Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 67
Текст из файла (страница 67)
найдены непосредственной минимизацией функции Е (ае ' — у;)э. ЙО $11.14. Равномерное прибиижеиие функций 1. Задача о наилучшем равномерном приближении. Пусть /(х)— заданная на отрезке [а, в] непрерывная функция. Будем говорить, что многочлен Р„(х) приближает функцию /равномерно на отрезке [а, 6] с точностью е, если Ь(Р„) = шах [/(х) — Р„(х) ~ < з. Таким образом, [а,6] величина Ь(Рп) играет здесь роль погрешности приближения. Естественно поставить следуюшую задачу: среди всех многочленов фиксированной степени и найти многочлен ф,(х), для которого величина погрешности равномерного приближения минимальна, т. е.
Ь(ф~) < Ь(Рп) для любого многочлена Р„(х) степени и. Поставленная задача называется задачей о наилучшем равномерном приближении, а искомый многочлен цп(х) — .имоеочлемом наилучше~о равномерноьо приближения. Справедливо следующее утверждение. Т е о р е м а 11.14. Для любой непрерывной ма отреэне [а, в] фуммции / мноаоч*ен наилучше~о равномерно~о приближения Цп степени и срцествует и единствен. Пример 11.17. Покажем, что многочленом наилучшего равномерного приб- лижения нулевой степени для функции у = ~/х на отрезке [О, 1] является (,'Ь(х) = 1/2. Заметим, что Ь(4,'Ь) = шах ~~/х — 1/2~ ~= 1/2 (рис.
11.12, а) и [0,11 этот максимум достигается в точках эВ = О и х1 = 1. Для любого другого многочлена Рв(х) = а, где а Ф 1/2, значение Ь(Рв) > 1/2. В самом деле, если %6 а > 1/2, то ИРо) > ~~%~ — а! = а > 1/2. Если же а < 1/2, то гь(Ро) Э ~ ~Д вЂ” а] = 1 — а > 1/2. а) 'бг Рис. П.1е Приведем без доказательства один из наиболее известных результатов о многочленах наилучшего равномерного приближения. Т е о р е и а 11.15 (теорема Чебышева). Для того чтобы лгногочлен Щх) был .имогочленолг наилучшего равнолгерного приближения непрерывной на отрезке [а, Ь] фумкггии /(х), необходиио и достаточно, чтобы на отрезке ~а, Ь] нашлись по крайней мере п + 2 пгочки хо < < х1 ( х2 < ...
( х„,г такие, что /(х;) — Я„(х;) = а(-1)' гпах ~/(х) - ©,(х) ~, г = О> 1, ..., и + 1. (11.118) (а, Ь] Здесь гг — постоянная, равная 1 или — 1 для всех г одноврелгенно. Точки хо, хг, ..., х„,п удовлетворяющие условиям теоремы, принято называть точка ии чебышевского а*ътернанса'. Равенство (11.118) накладывает на точки чебышевского альтернанса два требования: 1) в точках х, модуль погрешности приближения функции Умного- членом ф, достигает максимума: ~/(х,) — Я„(х,) ~ = пгах ~/(х) [а, Ь] — Чп( )1; 2) для всех г = О, 1, ..., и погрешность У(х;) — ©,(х;) меняеи знак при переходе от точки х; к следующей точке х; г. г От лат. а1гегпаге — "чередоваться".
Пример 11.18. В примере 11.17 точками чебышевского альтернанса являются точки л~ = 0 и х~ = 1 (число точек равно двум, так как п = 0). В самом деле, в этих точках достигается максимум модуля погрешности, а сама погрешность меняет знак при переходе от лВ к х1. Пример 11.19. Найдем многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени для функции у = ~х на отрезке [О, 1). В рассматриваемом случае п = 1 и должны быть по крайней мере три точки чебышевского вльтернанса. В частности, это означает, что графики функций у = 1/х и у = Я(х) = ах+ 6 должны пересекаться хотя бы дважды 1 — -а=О.
