2/Ь. Для неявного метода Эйлера справедлив и дискретный аналог оценки (14.17).
Т е о р е и а 14 13. Пусть функция ~ удовлетворяет условию ~' ~ ~о < О. Тогда справедливо неравенство 1у„— у'1 4е " 1у — у 1 + — гпах 1ф~1, аЬ(~„-~о) гг о 0~~ Ус<и 462 (14.101) где оЬ = - о при Ь - О. 1 — гтЬ Из того, что неявный метод Эйлера устойчив и имеет первый порядок аппроксимации, вытекает (в силу теоремы 14.4) его сходимость с первым порядком. Приведем соответствующий результат. Т е о р е м а 14.14.
Пусть функция ~ удовлетворяет условию 1' 4 О. У. Тогда для неявного лгетода Эйлера справедлива следуюигая оценка по гр егина сти: Т гпах ( у„— у„' ~ ( ( ~ у "(г) ~ Ю- Ь. О ~ ~~~У 10 (14.102) Если же функция 1" удовлетворяет условию 1' ~ о < О, то верна У оценка М2 пгах ~ у„— у'~ < — ~ — + Ь1Ь, 2 ~~о) 0 ~~ гг~~Х (14,103) где ЛХг — — шах ) у"(1) !. ~~о, 2] Последняя оценка замечательна тем, что ее правая часть не растет с ростом Т, если вторая производная решения ограничена. ~ 14.10. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений т-го порядка У1(1) Я(1~ У1(г) ~ У2(г)г "") Уггг(г))~ у,(1) = Л(1, у ( ), у2(1), —, у (1)) (14.104) У,г(1) = Хгг(~, У1(~) Уг(~)~ " Ут(")).
463 1. Задача Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка. Как правило, возникающие в приложениях проблемы приводят к необходимости решать задачу Коши не для одного дифференциального уравнения, а для систем дифференциальных уравнений вида ЗДЕСЬ У1(1), У2(1), ..., Ун(~) — ИСКОМЫЕ ФУНКЦИИ, ЗНаЧЕНИЯ КОТОРЫХ подлежат опРеделению пРи И[1о, 71.
В момент вРеменн 1 = Ц задаютсЯ начальные условия у1(~о) = у1о у«(~о) = у2о "! ув(~0) = увоз (14.105) определяющие начальное состояние физической системы, развитие которой описывается уравнениями (14,104). Введем вектор-Функции у (1) = (у1(1), у2(1), ..., у (1))ю, ~(1, у) = ®1, У), 12 (М, У), ..., Я~, у))т и вектор уо = (у1с у«с " уно)т. Тогда задачу Коши (14.104), (14.105) можно записать в компактной форме: у'(1) = 1(~, у(1)) у (го) = уо.
(14.106) (14.107) Для того чтобы охватить ряд важных для технических приложений задач (электротехника, радиотехника и др.), будем считать, что функции у, и ~г (г = 1, 2, ..., тп) могут принимать комплексные значения. 2. Разрешимость задачи Коши. Пусть Лт — множество таких точек у), для которых И~[1о, Т), а У1, у2, ...., у„— произвольные комплексные числа. Это множество будем называть слоелг. Будем, как н а 1/2 и ранее, использовать обозначения (у, «) = Е у;«; и ~у1 = (Е ~У,~2) г=1 1=1 1Х(1, уг)-У(1, у2)1 ~ ~Ь-Ы, (14.108) для всею 1о < 1 4 Т и произвольныю у1, у«, где Ь ) 0 — некоторая постоянная (постояпная Липшица).
Тогда для каждого начального значения уо сугцестпвуетп единстпвенное решение у (1) задачи Коши (14.106), (14.107), определенное на отрезке 3 а м е ч а н и е 1. Можно показать, что если функции Я, 6, ..., Я,„ непрерывно дифференцируемы по у1, ут, ..., у„, то условие Липшица (14.108) выполняется с постоянной Ь тогда и только тогда, когда матрица Якоби 464 для скалярного произведения и нормы т-мерных комплексных векторов. Сформулируем аналог теоремы 14.1 о разрешимости задачи Коши.
Т е о р е и а 14.15. Пусть вектор-функция ~(1, у) определена и непрерывна в слое Лт. Предположил также, что она удовлетворяет условию Липигица У„'„,(1, у) У'„(~, у)."Х'„(~, у) удовлетворяет неравенству ~~ (г, у)~~ ч Ь. 3 а м е ч а н и е 2. Теорема 14.16 остается справедливой, если в ее формулировке условие Липшица (14.108) заменить менее ограничи- тельным односторонним условием Липшица и Ч(1, Уг) - У(~, У ), Уг — Уг) ~ 'Ь вЂ” ЫР (14.109) Назовем систему дифференциальных уравнений диссипативной, если вектор-функция ~ удовлетворяет неравенству Ке(У(а, уг) — Х(~, уг), уг — уг) < 0 (14.110) (14.111) Тогда справедлива оценка Т гпах $у(М) — у*(М)~ < К(Т)($уь — уД + / ~/16(М)~Ю), (14.112) го(МТ выражаюгцая устойчивость на конечном отрезке [го, 7~ решения задачи и т-го> Коши по начальным значениям и правой части.
Здесь К (У) = е Если в теореме 14.15 условие Липшица (14.108) заменить односто- 465 (т.е. если ~ удовлетворяет одностороннему условию Липшица с постоянной о = О). 3. Устойчивость решения задачи Коши. Приведем аналог теоремы 14.3. Т е о р е и а 14.16. Пусть выполнены условия теоремы 14.15. Далее, пусть у (1) — решение задачи (14.106), (14.107), а у*(1) решение задачи ронним условием (14.109), то оценка (14.112) будет выполнена с постов(Т ~о) янной К (Т) = е при о > 0 и с постоянной К (Т) = 1 при в ч О. С л е д с т в и е. Если система (14.106) диссипативна, то справедлива оиеиаа гпах ~ у (1) — у'(1) ~ ~ ~ уо — уД + )' ~ ф (~) ) Ы 104МТ ~о (14.113) условие (14.109) вы-,, 7~ справедлива оцен- ', 3 а м е ч а н ц е. Можно показать, что если полнено с постоянной в < О, то для всех 1фо, ка в(Т-4>) 1у(~) — у (~)1~с 1уо-уД+~ — ~ пах 1Ф(~')1. (14.П4) ц< ~'й По аналогии со случаем одного дифференциального уравнения (см.
~ ~ 14.1) рассмотрим вопрос об устойчивости решения задачи Коши к. ~ возмущениям начальных данных при Т ~ ю, Будем считать, что на,' каждом отрезке [1о, 7~(1о < Т вЂ” произвольно) неравенство (14.109)' выполнено с некоторой постоянной в = о(Т). Тогда решение у (1),. определено для всех ~о ч 1 < о~. Пусть у'(1) — решение задачи (14.110), (14.111), отвечающее произвольному начальному значению у' и 3 а м е ч а н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
