Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 72
Текст из файла (страница 72)
2386191861 0.4679139346 0.6612093864 0.3607615730 0.9324695142 0.1713244924 1 -1 0 1127011666 1 з) 12 = — (0.5555555556.е ' ' 0 ~~~) + 0.8888888888 ° + + 0.5555555556 е ' ' ' ) а 0.7468145842; 7 )з 7з = — (0.3478548451 ° е <а~ 0~а л~) + 0 6521451549 -10.ззооозлз) + 1 г г 2 .е 2 2 + 0.6521451549 е 10.669990622) .) 03478548451 -10.030666166) ) я 0.7468244681. Эти значения содержат такие абсолютные погрешности: ЛЯ) ) 2 ° 10 ~, Ь(Х2) 10 з„Ь(7з) )з 3 ° 10 т. Для сравнения укажем, что значение того же интеграла, полученное в примере 13.2 по формуле прямоугольников с 10 узлами, имеет абсолютную погрешность примерно 3 10 6, а по формуле Симпсона с 21 узлом — абсолютную погрешность примерно 5'10 з. 3. Обусловленность квадратурных формул Гаусса.
Квадратурные формулы Гаусса обладают еще одним замечательным свойством: их весовые коэффициенты всегда положительны. Это свойство (как следует из рассуждений предыдущего параграфа) гарантирует хорошую обусловленность квадратурной формулы. Более того, число обусловленности равно $.— а и не зависит от числа узлов. Это позволяет применять на практике квадратурные формулы Гаусса с числом узлов, достигающим сотен. $13.4. Апостериорные оценки погрешности. Понятие об адаптивных процедурах численного интегрирования Применение неравенств типа (13,13), (13.14), (13.15), (13.19) для априорной оценки погрешности квадр)атурных формул в большинстве случаев оказывается неэффективным или вообще невозможным.
Это связано как с трудностями оценивания производных подынтегральной функции Ь так и с тем, что получаемые оценки, как правило, бывают . сильно завышенными. Па практике обычно используются иные подходы к оценке погрешности, позволяющие строить процедуры численного интегрирования с автоматическим выбором шага. 1. Главный член погрешности. Пусть 1Ь вЂ” приближенное значение Ь интеграла 1 = /7" (х)с1г, вычисленное по некоторой квадратурной фора муле и использующее разбиение отрезка 10, 5] на элементарные отрезки длины Ь. Предположим, что для погрешности этой формулы справедливо представление1 1 Напомним, что запись 10 (Л) = о (Ь") (читается "10 (Ь) есть о малое от М") означает, что 9) (Ь'/ЬЬ -+ 0 при Ь О.
392 1 — 1" = СЬк+ о (Ь"), (13.23) ~1 — 1И~ ~ СЬк с некоторой постоянной С > ~ С~. Поэтому число Ь представляет собой не что иное как порядок точности соответствующей квадратурной формулы. Если подынтегральная функция 1 достаточно гладкая, то для каждой из составных квадратурных формул 1 и 1" = Х Ь Х аф(х; г ег + 1зЬ/2) г=1 .гчо (13.24) существует главный член погрешности. Приведем без доказательства соответствующий результат.
и Т е о р е и а 13.4 Пусть Х а = 1 и Ь вЂ” минимальное среди натуу=о ральных чисел, для которых величина 1 3И / /~Чг — Х ал. 2 э=О 3 3 отлична от нуля. Если функция 1' непрерывно дифференцируема Ь раэ на отрезке (а, 6~, то для погрешности хвадратурной формулы (13.24) справедливо представление (13.23), в котором С = — ~~ — /~г "г (х)г1х = — ~~ — (1гк г'(6) — 1г" г'(а)). 2кИ.
