Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Потребуем теперь, чтобы значения искомой сеточной функции и" удовлетворяли во всех внутренних узлах сетки уравнениям (15,12), в которых знак приближенного равенства заменен на знак равенства: и"(х,1)-2и"(х;) + и"(х,,1) Л( ) у ~ . ( (15.14) иЛ(хо) = иа, иЛ(х, ) = ид. Таким образом, мы пришли к системе линейных алгебраических уравнений=(15.13), (15.14), в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных и; = и"(х;) (1 = О, 1, ..., Л) и равно Ф + 1, Решая эту систему (котерую мы будем называть систеиой сеточных уравнений), можно найти сеточную функцию и". Введем линейный разностный оператор Х" с помощью равенства И[иьн ) = — (~ ) ~~® ( 1) + ЪиЛ(х,), б шь 489 В результате дифференциальное уравнение (15.9) оказалось аппроксимированным его дискретным аналогом — разностныл ураонениеи (15.13).
Естественно потребовать, чтобы в граничных узлах сеточная функция и" удовлетворяла равенствам и запишем систему сеточных уравнений (15.13), (15.14) в следующем виде: ЯиЦх) = )а(х), х Е шь и"(хо) = и„и"(хм) = иь (15.15) (15.16) Дискретную задачу (15.15), (15.16), зависящую от параметра Л, принято называть разиосгггиой схе иой д.гя краевой задачи (15.9), (15.10). 3. Вычислеипю решения ревностной схемы с помощью метода прогонки. Приведем систему сеточных уравнений к виду — и;, + (2+ Лги,.)и,. и., — Л2У. 1 г,;~ У ио = иа, и,т= иЬ (15.17) (15.18) Как нетрудно видеть, эта система есть частный случай системы линейных алгебраических уравнений вида Ьоио+ соиг = Ио а;и; 1 + Ь;и; + с;иг г — юг, 1 < г' < Х вЂ” 1, иьлг®, + Ь матрица которой трехдиагональна.
Здесь а; = -1, Ь, = 2 + Л2д,, с; = — 1, юг = Лз~г, 1 < г < Ф, Ьо — — 1, со — — О, Ыо — ии, ау = О, Ьу = 1, Ыл = иь. (15.19) ао=-со/7о, Фо = ~о/7о, 7о = Ьо, а при г = 1, 2, ..., У вЂ” 1 — по рекуррентным формулам % = — сг/7ь А = (ггг — иФг-г)/7ь 7г = Ьг+ игог-г При г = У прямой ход завершают вычислением значения Фм = Им вмызг)(7м 7к = Ь+ ачапи- Обратный ход метода прогонки дает значения неизвестных, Сначала полагают иу = Д~, а затем значения остальных неизвестных находят по формуле 490 Напомним, что эффективным методом решения таких систем является метод прогонки (см. ь' 5.9), вычисления которого состоят из двух этапов: прямого и обратного хода. Прямой ход метода прогонки заключается в вычислении прогоночных коэффициентов а, и Д (О < г < Л').
При г = 0 коэффициенты вычисляют по формулам и; = а;и;.1 + Д. Вычисления ведут в порядке убывания значений индекса 1 от Х вЂ” 1 до О. Применительно к решению системы (15.17), (15.18) расчетные формулы метода прогонки упрощаются. Прогоночные коэффициенты вычисляют по формулам оо = О> Во = иа1 о, = 1/7ь А = (Ь Л+ фз-1)/7ь 7»= 2+ Ь Ь Ж-и (15.20) (15.21) (15.22) ии= иЬ, и; = а;и,+1 + Д, $ = У - 1, У- 2, ..., 1.
3 а м е ч а н и е. Очевидно, что коэффициенты (15.19) удовлетво- ряют неравенствам а;<О, Ь;>О, с;(О, а;+Ь;+с~>0, 1<зсУ (15.23) Отсюда следует, что для системы (15.17), (15.18) выполнены условия диагонального преобладания: ~ Ьо~ > ~ со), ~ Ь;~ 1 ~ а,~ + ~ с;~ > > ~ а;~ (1 ~ г ( Л), ~ Ьу~ > ~ ау~. Поэтому в силу теоремы 5.4 вычисления по формулам (15.20) могут быть доведены до конца (ни один из знаменателей 7, не обратится в нуль).
Кроме того, обратная прогонка устойчива по входным данным. 4. Существование и единственность решения. Согласно последнему замечанию, систему сеточных уравнений (15.17), (15.18) с помощью эквивалентных преобразований можно привести к системе вида (15.21), (15.22), из которой однозначно находятся неизвестные. Таким образом, справедлива следующая теорема. Т е о р е и а 15.8.
