Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Так как многочлен Р~, используется для приближения функции г' вне отрезка, на котором известны ее значения, то в действительности равенство (14.79) основано на экстраполяции. Поэтому соответствующий метод называют еще знстраполяционнмл летодол Адалса. Если же в интеграле, входящем в равенство (14.78), заменить подЫнтегральную функцию интерполяционным многочленом Й-й степени Яф), совпадающим со значениями Дп,~ ь, ..., 7п, Дп+~ в узлах 1„,~ ~, ..., 1п, 1„'+~, то получится формула й у ~ = уп+ Ь~'РА.~-~, у=О (14.80) соответствующая й — шаговому летоду Адалса — Моултона.
Заметим, что этот метод — неявный. 3 а и е ч а н и е. Метод (14.80) принято называть также интерпо- яяционныл летодол Адалса. Их интегрирование по 1 дает следующие значения: ~п+~ Г Р~(~) 1~ = " (- Х вЂ” — У ч) Г Ф(~) 1~ = 1 (- У ~ + 2 У ). ~п ~п 15-28 449 Выведем формулы двухшагового метода Адамса — Башфорта и одношагового метода Адамса — Моултона. Интерполяционные многочлены Р~(1) и ~~(1) таковы: Таким образом, двухшаговая формула Адамса — Башфорта имеет вид Ь Уп.г = Уп + - (Мп - Хп-г), 2 а одношаговая формула Адамса — Моултона — вид Ь у -г = уп + — Уп.г + И) 2 3 а м е ч а н и е. Если выполнено условие Х' «О то неявные мето- У ды Адамса устойчивы при любых Ь.
С л е д с т в и е. Пусть выполнено условие ~Х'~ » «Х. Тогда если ЬУ шаговый летод Адалса имеет р-й порядок аппроксимации, а начальные значения уп уг, ..., Уь г определяются с р-л порядком точности, то летод сходится также с р-л порядком точности. Следствие верно в силу теоремы 14.4. Приведем расчетные формулы методов Адамса — Башфорта р-го порядка точности при р = 2, 3, 4: Ь 2 (3Хп Хп-1) Р = 2; Ь вЂ” (23Хп — ИУп-г + 5Хп-2) р = 3' Ь 24 (55~п — 59Хп 1 + 37.гп г 9Хп-з)> Р Уп+г = Уп + Уп+1 = Уп+ Уп'1 — Уп + Приведем также расчетные формулы методов Адамса — Моултона рго порядка точности при р = 2, 3, 4: 450 П р е д л о ггг е н и е 14 1.
Пусть решение задачи Коши у (1) непрерывно дифференцируело Ь раз на отрезке [го, 7~. Тогда Ь вЂ” шаговый метод Адамса — Башфорта и (Ь вЂ” 1)-шагооый летод Адалса — Моултона илеют порядок аппроксимации, равный Ь. Следующая теорема дает основание называть методы Адамса, имеющие р-й порядок аппроксимации, методами р-го порядка точности. Т е о р е и а 14.8. Пусть выполнено условие ~~'~ «Х. Тогда явные У летоды Адамса устойчиоы на конечном отрезке. Кроле того, при 1 выполнении условия Ь ~ Ьв = устойчивыли на конечнол отрез- 2АХ, ке являются и неявные методы Адамса.
Ь Уп + — (Лп.< + Уп), Р = 2; Ь уп + — Яп+< + 8~п ~п-<) р = о Ь уп + — Щп.1 + 19Уп — 5У -< + ~ -г), р = 4. Уп+! Уп+< = 2 Методы прогноза и коррекции. Может показаться, что при наличии явных формул Адамса высокого порядка точности нет необходимости в использовании неявных формул. Однако в вычислительной практике явные методы Адамса используются очень редко.
Одна из основных причин этого состоит в том, что в представляющих наибольший интерес для приложений задачах неявные методы обладают лучшими свойствами устойчивости и позволяют вести расчет с существенно большими шагами, нежели явные методы. Сложность использования неявных методов Адамса заключается в необходимости решать уравнение (14.77) относительно уп+1. Значение уп+< можно найти, используя, например, метод простой итерации уп "<" = Ф (уп." ), а ~ О, М (у) = АР"~, у) + у' (14.81) Так как ф'(у) = ЬДо~'(1п,<, у), то при достаточно малых 6 условие сходимости $ ф' ~ ~ ~д ( 1 выполнено (см.
Я 4.4) и метод (14.81) сходит- ся. Прогноз: Ь.1 — уп + — (5Цп — 59~п < + 37~п т — 9Ь-з), 24 <о~ <о> Уп+< = 1 (оп+1> Уп+1) о) Коррекция: уп,< — ум + — (9~„',< + ٠— 5~ < + < -2). 24 Следует подчеркнуть, что результирующий метод оказался явным.
Пример 14.16. Применим описанный выше метод Адамса — Башфорта — Мо— ултона четвертого порядка точности для решения задачи Коши (14.45) с шагом 6 = 0.1. 451 Часто за начальное приближение уп < принимают значение, получа<о> емое по явной формуле Адамса, и выполняют только одну итерацию метода (14.81). В результате приходят к зиетоду прогноза и коррекции. Один из широко используемых методов прогноза и коррекции получается при совместном использовании методов Адамса — Башфорта и Адамса — Моултона четвертого. порядка точности: В качестве начальных значений у!, У2, уз, необходимых для начала вычислений, примем значения, полученные методом Рунге †Кут четвертого порядка точности и приведенные в табл.