(11.119):. С учетом равенств фарп) = -Ь, 1о(х1) = Д вЂ” ах1 — Ь, фх2) = 1 — а — 6 условие перемены знака фя~) = -фх~) = фх~) эквивалентно двум уравнениям -Ь=-Д+ ах1+ 6, -Ь= 1- а- Ь. (11.120) (11.121) Из уравнения (11.121) сразу находим, что а = 1. Затем из уравнения (11.119) определяем, что х1 = 0.25. Наконец, из (11.120) получаем Ь = 1/8.
Таким образом, Щх) = х + 1/8 — многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени, аппроксимирующий функцию ~/х с погрешностью Ь((Ъ) = 1/8. 2. Задача о понижен~ степени многочлена. Пусть Р (х) = алехи + + ая1хи1 + ... + ао — многочлен степени в 1 '1, значения которого вычисляются на стандартном отрезке [-1, 1] (напомним, что к стандартному отрезку можно перейти от произвольного отрезка [а, Ь] линейной заменой переменных). Поставим следующую задачу о понижении сгпепеии .иио1очлеиа: аппроксимировать Ря(х) на отрезке [ — 1, 1] многочленом Я„1(х) наилучшего равномерного приближения на единицу меньшей степени. Заметим, что Я„(х) = Р„(х) — ©,1(х) — многочлен степени т со старшим коэффициентом, равным старшему коэффициенту а„, много- члена Р„(х).
Поставленную задачу можно иначе сформулировать так: среди всех многочленов степени тп с фиксированным старшим коэф- 358 (рис. 11.12, б). Функция 1о(х) = тх — Я(х) вогнута и потому может иметь на отрезке [О, 1] лишь одну внутреннюю точку экстремума х1. Следовательно, две из точек чебышевского альтернанса совпадают с концами отрезка: хо = О, я~ = = 1. В точке х1 функция фх) удовлетворяет необходимому условию экстремума ~р (х~) = О, что эквивалентно уравнению фициентом аи найти многочлен В„, шах ~ Ви(х) ~ минимальна. Как известно [1,1] задачи дает многочлен Я (х) = — „, Щх) ви для которого величина (см.
3' 11.6), решение этой и для него шах ~Я,„(х)~ = [-1,1] = ~~. Таким образом, решением поставленной задачи является мно- гочлен 4Р -1(х) = Ри(х) - — „", "Г (х). (11.122) Соответствующая погрешность приближения равна —. 1 ! 2" 1' 3 а м е ч а н и е. Тривиальный способ понижения степени много- члена Ри(х) — отбрасывание старшего слагаемого вихи дает погрешность, равную ~а„~, т. е. в 2и' раз большую, чем приближение многочленом (11.
122). Дх) = Е а~х". (11.123) Требуется найти многочлен минимальной степени, равномерно приближающий функцию ~ на отрезке [ — 1, Ц с заданной точностью е. Излагаемый ниже метод решения этой задачи часто называют эконо ииэаиией степенных. рядов. Сначала берут отрезок ряда Тейлора Р„(х) = Е а~х", аппроксимирующий функцию ~ с точностью ее < к. й=о Далее степень многочлена последовательно понижают. Если погреш- 359 3.
Нахождение многочленов, близких к наилучшим. В большинстве реальных случаев задача о наилучшем равномерном приближении непрерывной функции ~ является очень трудной. Для ее решения развиты специальные численные методы, реализованные в виде стандартных программ. Заметим, однако, что во многих ситуациях достаточно ограничиться нахождением многочлена, близкого к наилучшему, либо просто найти многочлен, равномерно приближающий функцию ~ с заданной точностью е.
Укажем на два случая, когда возможно нахождение многочленов, близких к наилучшим. 1в. Пусть производная ~ "" ~ (х) функции ~ слабо меняется на отрезке [а, 6], Тогда интерполяционный многочлен Р„(х) с чебышевскими узлами (11.43) близок~к многочлену наилучшего равномерного приближения. 2в. Пусть функция ~(х) задана на отрезке [-1,.1] равномерно сходящимся степенным рядом (рядом Тейлора): ность в1 = —, понижения степени такова, что ео + е1 < е, то много- в~ 1 жают степень многочлена Р 1 по формуле Ри 1 — — Ри1 — — 1 Т 1 и и 2и2 т.