а 2% С л е д с т в и е 1. Если функция 1" дважды непрерывно дифференци руема на отрезке [а, 6], то для погрешностей составных квадратурных формул прямоугольников и трапеций справедливьг следующие. предстаоления: 1 .фр: С Ьг + о (У) ' С~р: ( ~ (х)г(х ь (13.25) ь ~тр = СтрЬх+ о (Ь~) Стр = (У"(х)г1х. (13.26) С л е д с т в и е 2. Если фунхция 1' четырежды непрерывно дифферепцируема на отрезке (а, 6~, то для погрешности составной квадра— турной формулы Симпсона справедливо представление 1, ь 1 — 1 = С Ьг + о (Ь4), С = — (~г г) (х)с1х. с с с 2880 а (13.27) 393 где С ~ О и Ь > Π— величины, не зависящие от Ь, Тогда величина СЬк называется главны и членом погрешности квадратурной формулы. Заметим, что из неравенства (13.23) следует справедливость оценки В силу предположения (13.23) для погрешности квадратурной формулы при достаточно малом Ь справедливо приближенное равен- ство (13.28) Несмотря на элементарный характер формулы (13.28), она позволяет сделать ряд важных выводов.
Первый из них состоит в том, что уменьшение шага Ь в М раз приводит к уменьшению погрешности квадратурной формулы примерно в М" раз. Действительно, при Ь~ — Ь/М имеем В частности, уменьшение шага Ь в два раза приводит к уменьшению погрешности примерно в 2Ь раз: 1 1ЬЬ ~ 1 СР. 1(1 1Ь) 2с 2~ (13.29) 2. 11равило Рунге практической оценки погрешности. Как следует из теоремы 13.4, главный член погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа имеет вид 2% а + ГУ ( ) .
Ь = + (У - (Ь) — Р— ( ))Ь~. 2~Й 1Ь' — 1Ь ~ -', СЬ|(2~ — 1). 2~ Учитывая приближенное равенство (13.29), приходим к следующей приближенной формуле: ф~2 у6 уа ~ г — 1 (13.30) 394 Непосредственное использование этой формулы для оценки погрешности 1 — 1ь неудобно, так как требует вычисления производных функций 1.
В более сложных ситуациях выражение для главного члена погрешности может оказаться существенно более громоздким. Поэтому в вычислительной практике часто применяются методы оценки погрешности, не использующие явное выражение для главного члена. Вычитая из равенства (13.28) равенство (13.29), получим Использование этой формулы для апостериорной оценки погрешности значения хах2 принято называть правилом Рунге (или правилом двой- ного всресчехпа). 3 а м е ч а н и е 1. Так как 1 — 7Ь и 2хх(1 — Ф~2), то из (13.30) следу- 2~(75 12 — 75) оу фор у Х вЂ” Х" а — у — —, оюрую о~~о а~~о б ж~о~ оа- 2 — 1 вать для приближенной оценки погрешности значения 1".
Как правило, этого не делают, поскольку среди двух вычисляемых значений интеграла 1" и Р'б2 второе является более точным и имеет смысл оценивать именно его погрешность. 3 а м е ч а н и е 2. Заменой Ь на 2Ь формула (13.30) приводится к следующему виду: хл рь Х Р 2 — 1 (13.31) ххр 3 ( пр "Р)х 1- 1тр ~ -,' (4р - 4р), ~- 4'-'(4-4") (13.32) (13.33) (13.34) Пример 13.5. Применяя правило Рунге, оценим погрешность приближенных значений 1„'р = 0.74713088, хтр = 0.74621079, 1~~' = 0.74628418, полученных в 1 примере 13.2 при вычислении интеграла 1 = ~е ~~х1х и использующих формулы о прямоугольников, трапеций и Симпсона с шагом Ь = 0.1.
Вычислим приближенные значения интеграла по указанным квадратурным 2Л формулам с удвоенным значением шага. В результате получим 1пр = 0 74805326 1тр = 0 74436832' Хс 0'74682495 Применяя теперь формулы (13.32) — (13.34), находим 395 Для формул прямоугольников и трапеций Ь = 2 (см. (13.25) и=- (13.26)), а для формулы Симпсона Ь = 4 (см, (13.27)). Поэтому для этих квадратурных формул равенство (13.31) принимает следующий вид: 11щ3(0,74713088 — 0.74805326) — 310,1 — 1~~ — (0.74621079 1 1 — 0.74436832) ю 6 10 4, 1 — 1~ ю — (0.74682418 — 0.74682495) ~ -5 10 8. 1 С 15 Естественно, что кроме правила Рунге существуют и другие способы апостериорной оценки погрешности. Например, можно использовать значения 4р и 1тар, вычисленные по формулам прямоугольников и трапеций с одним и тем же шагом, для практической оценки погрешности каждого из этих значений.
