Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Добавим еще, что вычисления интеграла в этих случаях по формуле (13.2), как правило, приводят к громоздким (а часто — и приближенным) вычислениям. Следует отметить также, что зачастую найти точное значение интеграла (13.1) просто невозможно. Например, это имеет место, когда функция ~(х) задается таблицей своих значений. Обычно для вычисления значения определенного интеграла применяют специальные численные методы. Наиболее широко используют на практике нвадратурние формулы — приближенные равенства вида ь К ~~(х)с1х и Е А~(х,), (13.3) Здесь х; — некоторые точки из отрезка [а, Ь] — узлы хоадратурной фор нули; А, — числовые коэффициенты, называемые весамн нвадра- У турной формулы; Ф 1 0 — целое число. Сумма Е А~(х;), которая ~=О принимается за приближенное значение интеграла, называется коадра- 6 У турной суммой.
Величина В = /~(х)дх — Е А~(х;) называется но- а с*О ьрешностью (или остаточным членом) хвадратурной формулы. Будем говорить, что квадратурная формула (13.3) точна для мно1очленов степени т, если для любого многочлена степени не выше т эта формула дает точное значение интеграла, т.е.
ь У ~р (х)ах= Е АР (*;). в=О При оценке эффективности квадратурных формул часто исходят из того, что наиболее трудоемкой операцией при вычислении по формуле, (13.3) является нахождение значения функции ~ Поэтому среди двух формул, позволяющих вычислить интеграл с заданной точностью я, более эффективной считается та, в которой используется меньшее число узлов. Выведем простейшие квадратурные формулы, исходя из наглядных геометрических соображений.
Будем интерпретировать интеграл (13.1), как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функ- ции у = ~(х) (при ~(х) 1 О), осью абсцисс и прямыми х = а, х = Ь. (рис, 13.1, а), 376 Рис. 121 д к,У х ~~рк1 х д а=х,к, к, щ АлЬх Рис. 18.х Разобьем отрезок [а, 6] на элементарные отрезки [х, ~, х] точками а = хо < х~ < ... <хп — 5. Интеграл 1 разобьется при этом на сумму элементарных интегралов: 1= Е1ь (13.4) ~=1 ха где Х; = ) 1(х)йх, что соответствует разбиению площади исходной хз -1 криволинейной трапеции на сумму площадей элементарных криволинейных трапеций (рис. 13.1, 6).
Введем обозначения: Я = У(х;), Д ~д — — ~(х, ~~г), где х; = (х; ~ + х,)/2 — середина элементарного отрезка. Для простоты шаг Ь = х; — х; ~ будем считать постоянным. 2. Формула прямоугольников. Заменим приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью прямоугольника, основанием которого является отрезок [х, ~, х;], а высота равна значению Я ~ ~ (на рис. 13.2, а через Л'; ~ ~ обозначена точка с координатами (х; ~~, ~ ~~)).
Так мы приходим к элемеитпарной хоадратпуряой формуле пря.иоу~ольникоо: 377 Производя такую замену для всех элементарных криволинейных тра- пеций, получаем составную квадратурную формулу прямоу1ольников: (13.6) 3 а м е ч а и и е. Иногда используют формулы п-1 1нЬ Е Я, (13.7) (13.8) называемые соответственно составными хвадратурными формулами левых и правых прямоу1ольнихов. Геометрические иллюстрации приведены на рис.
13.3, а и 6. В соответствии с этим формулу (13,6) иногда называют составной квадратурной формулой центральных прямоу1ольнихов. 3. Формула трапеций. Соединив отрезком точки 1У,1(х;1, Д1) и У;(хь Я) на графике функции у = ~(х), получим трапецию (рис. 13.4, а). Заменим теперь приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью построенной фигуры. Тогда получим элементарную хвадратурную формулу трапеций: (13.9) Пользуясь этой формулой при 1' = 1, ..., и, выводим составную хвадра- турную формулу трапеций: 2 + Л + У2 + "° + 1п-1 + Ц с то Уи+ ~ у А + (13.10) Эта формула соответствует приближенной замене площади исходной 378 Эта формула соответствует приближенной замене площади исходной криволинейной трапеции площадью ступенчатой фигуры, изображен- ной на рис.
13.2, 6. криволинейной трапеции площадью фигуры, ограниченной ломаной линией, проходящей через точки Уо, У~, ..., Ф„(рис. 13.4, б). 4 Формула Симпсона1. Если площадь элементарной криволинейной трапеции заменить площадью фигуры, расположенной под параболой, проходящей через точки Ф, ~, У; ~ г и У, (рис. 13.5, а), то полух,. чим приближенное равенство 1, и 1 Рг(х)с1х.
Здесь Рг(х) — интерполяю-1 Р,(.)=Л., +А „'-'(.—;, )+ А — 2Л - ~гг + А-~ ~ + Лг!2 (х — х; 1д) . Ее интегрирование приводит к равенству Л вЂ” А-1 (х; — х, 1д)ох + х1-1 Рг(х)ах= ЬЛ, + А — 2Л 1д +,А1 Ьг/2 (х- х; ~~г)гйх = ~-1 Л й = аЛ ил+-(Л-2Л-,,г+ Л-ь) = -(Л, +4Л ~,,г+ Л). Таким образом, выведена злементпарная квадратурная формула Снми- сона: й 1 н — (Л ~ + 4Л ~ ~г + Л). 6 (13.11) Применяя эту формулу на каждом элементарном отрезке, выводим состпавную каадратпурную формулу Сшинсона: ~ Томас Симпсон (1710 — 1761) — английский математик. г Проверку того, что Рг(х; ~) = Ап Рг(х, 1д) = А ~д, РКц) = А, рекомендуем провести самостоятельно.