д. Процесс прерывают тогда, когда вычисление очередного я» дает ао + е1 + ... + е» > е. В этом случае полагают У(х) и Ри ы(х). Пример 11.20. Найдем многочлен минимальной степени, аппроксимирующий функцию у = вш х на отрезке [-1, 1) с точностью я = 10 в. хт»+1 Ряд в1п х= Е(-1)» »=о (2» + 1)! — знакопеременный, а его слагаемые убывают по модулю.
Поэтому погрешность приближения функции вш х отрезком о хт»+1 ряда Тейлора Р~,,1(х) = Е (-1)» »=о (2»+ 1)! оценивается величиной е о — 2п + 3)р равной максимУмУ модуля первого отбРошенного слагаемого. 1 Выбор п = 2 дает значение ео = — и 2 10 4 4 е. Следовательно, многочлен 5040 ь~ а~ Рв(х) = х — — + — аппроксимирует функцию у = в1п х с точностью е й 6 120 о и 2.10 4.
Понижение степени многочлена Рв будет сопровождаться дополнительной погрешностью а1 = — = — и 5.2 ° 10 '~. Следовательно е + е ( е и 1а! 1 24 1920 > 0 1 после понижения степени по формуле 1 вз хв 1 Р~(х) — — Тв(х) = х — — + — — — (1бхв — 20вв + бх) 1920 6 120 1920 получим многочлен 383 5 РЗ(х) = — х- — ~', 384 32 (11.124) дающий приближение к вш х на отрезке [ — 1, 1] с точностью 7.2 10 4. 5 1 Так как ев = — — ) 10 в то дальнейшее понижение степени невозмож- 32 2т но и решением задачи является многочлен (11.124). 360 и-1 член Ри заменяют многочленом Р„„1 = Ри — †" Ти = Е а),ы х», Если 2и ' »=о погрешность ав = такова, что ео + е1 + ав < е, то снова пони- у 11.15.
Дробно-рациональные аппроксимации и вычисление элементарных функций При создании стандартных программ вычисления элементарных и специальных функций специалистами но математическому обеспечению ЭВМ применяются разнообразные приемы, требующие глубоких профессиональных знаний. Используемые вычислительные методы не являются здесь машинно-независимыми, а, наоборот, существенно учитывают разрядность мантиссы, скорость выполнения арифметических операций и другие особенности конкретной ЭВМ. Отметим, что к указанным стандартным программам обычно предъявляется требование обеспечения относительной точности результата порядка машинного эпсилон з„. Использование богатой дополнительной информации об аналитических свойствах элементарных и специальных функций позволяет значительно уменьшить объем вычислений.
Существенно используется возможность представления вычисляемых функций сходящимися степенными рядами вида Е сьл». а=о (П.125) Здесь х = х — хо, .хо — точка, в которой осуществляется разложение функции в ряд. Отметим, однако, что вопреки распространенному мнению такие ряды непосредственно практически никогда не используются для вычисления функций. Широко применяемым в настоящее время способом представления функций является приближение их рациональными дробями вида ао+ а~х+ ...
+ а~Р Ь + Ь~» + ... + Ь Р (11.126) Е аух~ = у, Е Ььх~. у=о ' у=о Эти соотношения образуют систему У линейных алгебраических урав- нений относительно Л~ + 1 неизвестных. Такие системы всегда имеют 361 К дробно-рациональным аппроксимациям приходят различными путями. В ряде случаев используется рациональная интерполяаия — интерполяция функции рациональной дробью (11.126). Тогда коэффициенты а~ (,1 = О, 1, ..., и), Ь| (х = О, 1, ..., т) находятся из совокупности соотношений Я (г,) = у; (О ~ 1 < У, Ю = и + ти + 1), которые можно записать в следующем виде: нетривиальные решения. Можно записать Л (х) и в явном виде, если использовать аппарат обратных разделенных разностей 19]. Один из возможных путей состоит в использовании теории иевнмх (или непрерывных) дробей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
