Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Поэтому при 1 > 1 метод не является само— стартующим и для вычисления дополнительных значений уг, ут, ... ..., Угг ! необходимы специальные подходы. упч! = !го г ггууа г-г + ггФ (г) уп+г-ь " ) уп1 гг) у=! Поэтому соответствующие методы называют явными. В противоположность им, методы, в которых функция Ф зависит от у„г, называют ггеявяылги. При реализации неявного метода при каждом гг (или, как говорят, на кажтгом шаге) возникает необходимость решения относительно у„! нелинейного уравнения (14.18).
Пример 14.7. Метод Эйлера, для которого вычисления у„,! производятся по явной формуле (14.23), представляет собой явный метод. ! Леонард Эйлер (1707 — 1783) — математик, физик, механик, астроном. Родился в Швейцарии, с 1726 по 1741 г. и с 1776 по 1783 г. работал в России. 421 3. Явные и неявные методы. Реализация численного метода на ЭВМ предполагает построение алгоритма, позволяющего вычислить решение поставленной дискретной задачи Коши, В случае, когда входящая в уравнение (14.18) функция Ф не зависит от у„,г, вычисление значения у„,! не вызывает затруднений и осуществляется по явной формуле Пример 14.8. Простейшим примером неявного метода является неявкмй метод Эйлера, соответствующий аппроксимации дифференциального уравнения (14.1) дискретным уравнением Уп+1 Уп Ь (14.24) Другим примером неявного метода может служить аравило травений йт уо)+Ф у )) (14.25) Как в том, так и в другом методе значение у„+1 определяется уравнением неявно, н для его вычисления приходится испольэовать один из итерационных методов решения нелинейных уравнений.
у '" — решение соответствующей возмущенной задачи Ь Л .1' уи+1-1 ( ~~> уп+1-И' "'1 уи> уп+М ) + ~'~> Ьу=о "' 1 (14.26) У (то) = Уо~ У (11) = У1> "~ У (~Ь-1) = УЬ-к (14.27) Будем называть дискретную задачу Коши (14.18), (14.20) и соответст- вующий численный метод устойчиоыли яа конечном отрезке (или просто устойчиомми), если при всех Л ~ Ьо (где Ьо достаточно мало) справедливо неравенство К-1 п1ах ~ӄ— У„*) < К(Т) п1ах ~е„~ + Х ~4„! Ь, 01 а4Л 0~ а<Ь-1 (14.28) где величина К не зависит от Л, е„(0 < п < А 1) и ~„(Ь-1 < п < Х-1).
422 4. Устойчивость. Если решение дискретной задачи Коши не обладает устойчивостью по отношению к малым возмущениям начальных значений и правой части уравнения, то соответствующий численный метод нельзя использовать в практических вычислениях. Приведем определение устойчивости, достаточное для понимания основного содержания этого и следующих четырех параграфов. Более подробно обсуждение этой проблемы будет проведено в ~ 14.8. Внесем в правую часть уравнения (14.18) и в начальные условия (14.20) произвольные малые возмущения 1~„и ео, е1, е2, ..., еЬ 1 соответственно. Положим у,', = уо — ео, у' = у1 — а1, ..., у*,, = у~ 1 — еь1.
Пусть 3 а м е ч а н и е, Неравенство (14.28) является дискретным анало- гом неравенства (14.16), выражающего устойчивость задачи Коши. Для одиошаговых методов (т.е. при Ь = 1) неравенство (14.28) принимает вид У-1 шах 1Ь вЂ”. д„"1 < ~(Т)(!ео!+ Е 1М' Ь) О~ а~Я и'0 и аналогия с (14.16) становится еще более очевидной. ДействительУ-1 но, сумму Е ~ф„~ ° Ь можно рассматривать как дискретный аналог а*с интеграла ~~ ф (1) ~ Й1, построенный по формуле левых прямоугольнн- 0 ков (см. $ 13.1). „(шоу(~+ Ь) + а~у ® + " + о~у (~ (Ь вЂ” 1)Ь)), 1 (14,29) стремящуюся к у'(1) при Ь - О.
