Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Оценим погрешность каждого из полученных значений, используя неравен- ства (13.13) — (13.15). Вычислим Х~ 2'(х) = (4хт — 2)е х2. Как нетрудно видеть ~У т~ ~ 4 М2 = 2. Следовательно, Х вЂ” 4р «~ — (0.1)т ц 0.84 10 3 $ Х вЂ” Хт~'р1 ~ — (0.1)' ~ 1.7.10 з. Далее, Х~а>(х) = (16х4 — 48х2 + 12)е х, ~Х~4~ ~ «С12.
Поэтому '1Х вЂ” Х ~ '«с — (0.1)4 ~ 0.42 10 е. ь 121 с 2880 383 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1.0000000 0.9975031 0.9900498 0.9777512 0.9607894 0.9394131 0.9139312 0.8847059 0.8521438 0.8166865 0.7788008 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 0.7389685 0.6976763 0.6554063 0.6126264 0.5697828 0.5272924 0.4855369 0.4448581 0.4055546 0.3678794 Таким образом, из вычислений по формуле прямоугольников с учетом погрешности следует, что 1 = 0.747 х 0.001; по формуле трапеций — что 1 = = 0.746 х 0.002; по формуле Симпсона — что 7 = 0.7468242 х 0.0000005. 6.
Случай переменного шага. Приведем составные квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона в случае переменного шага Ь; = х, — х;1. ~~~ байр — ~ Л - 1(тЬь 1=1 "Яь| + 4Л 1,т + Я 1=1 6 Вывод этих формул и их геометрический смысл остаются теми же, что и для случая постоянного шага. Теоремы об оценках погрешности также останутся справедливыми, если в неравенствах (13.13) — (13.15) заменить Ь на Ьаах = шах Ь;. 1ч Ьь.п $13.2.
Квадратурные формулы интерполяционного типа Для приближенного вычисления определенных интегралов часто используется следующий естественный для методов приближения функций прием. Подынтегральную функцию 1 аппрокснмируют на отрезке [а, Ц некоторой функцией у, интеграл от которой легко вычисляется, а затем полагают Ь ь [ ~(х)6х в [ д (х)Йх. (13.16) Ь а / У(х)йх м Х / у;(х)йх.
а ~=1 х; 1 384 Точность формулы (13.16) можно повышать за счет усложнения метода глобальной аппроксимации. Однако чаще используется другой подход. Интетрал 1 представляют в виде суммы (13.4) интегралов по элементарным отрезкам [х;1, х;~. На каждом таком 1-м отрезке функцию 1'(х) аппроксимируют некоторой легко интегрируемой функцией у;(х).
В результате получается составная формула Р„,(х) — Е ~(». )У .(х), 1 .(х) П е в у= =о у "'у "у 1=о»'" — »Ь" 1~у (13.17) 1Ь; Используя замену переменной х = х, 1у» + — ' вычислим интеграл 2 от Р„,; на отрезке [х, 1, х,]: в 1 1 а (1 1у) = Ь1 К аф(х1 . 1у2 + 1уЬ1/2), ау = — / П сИ.
у=о 2 1 ь=о (Уу - Ц~) йф х1 Приближенная замена интеграла 1 суммой 1Ь = Е ] Р~,~х)г1х приводит к следующей составной квадратурной форлуле интерпоАЯ- ци онн о1 о тина: 1н 1ь = Е Ь1Е ау~(х; 1 2+ т' Ь;/2), 1=1 у=о (13.18) 3 а м е ч а н и е. Квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на основе равноотстоящих значений 1о, 11, ..., 1,„, назы- вают ф орл ул али Ньютон а — Ко теса'. Рассмотренные в предыдущем параграфе простейшие квадратурные Формулы являются формулами интерполяционного типа; более того, Роджер Котес (1бо2 — 1716) — английский математик, друг и ученик И, Ньютона.
13 — 28 385 1. Вывод квадратурных формул интерполяционного типа. Рассмотрим более подробно этот подход в случае, когда аппроксимация осуществляется с помощью интерполяционного многочлена. Зафиксируем некоторые значения 1о, 11, ..., 1~6[ — 1, 1], Аппроксимируем функцию у(х) на 1'-и элементарном отрезке [х; 1, х,] интерполяционным многочленом Р,(х) с узлами интерполяции»г.о = х; 1у2 + 1уЬ,/2, у = О, 1, 2, ..., т.