Решение разностной схемы (15.15), (15.16) существуею и единственно. Как будет показано ниже, разностная схема (15.15), (15.16) обладает рядом свойств, аналогичных соответствующим свойствам краевой задачи (15.9), (15.10). 5. Принцип максимума. Как уже отмечалось ранее, важным свойством задачи (15.9), (15.10) является принцип максимума.
Естественно 491 где ~ = 1, 2, „., У вЂ” 1. Обратный ход дает значения неизвестных и1, и2, ..., иу1 (напомним, что значения ио — — и„иу = иЬ известны). Для этого производят вычисления по формулам потребовать, чтобы и для разностной схемы был справедлив дискретный аналог этого свойства. Более того, невыполнение для разностной схемы принципа максимума можно рассматривать как серьезный дефект, ставящий под сомнение возможность ее использования на практике. Л е м м а 15.1 (принцип максимума для системы сеточных уравнений). Пусть сеточная функция и" является реигениелг систелгы сеточных уравнений а;и, > + Ь,и; + с,и;,> — — дь 1 ~ г < гг>'> ио = иа> иЛг= иЬ (15.24) коэффициенты которой удовлетворяют условиялг (15.23).
Тогда если и, ч О, иь < 0 и дг К 0 для всех г' = 1, 2, ..., гг' — 1, то и" < О. а Предположим, что неравенство и" ~ 0 не выполнено. Так как по условию значения и" в граничных узлах неотрицательны (ио — — иа < О, и,>у = иь ~ 0), то максимальное значение функции и" положительно и достигается во внутреннем узле сетки: и„„= пгах и; > О. 11 г<% Пусть г — максимальный среди индексов г, для которых и; = ии В силу такого выбора г справедливы неравенства и1 г ~ и1 — — и>ьь„, и~ г < < и; = и>ьв„. Так как ад 4 О, су < О, то а и 4 а.и г, с и < сдпг.
Учиты— вая, что а)+ Ь + с- 1 О, д~ 1 О, из равенства (15.24), взятого при г = г', получим следующую цепочку неравенств: 0 4 (а1 + Ь1 + с1)и1 < а и~ > + Ьуи~ + с ирг — 0э < 0 Полученное противоречие (О < 0) доказывает, что и" < О. ° Т е о р е м а 15.9 (принцип максимума). Пусть сеточная функция и" является региениелг разностной схелгы (15.15), (15.16). Тогда если ~' < О, иа < О, иЬ ~ О, то и" ~ О.
и Для доказательства достаточно заметить, что коэффициенты соответствующей системы сеточных уравнений (15.17), (15.18) удовлетворяют условиям (15.23), д> = И Д 4 О, и воспользоваться леммой 15.1, И Заметим, что произвольную сеточную функцию и" можно считать решением разностной схемы (15.15), (15.16), если выбрать правую часть и граничные значения специальным образом, а именно положить ~гг = О[и"], и, = и"(хо)> иь = иа(хн). Учитывая это замечание, сформулируем теорему 15.9 иным образом: Т е о р е м а 15.10. Пусть сеточная функция и" удовлетворяет неравенствалг ь'"[и>>] ч О, и"(хо) < О, иЧхд) < О. Тогда и" 4 О. Из этой теоремы вытекает следующий важный результат, 492 г.л[ул] 0 .
~,„л уЛ(хо) иа, уЛ(ц~~ — иь (15.25) (15.26) справедлива оценка (15.27) шах ! уа! < гпах ( ! иа [, ! иь! ). О< з~.У д Введем сеточную функцию оИ = М = сопвС,. М = п1ах 1!иа[, !иь!). Заметим, что !Ц~И]! — О 4 ЦоИ] — ЗИМ !уЛ(хо)! = ]ив! 1 М = оЛ(хо) [уЛ(х~)! = [иЬ! < М = оИ(ху). Поэтому в силу теоремы сравнения ! уЛ! < М, что эквивалентно оценке (15.27).
° Л е и и а 15.3. Для решения разностной схе им (15.28) (15.29) У[«Л] Р х ~,оИ «"(хо) = О, «И(ху) = 0 справедлива оценка 12 гпах !«,! 4 — гпах !Д. О< з<Х О< ю<Л 8 (15.30) А и Введем сеточную функцию оЛ(х,) = — (х, — а)(Ь вЂ” х,), где 2 А = шах !Д. Заметим, что оИ ~ О. Непосредственной проверкой неО< 1<Я трудно убедиться в том, что ХЛ[оЛ] = А + уИоИ. Таким образом, 493 Т е о р е и а 15.11 (теорема сравнения). Пусть сетонкме функции иЛ и оЛ удовлетворяют неравенства и ! ЬИ[иИ] ! < ьИ[оЛ], ! и"(хо) ! < оИ(хо), ! иЛ(хщ) ! < оИ(АД. То«да ! иЛ! ~ оЛ. Согласно условию, сеточная функция уЛ = иЛ вЂ” оЛ удовлетворяет неравенствам ЬЛ[уЛ] — ЬЛ[иЛ] ~И[оЛ] ~ 0 уЛ(хо) = иЛ(хо) — оИ(хо) ~ О уИ(хи) = иИ(хц) — оИ(хи) < О. Поэтому в силу теоремы 15.10 уЛ < О, что эквивалентно неравенству иЛ ~ оЛ.