Аналогично предположим, что Ф (М, у (8 — (Ь вЂ” 1)Ь, ..., у (М), у (8+ Ь),Ь)) - ~(М, у (М)) при Л - О. 3 а м е ч а н и е. Из сделанных предположений следует, что коэф- фициенты а0, а~, ..., а~ должны удовлетворять'условию о0+ й1+ ° ° ° + йа О (14.30) В самом деле, для у (1) = 1 величина (14.29) превращается в —, й й где а = Е а~. По условию, — - у'(1) = О при Ь - О.
Но это возможно ~=о ' Ь лишь при а = О, что эквивалентно равенству (14.30). Пусть у (1) — решение задачи Коши (14.1), (14.2). Назовем сеточную функцию ф", определяемую формулой 423 5. Аппроксимация. Пусть у (1) — произвольная гладкая функция. Зафиксируем значение 1 = ~„и устРемим Ь к нулю (а а соответственно — к бесконечности). Вудем предполагать, что замена в формуле (14.19) значений у„,~ сеточной функции у" соответствующими значениями у (1-(~-1)Ь функции у дает величину гс Ф = — Е,у (~ -д — Ф (1, у ( .~-г,), ..., у (1.~), Ь), Ь ~=о гс „ .~ а у (~ г-у) = Ф (' у (1 г-г,) " у (~ г) Ь)) + Ф "г=О (14.31) позволяет заметить, что функция у (г) удовлетворяет' уравнению (14.18) с точностью до погрешности аппроксимации гггп. Сеточную функцию гр" используют для предварительной оценки того, насколько точно аппроксимируется дифференциальное уравнение его дискретным аналогом.
Говорят, что дискретное .уравнение (14.18) аппроксимирует дифференциальное уравнение (14.1), если пгах ~снап~ ~ О при Ь ~ О, и апггроксимирует его с р-м порядком, Ь вЂ” 1(п<Х если справедлива оценка гпах ~гоп~ < СЬР, р > О. Ь вЂ” 1 <п<У Часто для оценки качества одношаговых методов (14.21) используют не погрешность аппроксимации, а другую величину — локальную погрешность. Пусть уп,г — значение, найденное из уравнения у.г — у(~ ) = сг' (гп у (гп) упруг Ь) (14.32) т.е.
из уравнения (14.21), в которое вместо уп подставлено точное значение решения дифференциального уравнения в точке Тогда разность гп = у (гп г) — уп,1 называется локальной погрешностью метода (или его погрешностью на шаге). Другими словами, гп — это погрешность, которую допускает за один шаг 'метод, стартовавший с точного решения. В случае, когда Ф не зависит от уп+г (т.е. метод (14.21) является явным), локальная погрешность и погрешность аппроксимации оказываются связаны простым равенством гп = грпЬ, что непосредственно вытекает из данных определений. Пример 14.9.
Покажем, что метод Эйлера имеет первый порядог: аппрокси— мации. Известно, что () (~) 424 погрешностью аппроксимации дискретного уравнения (14.18) на реше- нии у. Эта же формула, записанная в виде где Хп < сп < Мп+1 (см. Я 12.1). Учитывая равенство у'(Мп) = ~(М„, у (Мп)), для погрешности алпроксимации получаем следующее выражение: у(1п+ Ь) — у(1п) ( ( )) Ь (14.33) Поэтому гпах ~4п~ < — г Ь, Мг — — тпах ~у" (1)~, О~п<Ф ~ го г1 (14.34) т.е.
метод действительно имеет первый порядок аппроксимации. Пример 14.10. Для погрешности аппроксимации неявного метода Эйлера (14.24) также справедлива оценка (14.34) и поэтому он также имеет первый порядок аппроксимации. Простое доказательство этого факта рекомендуем провести в качестве упражнения.