380 ционный многочлен второй степени с узлами х, и х, ~~г, хь Как нетрудно убедитьсяг, верна формула 1» 1~ 6 (~1 + 4Я~2+ 2Я + 41за+ 2Л+ .. + 2~и-1+ Ь Ь и и-1 + 4~п-1д+ Уп) = — (А+ 1и+ 4 Е Я 1д+2 Е Д). 6 1'1 1 1 (13.12) 3 а м е ч а н и е 1. Учитывая геометрическую интерпрегацию формулы Симпсона, ее иногда называют формулой парабол. 3 а м е ч а н и е 2.
В случае, когда число элементарных отрезков разбиения четно (и = 2т), в формуле Симпсона можно использовать лишь узлы с целыми индексами: Х»-®+Да+4 Е 6;-1+2 Е Ь1) ° 1=1 1=1 При выводе этой формулы роль элементарного отрезка играет отрезок [х~1 т, х~,~ длины 2Й. ~ И[ ~%И вЂ” «) 11Р Ь 1и2(Ь вЂ” а) 11 (13.13) (13.14) и Выведем сначала оценку (13.13). Представим погрешность Я Ь = 1- 1„Р формулы прямоугольников в виде Ь и и Л= /П)1 -Ь Е Л.1 = Е ~ У(*)-П,, ))а. « 1*1 1-1 Используя формулу Тейлора У(х) = У(х1-1~а) + Г(х1-1лНх — х1-1л) + 2 (х — х1-1л)' У'С0 где х Е [х,1, хй, ~ = ~[х)Е [х;1, х1~, имеем 5.
Оценка погрешности. Оценим погрешность выведенных квадратурных формул в предложении, что подынтегральная функция ~достаточно гладкая. Как и в предыдущих главах, будем использовать обозначение М„= п1ах [~1 "1(х) ~. [а, Ц Т е о р е и а 13.1. Пусть функция ~ дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [а, $]. Т«1да для составных квадратурных формул прямоу1олЬников и п1рапеций справедливы следуощие оценки по1решности: хг 1 хг А= / (Х(х) — Х("-1п)?1х= — Г Г(6))(х — х,-гл)гс1х, хг 1 2х,, хг /Я,/ ~ — ( (х-х- „,)гДх= — (.-х )3' = — Ьз Мг Мг хг Мг 2 х,, 6 ' ~х1 24 хг' Ь Я; = / 1(х)г1х — — Я1+ Я) = / (~(х) — Р1(х))1х.
г-1 2 ' ' х,. Используя оценку (11.28) погрешности линейной интерполяцик, имеем Мг Мг ~~~ < 1 г(,, )(х. х)с1х гЬз г-1 Следовательно, для Я = 1 — 4~р справедлива оценка ~Л~< К ~Л1< — 'Ьз.= '(' ') Ьг И 12 12 Приведем теперь без доказательства теорему об оценке погрешности формулы Симпсона. Т е о р е и а 13.2. Пусть функция У илгеет на отрезке 1а, 6~ непрерывную производную четвертого порядка ~г 4'. Тогда для форлгу*ы Силгпсона (13.12) справедлива оценка погрешноспги гЬ~ < М4(о — а) С 2880 (13.15) 3 а м е ч а н и е 1. Оценки (13.13), (13.14) и (13.15) означают, что формулы прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности относительно Ь, а формула Симпсона — четвертый порядок точности.
Из тех же оценок следует, что формулы прямоуголь- 382 п Мг Мг Так как Я = Е Вгг то ~Л~ ~ (Х вЂ” Ьз = — Ьзп. Замечая, что пЬ = г=1 ,=1 24 24 = д — а, приходим к оценке (13.13). Для вывода оценки (13.14) воспользуемся тем, что отрезок, соединяющий точки У,1 и У; представляет собой график интерполяционх; — х х — х; 1 ного многочлена первой степени у = Р1(х) = Л1 + Я Ь ' Ь Поэтому для элементарной формулы трапеций верно равенство ников и трапеций точны для многочленов первой степени, а форму- ла Симпсона — для многочленов третьей степени.
3 а м е ч а н и е 2. Формулы (13.7) и (13.8) имеют лишь первый порядок точности (абсолютная погрешность каждой из формул не превышает 0.5 М1(5 — а)Ь) и поэтому для вычисления интегралов на практике они используются крайне редко. 1 Пример 13 2. Вычислим значение интеграла ) е х2с1х, используя квадратуро ные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона с шагом Ь = 0.1. Сначала составим таблицу значений функции у = е х' Т а б л и ц а 13.1 ех е х2 Производя вычисления по формулам (13.6), (13.10), (13.12), получим 4р = = 0 74713088 Хтр = 0 74621079 Х = 0 74682418.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