14.4. Затем воспользуемся формулами 1ю Уп+! — Уп + — (55!пуп 592п-!Уп-! + 372п-2уп-2 — 92п зуп З) !о! 12 со! утн! уп + 12 (9!п+!уп+! + 192пуп 52п-!уп-! + 2п-2уп-2) Найденные значения и соответству!оащие погрешности приведены в табл. 14.5. Табл и ц а 145 Прогноз Погрешность Коррекция Погрешность прогноза Е„ <с! Уп метода еп 3. Общие линейные многошаговые методы Эти методы, включающие в себя методы Адамса, задаются формулами вида (14.82) Предлагается, что ао ~ О, ! а7, ) + ~ ® ~ О. Они наэываются линейными, так как значения у, и Д ( 1 = п + 1 — а, ..., п, и + 1) входят в формулу (14.82) линейно.
3 а м е ч р н и е. Методы (14.82) принято также называть конечно- разностными метода ии, а дискретную задачу Коши для уравнения (14.82) — конечно-разностной схе ной (или просто — разностной схемой). 4. Методы с переменным !нагом и переменным порядком. На основе методов Адамса создан ряд весьма сложных, но и эффективных программ. В них предусматривается не только автоматический выбор шага (подобно тому, как это делается для методов Рунге — Кутты), но и 452 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.173420048 1.283880725 1.433111448 1.631994012 1 896003688 2.247194327 2.717200091 9.1 10 5 1.5 10 4 2.2 10 4 3.3 10 4 4.8 ° 10 4 7.2.10 4 1 1. 10-з 1.173518429 1.284044297 1.433364614 1.632374743 1.896572568 2.248046603 2.718486351 -7.6 10 а — 1.9 ° 10 ~ -3.5 ° 10 ~ — 5.9 10 ~ -9.2 10 5 -1.4 10 4 -2.1 ° 10 4 автоматический выбор порядка метода.
И шаг метода, и его порядок (в некоторых программах порядок точности может достичь 13) меняются в ходе вычислительного процесса, приспосабливаясь к характеру поведения искомого решения. Методы Адамса требуют меньшего числа вычислений правой части дифференциального уравнения по сравнению с методами Рунге — Кутты того же порядка точности. Для них существуют эффективные методы апостериорной оценки локальной погрешности. Недостатком методов Адамса является нестандартное начало вычислений. Для определения значений у|, у~, ..., уь1, необходимых для работы Ь-шагового метода, используются методы Рунге — Кутты либо другие многошаговые методы. В разработанных к настоящему времени стандартных программах эта проблема решена.
$14.8. Устойчивость численных методов решения задачи Коши Как в теории численных методов решения задачи Коши, так и в практическом плане вопросы об устойчивости методов к малым ошибкам задания начальных данных и правой части уравнения, а также об устойчивости к погрешностям вычислений являются одними из центральных, Рассмотрим некоторые естественные требования устойчивости, которые накладываются на дискретные методы й Ь ~ ~9Уп+1-~ = Ф (~п) УтМ-1) " ~ Ув Уп+1, ") Ь;=0 (14.83) у~~, Если отрезок [10, 7~, на котором ищется решение, и шаг Ь фиксированы, то для всякого приемлемого метода решения задачи Коши его решение непрерывным образом зависит от начальных значений. Более того, если погрешности е,=- у, — у,* (1 = О, 1, ..., Й-1) задания начальных данных достаточно малы, то ошибку значений у„' можно оценить следующим образом: гпах ~ у„" — у„~ < КЬ(7) гпах ~е,~. (14.84) 0<пО О< 1(~И 453 Уделим сначала основное внимание исследованию устойчивости дискретной задачи Коши для уравнения (14.83) к малым погрешностям в начальных данных.
Пусть у" — решение дискретной задачи, соответствующее начальным значениям у0, у1,, уь1, а у'"— решение той же задачи, соответствующее начальным значениям у', у,', Величина К (Т), входящая в правую часть неравенства (14.84), играет роль числа обусловленности метода. Подчеркнем, что в общем случае она зависит как от Т, так и от Ь. 1.
Нуль — устойчивость. Будем стремиться к тому, чтобы при достаточно малых значениях шага Ь дискретная задача Коши не только имела близкое к у (г) решение у", но и обладала другими важными свойствами, аналогичными свойствам исходной задачи. В силу неравенства (14.11) ошибка, внесенная в начальное значение задачи Коши, на отрезке (го, 7~ возрастает не более, чем в К (Т) раз (где К (Т), вообще говоря, растет с ростом Т).
Поэтому в общем случае рост величин гг~(Т) с ростом Т также допустим. Однако если коэффициент ЛЬ(Т) может неограниченно возрастать при Ь О, то уменьшение шага Ь приведет не к уточнению решения, а, наоборот, к неограниченному росту погрешности. Таким образом, следует потребовать, чтобы для дискретной задачи Коши при всех достаточно малых Ь было выполнено неравенство пгах ~ у„' — уп( ~ К(Т) шах )е,.~, О~ п~~Х Оч г ч/с-1 (14.85) (14.86)г сгоу +г + гггуп + " + егг уп-ы = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