В случае, когда все значения 1у различны, можно воспользоваться записью интерполяционного многочлена в форме Лагранжа: они относятся к классу формул Ньютона — Котеса. Формулы прямоугольников (13.6), трапеций (13.10) и Симпсона (13.12) отвечают использованию интерполяционных многочленов соответственно нулевой, первой и второй степени. 2. Оценка погрешности Приведем теорему об оценке погрешности формулы (13.18).
Т е о р ем а 13.3. Пусть функция ~ илеет на отрезке 1а, Б) непрерывную производную порядка тп + 1. Тотда дтя потрешности квадратпурной форлувм (13.18) справед*ива оценка ~1 — Ф~ ~ СнМ 1(Ь вЂ” а)Ь„щ„, (13.19) тде 1 1 Ж М и Представим погрешность Я = 1 — Р" формулы (13.18) в виде Ь х; х$ Л = )' У(х) Ь вЂ” Е ~ Р„;( ) )х = Е ~ Щх) — Р„,;(х))а . а т=1 х,-1 1=1х; 1 Пользуясь оценкой (11.26) погрешности интерполяции, в данном слу ' чае принимающей вид п п ь,т т п ~Л~ < Х ~ У(.)-р,(х)~дх< К "', / ~ И (х-.(о)~а*= ;=1х, т 1=1 (т + 1)! х,.
1 Ь=о Учитывая, что Е Ь1'~ < Ьйвк~ Х Ь, = Ь~~~~ (Ь вЂ” а), приходим к оценке, 1=1 1=1 (13.19) В 386 и производя замену переменной х = х, 1 2 + й~2, получаем цепочку,, неравенств они относятся к классу формул Ньютона — Котеса. Формулы прямоугольников (13.6), трапеций (13.10) и Симпсона (13.12) отвечают использованию интерполяционных многочленов соответственно нулевой, первой и второй степени. 2.
Оценка погрешности Приведем теорему об оценке погрешности формулы (13.18). Т е о р ем а 13.3. Пусть функция ~ илеет на отрезке 1а, Б) непрерывную производную порядка тп + 1. Тотда дтя потрешности квадратпурной форлувм (13.18) справед*ива оценка ~1 — Ф~ ~ СнМ 1(Ь вЂ” а)Ь„щ„, (13.19) тде 1 1 Ж М и Представим погрешность Я = 1 — Р" формулы (13.18) в виде Ь х; х$ Л = )' У(х) Ь вЂ” Е ~ Р„;( ) )х = Е ~ Щх) — Р„,;(х))а . а т=1 х,-1 1=1х; 1 Пользуясь оценкой (11.26) погрешности интерполяции, в данном слу ' чае принимающей вид п п ь,т т п ~Л~ < Х ~ У(.)-р,(х)~дх< К "', / ~ И (х-.(о)~а*= ;=1х, т 1=1 (т + 1)! х,.
1 Ь=о Учитывая, что Е Ь1'~ < Ьйвк~ Х Ь, = Ь~~~~ (Ь вЂ” а), приходим к оценке, 1=1 1=1 (13.19) В 386 и производя замену переменной х = х, 1 2 + й~2, получаем цепочку,, неравенств ф м 560 (Ь вЂ” а) при т = 30. В силу плохой обусловленности эти формулы уже при т > 10 используются весьма редко. $13.3. Квадратурные формулы Гаусса 1 К Ш~)1~' ~ ад(Ь) (13.20) для стандартного отрезка [-1, 1]. Затем с помощью замены переменной а + Ь Ь вЂ” а х = 2 2 + — 1 осуществляют переход к формулам интегрирова- ния на произвольном отрезке: ь Ь вЂ” а~ ~а+ Ь Ь вЂ” а ~~(х)дх м Е а~ ~ — + а 2 ~ о ~ 2 2 (13.21) Заметим, что формула (13.20) точна для многочленов степени т тогда и только тогда, когда она точна для функций ~(1) = 1, 1, б, ... ..., Р". Это эквивалентно тому, что узлы 1, и веса а; формулы (13.20) должны удовлетворять системе нелинейных уравнений (13.22) Можно показать, что система (13.22) имеет единственное решение а0, 1.
