Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 84
Текст из файла (страница 84)
При ф (1) = 0 из неравенства (14.113) получаем оценку п1ах $у (М) — у'(М)$ ч $уо — уД. Поэтому всякое решение ~о< КТ диссипативной системы является устойчивым по Ляпунову. 3 а м е ч а н и е 2. Предположим, что одностороннее условие Липшица (14.109) для всех 1о ч 1 < о выполняется с одной и той же постоянной в < О. Тогда при ф (~) = О из неравенства (14.114) получаем оценку 466 ф (1) = О. Будем называть решение задачи Коши (14.106), (14.107) ' устойчивым по Ляаухову, если справедлива оценка тах ~у (1)— $~ 1 ~(Т вЂ” у'(1)[[ ч К~уо — уД, где постоянная К не зависит от Х, Если, дополнительно известно, что [[у (1) — у'(1)~ ~ 0 при 1 м, то решение называется асимптотически устойчивы и.
о'(Т-~с) 11у ® вЂ” у'®1~ ~ е 1~уо — у,*~, откуда следует, что ~)у (8) — у (М)!/ О при М ао, т.е. решение у (8) асимптотически устойчиво. 4. Система линейных уравнений с постоянными коэффициентами Рассмотрим систему у'(г) = Ау(г), (14.115) л о ... о о л ... о О О ...Л. (14.116) Р'АР= Л = Обозначим через «1(1), «ф), ..., «„,(1) координаты вектора у (1) в базисе еп ..., е, Так как (14.117) у(~) = «1(~)е1 + «г(г)ег + ." + «е(~)е„, то вектор у (г) связан с вектором «(М) = («1(М), «г(М), ..., «~(Х))т равенст- вом у (1) = Рг (1).
Умножив обе части системы (14.115) слева на Р', получим для вектор — «функции «(1) систему уравнений «(г) = Л«(1). 467 являющуюся простейшим примером системы дифференциальных уравнений первого порядка; здесь А — квадратная матрица порядка т. В теории численных методов решения систем дифференциальных уравнений система (14.115) играет роль, аналогичную той, которую при исследовании методов численного интегрирования одного уравне-. ния у' = ~(М, у) выполняет модельное уравнение у'(М) = Лу (г) (см. г' 14.1).
Напомним структуру решения системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами в наиболее простом и важном случае, когда матрица А имеет простую структуру. В этом случае существует набор е1, ег, ..., е,„собственных векторов матрицы А, соответствующих собственным значениям Лп Лг, ..., Л, который образует базис в пространстве щ — мерных векторов.
Матрица Р, столбцами которой служат векторы е1, ег, ..., е,„, не вырождена и такова, что В силу диагональной структуры матрицы Л эта система распадается на т независимых дифференциальных уравнений ;(~) = А (~) 1= 1, 2, ..., (14.118) Заметим, что уравнение (14.118) для ~-й компоненты вектора есть модельное уравнение с параметром А = А,. Таким образом, в рассматриваемом случае интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений эквивалентно интегрированию т модельных уравнений (14.118). Решая каждое из них, получим л,(1) = се ', с; = 4~0) и в силу равенства (14.117) находим А,(~-~0) у(1) = Й с~е е;. Здесь с = (с1, с2, ..., с,„)т = Р1уо. Пусть в (1) = у(1) — у*(1) — погрешность решения, вызванная погрешностью начальных значений ас — — уо — у'.
В силу линейности сис- темы (14.117) погрешность является решением той же системы." е '(1) = = Ае «1). Следовательно, ь(1) = Е а,е )еь (14.119) где а = (о1, аъ -, ая) = Р'ео Формула (14.119) позволяет сделать ряд важных выводов. В частности, из нее следует, что решение системы (14.115) с постоянной матрицей А простой структуры устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда КеА, < 0 для всех г = 1, 2, ..., ш и асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда КеА, < О для всех ~ = 1, 2, ..., т. Отметим также, что в отличие от случая одного дифференциального уравнения для систем характерно наличие т временных по- 1 стоянных г; = 1 — А-~, 1 — — 1, 2, ..., т. Наличие в решении задачи ! НеА;,~ физических компонент с существенно различными временными постоянными может привести к серьезным затруднениям при численном решении соответствующих задач.
Более подробно этот вопрос рассматривается в следующем параграфе. Пусть теперь у'(1) — решение нелинейной системы (~') '(1) = 1(1, ~*()), (14.120) ' отвечающее возмущенному начальному условию у'(1р) = у,*,. Вычитая из уравнения (14.120) уравнение у'(1) = ~(1, у (~)) и используя приближенное равенство 468 У(~ у*И)) — У(~ у(~)) ' У„'(~, у(О)(у(~) — у'(~)), получаем, что погрешность е (1) = у (1) — у'(1) удовлетворяет прибли- женному равенству е '(1) и Ае (1), где А = У'(1, у (1)). Таким образом, можно предположить, что в малой окрестности точки (1, у (1)~ эволюция погрешности е (1) происходит примерно так, как и для системы (14.117), т.е. Л;(~-М) е (1) в Е а,е 'вь Здесь Л, и с; (~ = 1, ..., ш) — собственные значения и собственные векторы матрицы А = ~'(1, у (1)).
