Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Понимание того, что задача Коши описывает развитие тех или иных процессов во времени, значительно упрощает восприятие как подходов к ее решению, так и критериев оценки качества получаемых приближений. Подавляющее большинство возникающих на практике начальных задач невозможно решить без использования вычислительной техники. Поэтому в инженерных и научно-технических расчетах численные методы решения задачи Коши играют особую роль.
Моделирование самых разнообразных процессов приводит к необходимости решать системы дифференциальных уравнений (иногда довольно высокого порядка). Тем не менее большая часть этой главы Я 14.1 — 14.9) посвящена рассмотрению методов решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения первого порядка. Это традиционный подход, упрощающий как изложение методов, так и понимание их существа. Переход от случая одного уравнения к случаю систем дифференциальных уравнений не вызывает затем серь- 1 В роли 1 может выступать и другая (например, пространственная) переменная.
Тем не менее в этой главе переменную 1 будем называть временем. 410 езных затруднений (по крайней мере формального характера). Некоторые особенности решения задачи Коши для систем уравнений изложены в ~ 14.10 и 14.11. При этом значительное внимание уделяется проблеме устойчивости численных методов и так называемым жестким задачам. $14.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка 1 Постановка задачи.
Напомним, что решением о6ыкновенноео дифференциального уравнения первого порядка у'(1) =П у()) (14,1) ив эиа 411 называется дифференцируемая функция у (1), которая при подстановке в уравнение (14.1) обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называют инте~ральной кривой. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения принято называть интегрированием этого уравнения.
Исходя из геометрического смысла про- у изводной у' заметим, что уравнение (14.1) задает в каждой точке (1, у) плоскости переменных 1, у значение 1 (1, у) тангенса Ф4 угла а наклона (к оси О1) касательной к М= 1уа =Д~Г,у) графику решения, проходящего через эту точку. Величину к = $ао = ~(1, у) далее бУдем называть У1ловы.и коэффициентол ои ц 1 (рис. 14.1). Если теперь в каждой точке (1, у) задать с помощью некоторого вектора направление касательной, определяемое значением 1 (1, у), то получится так называемое поле направлений (рис. 14.2, а).
Таким образом, геометрически задача интегрирования дифференциальных уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление касательной (рис. 14.2, б). Для того, чтобы выделить из семейства решений дифференциального уравнения (14.1) одно конкретное решение, задают начальное условие У (~0) = Уо (14.2) шицаг !У(11 уг) Х(~з у2)1 ~ ~~!у1 у23 (14.3) для всех 10 ~ 1 4 Т и произвольных у1, у2, где Ь вЂ” некоторая постоянная (постоянная Липшиц а). То~да для каждого начально~о значения уо существует единственное решение у (1) задачи Коши (14.1), (14.2), определенное на отрезке [~01 3 а м е ч а н и е 1.
Для дифференцируемых по у функций ~ условие (14.3) выполняется тогда и только тогда, когда для всех (г, у)Ег1 справедливо неравенство г Рудольф Липшиц (1032 — 1903) — немецкий математик. 412 Здесь 10 — некоторое фиксированное значение аргумента ~„а уо— величина, называемая начальнмлг значениелг. Геометрическая интерпретация использования начального условия состоит в выборе из семейства интегральных кривых той кривой, которая проходит через фиксированную точку (1о, уо).
Задачу нахождения при 1 > 1о решения у (г) дифференциального уравнения (14.1), удовлетворяющего начальному условию (14.2), будем называть задачей Коши. В некоторых случаях представляет интерес поведение решения при всех 1 > 10. Однако чаще ограничиваются определением решения на конечном отрезке [го, 7~. 2. Разрешимость задачи Коши. Пусть П вЂ” множество точек (1, у), удовлетворяющих условию 4) ~ ~1 ~~ Т, — м < у ( ~; это множество будем называть полосой.
Приведем одну из теорем о разрешимости задачи Коши. Т е о р е и а 14.1. Пусть функция 1'(1, у) определена и непрерывна в полосе И Предположил также, что она удовлетворяет условию,7ип- (14.4) Поэтому условие (14.4) можно также называть условие и Липшица. 3 а м е ч а н и е 2. Теорема 14.1 остается справедливой, если в ее формулировке условие Липшица (14.3) заменить менее ограничительным одностороннггл условиелг .Типшица (У(1) у1) У()) у2))(у1 у2) ' о (У1 ут) (14.5) Подчеркнем, что входящая в это условие постоянная о может иметь произвольный знак.
Для дифференцируемых по у функций 1 условие (14.5) выполняется тогда и только тогда, когда для всех (1, у) ЕИ справедливо неравенство (14.6) Ясно, что для функций, удовлетворяющих условию Липшица с постоянной 1,, одностороннее условие заведомо выполнено с постоянной о~ 1. Пример 14.1. Функция г" (1) = сов (1 + у) удовлетворяет условию Липшица с постоянной 1, = 1, так как 1' = — вгп (1+ у) и ~1 ~ ~ (1. Отсюда следует, что решение задачи Коши у = сов (г + у), у (1о) = уо существует и единственно на любом отрезке (го, 1~. Пример 14.2. Функция 1(1, у) = Х вЂ” уз нс удовлетворяет условию Липшица, поскольку 1 = — Зу- "и модуль этой величины не ограничен.