Построение квадратуриых формул Гаусса. Из результатов преь дыдущего параграфа следует, что квадратурная формула /~(х)сЬ м а К и Х А~(х,), построенная интегрированием интерполяционного много- 3~0 члена степени Ф с фиксированными узлами х0, хп ..., ху, точна для всех многочленов степени У. Однако, если имеется свобода в выборе узлов, то можно распорядиться ею так, чтобы получить формулу, точную для всех многочленов некоторой степени, превышающей Х Поставим следующую задачу: при заданном числе У + 1 узлов построить квадратурную формулу, точную для многочленов наиболее высокой степени. Формулы, удовлетворяющие этому условию, принято называть квадратурными формулами Гаусса.
Как правило, сначала строят формулы Гаусса а1, ..., ау, 1о, 11, ...,, 1у (причем 1; 6 [ — 1, 11) тогда и только тогда, когда число уравнений системы совпадает с числом неизвестных, т.е. в слу- чае тп = 2Л' + 1. Пример 13.3. Построим квадратурную формулу Гаусса (13.20) с двумя узлами. В этом случае, т.с. при Ж = 1, т = 3, система (13.22) примет вид 1 ао + а1 = 11о1= 2, -1 2 ао1~~ + аЯ = ~Ис11 = —, 3 1 ойдо+ а111 = 1М1= О, -1 1 ° 4+.14 = (тч1= О. -1 1 1 Решая ее, находим значения ао — а1 = 1, 1о = — —, 11 — — — . Таким образом, 43 43 получаем квадратурную формулу Гаусса 1 У(1) 11' -1 М точную для многочленов третьеи степени.
Для квадратурной формулы Гаусса справедлива следующая оценка погрешности: )д~ ( о„,М гу (~ а)г1у з — ИЛ'+ 1).34 Входящий в нее коэффициент ог11 —, очень быстро убывает с ростом Х Приведем, например, несколько первых его значении: ао в 4 10г, а1 м 2 104, аг ~ 5 10т, аз в 6.10'о, а4 ~4 101з. Можно было бы разбить отрезок интегрирования на частичные отрезки и исходя из формулы Гаусса построить составную формулу, имеющую порядок точности, равный 2гт'+ 2, Однако при интегрировании достаточно гладких функций в этом нет необходимости, так как уже при небольшом числе узлов (4 < Л < 10) формула Гаусса обеспе- чивает очень высокую точность.
На практике используются и формулы с десятками и сотнями узлов. 2. Узлы и веса квадратурной формулы Гаусса. Приведем значения узлов и весов квадратурной формулы Гаусса с числом узлов от 1 до 6 (табл. 13.2): 390 Таблица132 О! ))2 а! 0.0000000000 -0.2386191861 0.5688888888 0.4679139346 И4 а5 ! Пример 13.4. Найдем значение интеграла )е х с1х, используя квадратурную о формулу Гаусса с двумя, тремя и четырьмя узлами. В данном случае а = О, 6 = 1, 7" (х) = е хг и формула (13.21) принимает вид 2 1 = ~ е х Йх и 1))) = — Е а,е о 21=о Взяв из табл. 13.2 значения узлов 2; и весов а; при Х = 1, 2, 3, получим следующие приближения: ! 0,2))324865) + -! о 788675)35) ) ~ О 7465946885' 1 ° г 2 2 391 72 аг !3 аз 0.00000000000 2.00000000000 -0.8611363115 0.3478548451 -0.3399810436 0.6521451549 0.3399810436 0.6521451549 0.8611363115 0.3478548451 -0.5773502692 1.0000000000 0,5773502692 1.0000000000 — 0.9061798459 0.2369268851 -0.5384693101 0.4786286705 0.5384693101 0,4786286705 0.9061798459 0.2369268851 -0.7745966692 0.5555555556 0.0000000000 0.8888888888 0.7745966692 0.5555555556 -0.9324695142 0,1713244924 -0.6612093864 0.3607615730 О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