Аналогично, «Л = -оЛ вЂ” иИ удовлетворяет неравенствам М[«И] = -ИЯ вЂ” ЬИ[иЛ] < О, «"(хо) = -оИ(хо) — иИ(хо) 4 О, «Л(хЛ) = -оЛ(хк)— — иИ(хи) ~ О. Следовательно, «И ~ О, что эквивалентно неравенству „Л < иЛ Итак, -оЛ ~ иЛ < иЛ.И 6. Априорная оценка решения. Оценим максимум модуля решения иЛ разностной схемы через данные дискретной задачи (правую часть уравнения и краевые значения). Предварительно установим справедливость двух вспомогательных утверждений, Л е и и а 15.2. Для решения разностной схел«м р шах !и,! < тпах (!и„!, !иЬ!) + — гпах !ф О~ з<У О< в<Я (15.31) а Заметим, что сеточную функцию иЛ можно представить в виде суммы: ил = ул + гл, где у" — решение разностной схемы (15.25), (15.26), а хЛ вЂ” решение разностиой схемы (15.28), (15.29).
Пользуясь неравенством шах ! и;! 1 шах !у,! + шах !г;! и оценками (15.27), 0( а<7 0( Ю Ой 1<7 (15.30), приходим к неравенству (15.31).3$ 7. Устойчивость. Рассмотрим вопрос о чувствительности решения разностной схемы к погрешностям задания правых частей разностных уравнений. Пусть иЛ вЂ” решение разностной схемы (15.15), (15.16), а и *" — решение разностной схемы 1,л~„*л) у л ~ л и л(хо) = и*, и*л(хлг) = иь (15.32) (15.33) где ~'л = 3л — цл, и,* = и, — е„и~ — ил — ел. Назовем разностную схему (15.15), (15.16) успгойнивой, если при любых ев, ел, бР справедлива оценка шах !и; — и,*.! <шах (!Яв!, !еб!) + К шах !бЯ!, 0< з~Ф Ос~ (15.34) где постоянная К не зависит от Ь.
Отметим, что эта оценка является аналогом оценки (15.8), справедливой для краевой задачи. Т е о р е и а 15.13 (об усто~ти разностной схемы). Для разкостной схеим (15.15), (15.16) справедлива оценка (15.34) с постоянной 1г К = —. 8 а Заметим, что сеточная функция ал = иЛ вЂ” и '" является решением разностной схемы 494 И[хл]! !Р! < А ~ ЮЛЯ !зЛ(хв)! = О 1 ол(хо), !гЛ(ху) ! = О < 5Л(ху) и поэтому в силу теоремы сравнения !зЛ! ~ оЛ. Так как максимум А а + о квадратичной функции — (х — а)(6 — х) достигается при х = 2 2 и А А равен — Р, то оЛ ~ — р и из неравенства !гЛ! ~ сЛ следует оценка 8 8 (15.30). ° Сформулируем теперь основной результат этого пункта.
Т е о р е и а 15.12. Дяя решения разностной схеиы (15.15), (15.16) справедлива априорная оценка Применяя для оценивания е" теорему 15.12, приходим к неравенству (15.34), ° 3 а м е ч а н и е. Значение Р/8 постоянной К в неравенстве (15.34) для разностной схемы (15.15), (15.16) совпадает в силу замечания на с. 487 со значением соответствующей постоянной в неравенстве (15.8). Этот факт говорит о том, что разностная схема обладает такой же чувствительностью к ошибкам задания исходных данных, что и краевая задача. 8.
Аппроксимация. Пусть и (х) — решение дифференциального уравнения г.[и] = ~ Назовем сеточную функцию ттт" = И[и] — ~тг погрешностью аппроксимации разностного уравнения (15.35) Из определения фтг следует, что справедливо равенство 1Ь[и] — Р+ гртг х Е мгг (15.36) тпах ( 4,~ 1 — Ьз, М1 — шах ) иг~> (х) (. О< г<Ф [а, Ь) 12 (15.37) и Прежде всего заметим, что в силу теоремы 15.2 функция и (х) имеет на отрезке [а, о] непрерывную производную ига'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