5. Понятие о численных методах решения задачи Коши для систем уравнений первого порядка. Описанные выше применительно к решению задачи Коши для одного уравнения методы можно использовать и для систем уравнений первого порядка, причем форма их записи претерпевает минимальные изменения. Следует лишь заменить в расчетных формулах числа у„на векторы у„= (у~„, у2„, .„, у „)т, функцию ~ — на вектор — функцию 1 и т.д. Й результате дискретное уравнение (14.18) преобразуется в систему дискретных уравнений >с — Е а у„,1 = Ф (~„, у„„ь, ..., у„, у„,, 'а), Ь у=о Например, расчетная формула метода Эйлера уп+1 = уп + 6~(~а, уа) применительно к решению системы (14.106) принимает вид уи+1 = уп+ Ч(~ у ) Покоординатная запись этого соотношения выглядит так: У1,»»+1 — У1п + >»л(~п> У1п» У2а> "> Ути)> У2,п+1 =- У2п + Ч2(~п йа> У2п> " Уап)> Ут,п+1 = Уар + Ча(~п> У1ть Мп " > Утп) Аналогично, метод Рунге — Кутты четвертого порядка точности (14.70) порождает для систем дифференциальных уравнений первого порядка следующий метод: — у„+ ДД„~„— (~(11 + ~~(2) + 2~(з) + Д44) ) 1 469 (14.121) Предположим для простоты, что матрица А имеет простую структуру.
Положим я„= Р'у„, где Р— матрица, удовлетворяющая равенству (14.116). Умножив обе части уравнения (14.121) на матрицу Р' слева и учитывая, что получим соотношение Так как матрица Л вЂ” диагональная, то оно эквивалентно следующей системе уравнений для компонент вектора х„= (г~„, гр„, ..., л~,„)т: 1с /с — Х цх~,п+И = Е Р~Ад,а+~-р, ~ — — 1, 2, ..., т. "~о ' 70 (14.122) Заметим, что (14.122) есть не что иное, как результат применения линейного многошагового метода к решению уравнений (14.18). Таким образом, если решения системы (14.115) устойчивы по Ляпунову, то для того чтобы погрешности е„оставались ограниченными при п — с, необходима потребовать, чтобы для всех г = 1, ..., т величина И, принадлежала области В абсолютной устойчивости применяемого метода.
Можно показать, что такой же вывод справедлив и для методов Рунге — Кутты. Требование, чтобы ЬА, б .0 при всех г = 1, 2, ..., 470 ~л> — у(~„1. „1. ыа) ~н~ — у(~„~ ~ „~ Л~(з)) 6 Ь Теория численных методов решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений имеет много общего с соответствующей теорией решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения.
В частности, справедливы аналоги всех изложенных выше результатов, касающихся устойчивости и сходимости дискретных методов на конечном отрезке. Однако имеют место и существенно новые явления. Один из таких эффектов-жесткость — будет рассмотрен в следующем параграфе. Прежде чем переходить к его изложению, выясним, какие изменения появляются в случае применения дискретных методов к решению задачи Коши для системы уравнений с постоянными коэффициентами (14.115). Рассмотрим линейный многошаговый метод т, для методов, не обладающих свойством А-устойчивости, может приводить к существенным ограничениям на величину шага Ь.
Предположим, например, что все собственные значения матрицы А отрицательны. Тогда условие (14.96) абсолютной устойчивости метода Эйлера приводит к следующему ограничению на длину шага интегрирования: Ь~Ь,= 2 (14.123) гпах Л; 1~ ~(т Такое же ограничение на шаг возникает при использовании метода Эйлера — Коши и усовершенствованного метода Эйлера. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности, как следует из неравенства (14,97), оказывается абсолютно устойчивым при таком ограничении на длину шага: Ь<Ьов 2.8 арпа х 1~~ 1~т Следовательно, для явных методов шаг интегрирования должен не превышать значения Ьо, пропорционального наименьшей из временных постоянных системы. 6.
Сведение задачи Коши для уравнения из-го порядка к задаче Коши для системы уравнений первого порядка. Задача Коши для дифференциального уравнения т-го порядка состоит в нахождении функции у ® удовлетворяющей при 1 1 1п дифференциальному уравнению (14.124) у' '(1) = У(~, у (~), у'(~),, у'" "(~)), а при 1 = 1о - начальным условиям (14.125) У (~п) = Укь У (~о) = У20~ "~ У' " '(1с) = Уап.
У1(~) У2(~)~ у,'(~) = Ы~), (14.126) у',(~) = у.(~), у (М) — У(М у1(М) у2(М) " у (8)). 471 Рассмотрим функции у~(М) = у (1), у2(1) = у'(М), ..., у (М) = у<~ ~>(1). Заметим, что уф) = (уь ~) (М). Поэтому введенные функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений первого порядка Начальные условия (14.125) в новых обозначениях принимают вид У](]в) = У]о> У2(1о) = У2о~ "> Уии(то) = Ужо (14.127) Пример 14.21.
Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка у" = — 25у + а]пт, у(0) = О, у'(0) = 1 введением новых искомых функций у]И = у ф У2(Т) = у'(М) сводится к эквивалентной задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка у = У2, у = — 25 У] + ап]М, у](0) — О, У~(0) — 1. Для решения задачи Коши (14.124), (14.125), приведенной к виду (14.126), (14.127), можно воспользоваться известными методами или даже готовыми программами. Часто именно так и поступают. Следует все же иметь в виду, что вычисления можно организовать и так, что сведение уравнения (14.124) к системе (14.126) не потребуется. Например, для решения дифференциального уравнения второго порядка У" = ~(1, У) используется ряд специальных методов ~88).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