В то же время одностороннее условие (14.6) выполняется с постоянной )т = О, Следовательно .ледовательно, можно утверждать, что решение задачи Коши у = 1 — уз, у (го) = уо существует и единственно на любом отрезке ~~о, 7~. Пример 14.3. Функция 1" (4, у) = 1 + уз не удовлетворяет одностороннему условию (14.6), так как частная пронзводная 1' = Зуз не ограничена сверху. 1г Поэтому вопрос о разрешимости задачи. Коши у = 1+ у', у (го) = уо требует дополнительного исследования. Отметим следующий полезный результат, указывающий на зависимость степени гладкости решения задачи Коши от степени гладкости правой части дифференциального уравнения.
Т е о р е м а 14.2. Пусть функция ~ непрерывно дифференцируелга т раз в полосе И 1огда если функция у являегися на отрезке (го, 1]' решениелг задачи Коши (14.1), (14.2), пго она непрерывно дифференцируелга т + 1 раз на эпголг отрезке. 413 Это утверждение непосредственно вытекает из возможности дифференцирования тождества У (1) - =~(М, у (М)) не менее чем т раз. В дальнейшем функции ~ и у будем предполагать дифференцируемыми столько раз, сколько потребуется при рассмотрении соответствующих численных методов.
3. Устойчивость решения задачи Коши на коне шом отрезке. Этот вопрос весьма важен для понимания особенностей методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Рассмотрим сначала процесс распространения погрешностей, внесенных в начальные значе- ниЯ. ПУсть У* — возмУщенное начальное значение, Яо — Уо — У' — его погрешность, а У ~(1) — решение соответствующей задачи Коши (У*) '(1) = П1, У*(1)) (14.7) У (~о) У Вычтем из уравнения (14.1) уравнение (14.7) и воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа: У(~ У ®) -Х(~ У*(1)) = Л (~)(У(~) — У*(~)) Л (1) = Х„'(~, У(~)), е'(Х) = Л (Х)е(М), (14.8) и начальному условию е (~о) = ео.
(14.9) Решение задачи (14.8), (14.9) выражается формулой е (М) = еоехр ~ / Л(т)Ат . 1С о Таким образом, величина 1 Г с С ® = ехр ~ / Л(т)от~ = ехр ~ ~ ~ (т, у (т))с1т . о о играет в задаче Коши роль коэффициента роста ошибки. 414 где У (1) — некоторое промежуточное между у (1) и у*(1) значение.
В результате получим, что погрешность к (Ф) = у (М) — У'(1) удовлетворя- ет дифференциальному уравнению Заметим, что знак производной 1" оказывает существенное влияние У на поведение погрешности е (1). Если 1"' ) О то величина С (1), а у вместе с ней и модуль погрешности монотонно возрастают П и эйм Р соответствующие интегральные кривые расходятся. Иллюстрацюй такого поведения погрешности может служить рис. 14.3, Иначе а. ведет себя погрешность в случае 1' < О.
Здесь С (м) и !е (т) ! с ростом 1 монотонно убывают, а соответствующие интегральные кривые сбзижаются. Ошибка, внесенная в начальное значение, имеет тенденцию к затуханию (рис. 14.3, б). В случае, когда производная 1' незнакопо~ 0- у яниа, поведение погрешности может быть более сложным. Уо Й а Рис. 1фЯ Важно отметить, что в любом случае выполнение одностороннаэ условия Липшица (14.5) гарантирует, что коэффициент С (1) розга ошибки окажется ограниченным, если задача решается на конечн0м отрезке [1е, Т). В самом деле, в этом случае Г 1'(т, у (т))6т ~ <[ сгс$т = ст (~ — ~0) у 3 о 0 и поэтому С (1) ( К (Т) для всех ~0 ( 1 ( Т, где <и т-'ю~ ~е при о" ) О, при а< 0. (14.10! Таким образом, при выполнении условия 1' ( а справедлива оценка у п~ах /у(~) — у'(Ю)! (Е(Т)!у0 уо! $~( 1(Т (14.11! выражающая устойчивость на конечнол отрезке (ьо, 7~ решения задачи Коши по начальнмл значениям.
4. Модельное уравнеьие. Наиболее простым образом ведет себя погрешность в случае, когда решается линейное уравнение у'(1) = Лу (1) + У(1) с постоянным коэффициентом Л. В этом случае погрешность е удов- летворяет уравнению я (1) = Ля (ь) и выражается формулой л~с-~ ~ я (~) = Яос (14.12) Поскольку функция 1 (ь) не влияет на характер распространения погрешности, при изучении устойчивости по начальным значениям естественно ограничиться случаем 1 (ь) - =О и рассматривать уравнение (14.13) Уравнение (14,13) часто называют лодельны'и уравнениии. Оно играет важную роль при исследовании свойств численных методов решения задачи Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