Действительно, в равенствах (13.25), (13.26) Стр — — -2 С„р. Поэтому 1тр — 1пр = (Спр — Стр) Ь'-+ о (Л ) ~ 3СпрЬт. Отсюда следует, что 1-1:-, —,'(1" -1"), 2 1тр ~ (1тр 4р). 3 (13.35) (13.36) Наличие некоторого правила получения апостериор ной оценки погрешности позволяет строить процедуры вычисления интеграла 1 с заданной точностью я, достигаемой последовательным дроблением шага интегрирования. Простейшая процедура такого типа состоит в последовательном вычислении значений Р' и соответствующих апостериорных оценок погрешности е; (например, по правилу Рунге) для Ь, = Ьо/2', где Ьо — начальное значение шага, 1 = 1, 2, .... Вычисления прекращаются тогда, когда при некотором ~ оказывается ~я;~ ( к (требуемая точность достигнута) либо тогда, когда величина ~ е; ~ начинает возрастать (точность не может быть достигнута из-за влияния вычислительной погрешности).
396 Пример 13.6. Применяя формулы (13.35), (13.36), оценим погрешности значений фр 0.74713088 1атр 0.74621079, являющихся приближениями к 1 значению интеграла 1 = /е ~тдх (см. пример 13.2). о Имеем 1 — 1~~' и — (0.74621079 — 0.74713088) и -3 10 4, 1 — 1тр м 1 ~ -2 (-3 10 ~) = 6 10 ~. Отметим, что полученные оценки совпадают с соответствующими оценками из примера 13.5. Пример 13.7. Найдем значение интеграла 1 = ~е *~йг с точностью я = 10 ф, о используя формулу трапеций и применяя процедуру последовательного дробления шага интегрирования, описанную выше.
Возьмем Ьо — — 0.2. Значения 1Ьо = 0.74436832, 1Ь1 = 0.74621079 (где Ь1 = = Ьо/2 = 0.1) и 61 = 6 10 4 были уже получены (см. пример 13.5). Так как ~е1~ ) я, то уменьшаем шаг вдвое: Ьг = Ь|/2 = 0.05 и вычисляем 1Ьт = 1 1 = 0.74667084, ег = — (1ь2 — 1ь') = — (0.74667084 — 0.74621079) и 1.5 ° 10 ф. Так 3 3 как ~е2/ > е, то снова дробим шаг: Ьз = Ьт/2 = 0.025, вычисляем 1Ь~ = = 0.74678581, е, = — (аз — 1Ьг) = - (0.74678581 — 0.74667084) и 4 10- . 1 1 3 3 Поскольку ~6э~ < е, требуемая точность достигнута и с учетом округления получаем 1 = 0.7468 ~ 0.0001. 3.
Экстраполяция Ричардсона. Наличие приближенного равенства 1 СЬЬ 7Ь/г у — Х" ув -у СЬВ и формулы — у в —  — — ловво ви олучичв уив~- 2 2 2 — 1 пенное значение интеграла /и /Ь/г + (/Ь/2 /Ь) Я:д (13.37) Таким образом, квадратурная формула /Ь порождает новую квадратурную формулу (13.37), имеюшую более высокий порядок точности. Если этот порядок известен, то процесс уточнения можно продолжить. Предположим, например, что для погрешности квадратурной формулы справедливо представление Ь Ь /- Р' = ~ Ь" + ~,Ь"'+ ... + С Л "+ о (Ь ~') (13.38) зуют рекуррентное соотношение 1 Арчибалд Рид Ричардсон (1881 — 1954) — английский математик. 397 при всех Х = 1, 2, ..., причем 0 с Ь1 < Ь2 с ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
