Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Как следует из формулы (14.12), модуль погрешности решения уравнения (14.13) изменяется в е раз за интервал времени т = 1/)Л!. Поэтому величину т = 1/~ Л ~ иногда называют вре иеннбй постоянной или постоянной времени модельного уравнения (14.13). Если же параметр Л является комплексным числом, то временнбй постоянной назы- 1 вают величину т = В,е В случае, когда рассматривается распространение малого возмущения, внесенного в решение у (ь) уравнения у = 1(ь', д) в малой окрест- ности точки 1, значение коэффициента Л (1) в уравнении (14.8) оказывается близко к постоянной Л = ~'(1, у (ь)).
Поэтому при 1 и 1 справедливо приближенное равенство е '(1) н Ле (1). Это означает, что поведение погрешности для уравнения у = Лу моделирует локальное распространение погрешности для общего уравнения (14.1). Роль 1 временнбй постоянной играет здесь величина г (1) /Л/ Так как ее значение меняется с изменением точки 1, то ее назьтают локальной вреиеннбй постоянной.
Если же функция ~' 416 может принимать комплексные значения, то формула для т имеет вид (~)'= ~Ке~ (т, у (8)) ~ 5. Устойчивость по правой части. Будет ли решение задачи Коши устойчивым не только по отношению к погрешности ео задания начального значения, но и к погрешностям ~ (т) задания правой части уравнения? Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Т е о р е м а 14.3. Пусть выполнены условия теоремы 14.1. Далее, пусть у (~) — решение задачи (14.1), (14.2), а у~(~) — решение задачи (у*) (т) = ~(М, у* (т')) + ч' (С), (14.14) ( (14.15) Тогда справедлива оценка т 1у(~) — у'(~)! < К(ТК~у.
— у,о! + ~ ~й (~)~а), (14.Ы) ~о~~ Х~~Т 0 т выражающая устойчивость на конечном отпрезке [1о, Т~ решения задачи Коши по начальным значениям и правой части. Здесь К (Т) л< т-т1 — е О 3 а м е ч а н и е. Величина К (Т) играет в задаче Коши роль оценки числа обусловленности1. Если в теореме 14.1 условие Липшица (14.3) заменить односторонним условием (14.5), то оценка (14.16) будет выполнена с постоянной К ( Т), определенной формулой (14.10). 6. Устойчивость решения на неограниченном промежутке.
При решении самых разнообразных прикладных задач особый интерес представляет изучение описываемых дифференциальными уравнениями процессов на больших временных отрезках. В такой ситуации недостаточно наличия у задачи Коши свойства устойчивости на конечном отрезке.
Если входящая в неравенство (14.16) величина К (Т) может неограниченно расти с ростом Т, то зто означает, что допускается неограниченный при Т ~ ~о рост погрешностей. Как следствие, при достаточно больших Т такая задача является плохо обусловленной и найти ее решение на отрезке (то, Т) с приемлемой точностью оказывается невозможно. 1 тт Напомним, что общее понятие о числе обусловленности вычислительной задачи содержится в гл.
3. ~4 — 28 417 Пример 14.4. Рассмотрим задачу Коши у (1) = у (1) — 31в 1 + сов у(0) = О. Ее решением, как нетрудно проверить, является функция у (1) = а1п Внесем в начальное значение погрешность, заменив условие у (О) = О условием у (0) = е. Решением соответствующей задачи служит уже функция у (1) = в1п 1 + атее. Погрешность ее~ с ростом 1 быстро увеличивается и, как видно из рис. 14.4, уже при не очень больших 1 ее значение становится Рис. 14.4 неприемлемо большим. Для того чтобы обусловленность задачи Коши не ухудшалась с ростом Т, в силу замечания 1 к теореме 14.3 достаточно потребовать, чтобы правая часть уравнения удовлетворяла неравенству ~' (1, у) < О для всех 1 1 1о и произвольных у. Более У того, можно доказать, что при выполнении условия ~„(1, у) ~ о < О справедлива следующая оценка: ! у (1) — у*(1)! ~ е 1уо — у,'~ +.[ — ~ х [Й1')1.
~т(М вЂ” 1о) 1 ~о«О~ (14.17) известно, что у* (т) — у (т) О при 1 - ю, то решение у (1) называется асимптотически устойчивым. 3 а м е ч а н и е 1. Решения модельного уравнения (14.13) с вещественным параметром А устойчивы по Ляпунову тогда и только Александр Михайлович Ляпунов (1857 — 1918) — русский математик и механик. Приведенное здесь определение устойчивости по Ляпунову является более грубым, чем классическое определение [93). 418 Предположим, что на каждом отрезке [1о, 7~ (1о < Т вЂ” произвольное) неравенство (14.6) выполнено с некоторой постоянной о = о(Т).