Пример 14.11. Найдем выражение для локальной погрешности метода Эйлера. По определению, 1п = у (1 +1) — уп+и где у„+1 = у (1„) + Ь~(гп, у (гп)). Но в силу равенства (14.33) у ($„,1) = у (Мп) + Ч(1п у (гп)) + Ип — уп+1 + ЬФп. Ьг Поэтому 1„= Ьф„= — у"(~п). Таким образом, локальная погрешность метода Эйлера имеет второй порядок малости относительно шага Ь. 6.
Сходимость Пусть у (1) — решение задачи Коши. Назовем глобальной погрешностью (или просто поърешностью) численного метода сеточную функцию е" со значениями еп = у (тп) — у„в узлах 1„. В качестве меры абсолютной погрешности метода примем величину Е(Ь) = и х 3у(~) — у4. 0< п»<Ж Численный метод решения задачи Коши называют сходяи1ился, если для него Е (Ь) ~ 0 при Ь ~ О, Принято говорить, что метод сходится с р-.и порядно.и точности (или имеет р-й порядок точности), ' Для одношаговых методов это предположение излишне. 425 если для погрешности справедлива оценка Е (Ь) < СЬ", р > О. Покажем теперь, что для устойчивого численного метода из наличия аппроксимации с порядком р следует сходимость с тем же порядком. Будем предполагать, что начальные значения уп уг, ..., уь ~ заданы с р-м порядком точности1, т.е.
верна оценка шах ~у (1„) — у„~ < СоЬР 1< п<Ь вЂ” 1 Справедлива следующая основная теорема. К-1 гпах ~У(1п) — Уп) чК(Т) ( п1ах ~У(1п) — Уп~ + Е )оп~ Л .(14.35) Оч АЖ ~1~п~ы. Учитывая, что %-1 Х )4„) Л < (Т вЂ” 4о) шах )4ъп) 4 (Т вЂ” Мо) СЬР, п= й-1 Оч п<Л правую часть неравенства (14.35) можно оценить величиной К(Т)(Со+ (Т вЂ” Мо)С)Ь" = СЛ". Итак, тах )у (М„) — у„! ч СЬР. ° 04 АУ 6. Связь с задачей вычисления интеграла. Существует тесная связь между проблемой решения задачи Коши и задачей вычисления интеграла с переменным верхним пределом у (~) = ~У(г)4г, 1о « ~ Т. 1О (14.36) Действительно, вычисление интеграла (14.36) эквивалентно решению задачи Коши У (1) = 1 (1) У (1о) = О (14.37) являющейся частным случаем более общей задачи (14.1), (14.2). Таким образом, всякий численный метод решения задачи Коши порождает соответствующий метод численного интегрирования.
Например, метод Эйлера у„+1 — — у„+ Ьф„) приводит к формуле левых прямоугольников: 426 Т е о р е и а 14.4. Пусть численный метод устойчив на конечном отрезке и имеет порядок аппроксимации, равный р. Тоеда если начальные значения У1, ..., у~ 1 заданы с р-.и порядком точности, то и метод сходится с р-и порядком точности. а Пусть рп — погрешность аппроксимации. Положим у„' = у (1п). Равенство (14.31) позволяет утверждать, что сеточная функция у'" является решением дискретной задачи Коши (14.26), (14.27). Устойчивость метода означает выполнение неравенства (14.28), которое в силу равенств у„* = у (1„) и у (1о) = уо можно переписать так: и-1 У(4„) в Уи= и ЕУ(1,). (14.38) г=О Неявный метод Эйлера уи 1 — — уи + Ь~(ги,1)- дает формулу правых прямоугольников: у (ги) ~ уи = Ь ~.г' (гг)> г=1 а правило трапеций (14.25) приводит к известной формуле трапеций У (~ ) 2 ~ У(~~и) + У(~)) а глобальная погрешность — это результирующая погрешность, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