Тогда решение у (т) определено для всех 1о ~ 1 < ю. Пусть у' (1)— решение уравнения (14.7), отвечающее произвольному начальному значению у,',. Назовем решение задачи Коши (14.1), (14.2) устойчивым по Ляпунову', если справедлива оценка тпах ~ у (т) — у'(г) [ 1о~ МТ < К[ ус — у,'[, где постоянная К не зависит от Т. Если дополнительно тогда, когда А 4 О, и асимптотически устойчивы тогда и только тогда, когда А < О. Этот вывод легко следует из формулы (14.12). Если же параметр А — комплексное число, то из той же формулы КеА(Т вЂ” Ц) следует, что )с (~) ~ = )яо) е . Поэтому решения модельного уравнения устойчивы по Ляпунову тогда и только тогда, когда йеА ( О, и асимптотически устойчивы тогда и только тогда, когда И А<0. 3 а м е ч а н и е 2. Для решения задачи Коши (14.1), (14.2) (как вытекает из неравенства (14.11) и формулы (14.10)) грубым достаточным условием устойчивости по Ляпунову служит выполнение неравенства ~' 4 О.
Следствием выполнения условия ~' ~ о с посто- У У янной о < 0 является асимптотическая устойчивость решения. $14.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения 1. Сетки и сеточные функции. Первый этап на пути построения численного метода решения задачи Коши состоит в замене отрезка [1о, 7~ — области непрерывного изменения аргумента 1 — множеством ыЬ, которое состоит из конечного числа точек 1о ( 1» < ... (1»ч = Т и называется е, е~-1 ~а ~и сеткой. Сами точки 1; называются узла4л ми сетки, а величина Ь„= 1„— 1„1— Рис. Ц.5 шагом сетки (рис.
14.5). Для того чтобы упростить изложение, будем рассматривать, как правило, равномерные сетки, т.е. такие сетки, для которых шаг Ь„постоянен. В этом Т вЂ” 4» случае Ь,„= Ь = и 1„= 4» + нЬ, п = 1, 2, ..., Ф. Наряду с функциями непрерывного аргумента будем рассматривать и сеточные функции, т.е. такие функции, которые определены лишь в узлах сетки ~о". Для того чтобы отличать сеточные функции от функций непрерывного аргумента, будем помечать их индексом Ь. Так, например и" — сеточная функция.
Для краткости записи значения и"(1„) сеточной функции и" в узлах 1„сетки ы" будем обозначать через и„, 2. Дискретная задача Коши Следующий этап в построении численного метода состоит в замене задачи Коши ее дискретным аналогом— системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения у~, уа, ..., у1У сеточной функции у", играющие роль приближений к значениям решения задачи Коши в узлах сетки ~о". 419 В основе построения конкретного численного метода лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения у'= ~(г, у) его дискретным аналогом — уравнением вида (14.18) й — Е Цуп+г-з = Ф (1п> Уа.г-ь ", Уп> Уп+ь Й)> й,=.
в которое входят значения сеточной фунции у" в Й + 1 последовательных точках 1п,г ь ..., 1п, 1п+ь Предполагается, что ап Ф О. Во всех рассматриваемых в этой главе методах сумму 1 — г (егоуп+г + >ггуп + ... + ггеу +г-гг), (14.19) стоящую в левой части уравнения (14.18), можно рассматривать как рвзностную аппроксимацию производной у' в соответствии с одной из формул численного дифференцирования (см. гл.
12). Правую часть Ф уравнения (14.18) можно рассматривать как специальным образом построенную аппроксимацию функции Ь Значение уп,г приближенного решения в очередной точке находится из уравнения (14.18). При этом используются найденные ранее значения сеточной функции у" в Й предыдущих точках гп+г-Ь " Поэтому такие методы получили название а-шагоаых. Как нетрудно видеть, для того чтобы найти значения сеточной функции у" во всех узлах сетки Р', используя Й-шаговый метод, необгеодимо задать начальнмх значений: 3 а м е ч а н и е. Принято считать, что уравнением (14.18) задается численный метод решения задачи Коши. Далее мы будем отождест- влять свойства численного метода, дискретного уравнения (14.18) и соответствующей дискретной задачи Коши. При 1 = 1 уравнение (14.18) упрощается и принимает вид " = Ф (1п> уп> уп.г> |г) (14.21) Соответствующий метод принято называть одношагоам и.
Вычисление значения у г осуществляется здесь с использованием только одного предыдущего значения уп. Поэтому одношаговые методы часто называют са иостартующи>аи. 420 у'>(го) = уо у~(гг) = уг ". у~(М) = И-!. (14.20) . Задачу вычисления сеточной функции у", удовлетворяющей уран~ нению (14.18) для всех н Э а — 1 и принимающей заданные начвльныв~, значения (14.20), будем называть диснрепгной задачей Коши.
Пример 14.5. Простейший дискретный аналог дифференциального уравнения (14.1) представляет собой уравнение Уп+! Угг (14.22) приводящее к известному лгетоду Эйлера'. Пример 14.6. Метод Эйлера является примером одношагового метода. Вычисление очередного значения у„,! осуществляется здесь по формуле у +! — уп+ Ч(г угг). (14.23) При й > 1 численный метод называют лгггогогггагоамлг. Примеры таких методов можно найти в 3 14.7 и 14.10. 3 а м е ч а н и е. Использование многошагового метода предполагает преодоление одной специфической трудности, не возникающей при применении одношаговых методов. Как уже отмечалось выше, й-шаговый метод требует задания й начальных значений (14.20), в то время как в постановке задачи Коши содержится только одно начальное значение уо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
