Гоноровский И.С. Основы радиотехники (2-е издание, 1957) (1095421), страница 93
Текст из файла (страница 93)
(15. 63) Этих условий Оказывается, Од,ако, недостаточно. предыдущих рассуждений видно, что к условию (15.63) кожи~ „ О ПОЛОжн О !'Ридтн и в том случае, если исходить нз предположения жительности действительных частей корней р, и р,. Следодпя устойчивости системы еще необходимо, чтобы ссотду положительными коэ>!.фицнентами ао, ад, аз и аз 6 Определенным условиям.
ввчвлн оп ото Р ща"сь к характеристическому ур-нию (15.61) замечаем, (1551) аз Очень велико по сравнению с а, а и а, то ур-ние вь'Рождается в простое уравнение: Р'+' — з =О. ао зз. и с. г, оиоровоиви 693 Корни этого уравнения будут: р,= Ц+ —,' ~уз) адана система неустойчива, при аз< †— устойчива. ада, ((р>д аз> > одиными и достаточнывш условиями устойчивости Итак' „„, асмой дифференциальным уравнением третьего по- ,,стем", ся следующие неравенства: ~>лз ав>0, а,>0, аз>0, аз>0 ( ас аз (ад аз 1 Так как действительные части корней р, и р, положи приходим к выводу, что при сделашюм допущении н~~™ы, величины аз система неустойчива. " ьвс носитель ' Рассмотрим теперь другой предельный случай кот мало по сравнению с аз, а, и а,, так что ур-пие ()б б ) „' очень женно может быть заменено квадратным уравнением ав р + ад р+ аз = О.
Из приведенного выше рассмотрения квадратного характервст . ческого уравнения уже известно, что положительность коэффв. циентов ав, а, и аз обеспечивает устойчивость системы. Можно поэтому утверждать, что при уменьшении положвтель. ного коэффициента аз от очень болыпих значений к очень малы>к обязательно найдется такое критическое значение а„при которои корни р, и р, будут чисто мнимыми. При этом значении а, в снстеме возможно существование гармонических (незатухающих) кслебаний. В этой критической точке р = айдид, где ыв — частота колебаний.
Подставляя эти значения р, и р, в исходное ур-ние (19 9') и пронзводя несложные преобразования, получаем два уравие"кз' а, с>в — — = О, и> в>в — — = 0 з "> а, „я крита. Отсюда находим следующее условие для определения р ческого значения а,: а, а> а, ад или 15И а,а, ( ав =— а> двине подобного анализа для характеристических уравнеПроведе и- той и более высоких степеней является весьма сложной зий четверг ,здзчей.
'-их случаях определение устойчивости системы может быть ено с помощью теоремы Гурвича' ), которая гласит, что гр>взвел азв того, , чтобы действительные части всех корней уравнения азх" +ад х" '+аз х" '+...+а„,х+а„=О , действительными коэффициентами и ав>0 были отрицательными, „ссбходпмо и достаточно, чтобы были положительными все опредзслателн Ь„Ь„... Л„, составленные из коэффициентов уравнения вв а„а„...
а„по следудощей схеме: ад аз А =а, 4 ддв аз ад аз аз Ьз — — ав ав аз 0 ад аз ад аз аз ад ас а, аз ав 0 ад аз аз 0 ав а, а, а, аз ав а, ав ав аз аз ддв аз 0 ад аз аз а, 0 а, а, а, а, 0 0 а, аз аз и т. д. "ри 999 составлении определителей по этой схеме коэффициенты ззве„ом превышающим степень характеристического уравнения, "яюгся нулязш. В>,~.дсзвзвтел "'счев в„ тельство втой теоРемы см,> нзвРимсР, в книге А. Г. КУРом. КУРС "'~~сРы 1949, стр. 287> а, ав лтл = ах, аа аа ат аа 0 ав ах аь 0 ат аа а(р)=-0 Рг = — "д~'ш»з з»еют внд Для уравнения третьей степени: Ьт —— ат> О, Ьз нм ' = а, а,— ав аа>0, ~а,а ~ ао ая (1а.
66) где а >О, (16. 68) Поэтому, например, для уравнения четвертой с чаются следующие определители: степе с елена „ атааО 0 ав а, а, 0 0 а„ ав 0 0 аа ак ад Нетрудно видеть, что все последовательные апре явля.отея главными диагональными минорами определителя д ределнтеди как последний столбец определР»геля Ь„содержит лищ один от. личный от нуля элемент а„, расположенный на главная д„ агоиали то выполняется равенство Отсюда следует„что в соответствии с теоремой Гурвича уела. вия устойчивости могут быть сформулированы в виде след)чои(нх неравенств: Ь >О, Ь >О,... Ь„л>0, ан>0. Так, например, для характеристического уравнения второй сте.
пени получаем: »5л=ах>Ол аа>0, т. е, аз>0, ах ае>аз ав, ав>0 Так как ав, а, и а, положительны, то и аа>0, Для уравнения четвертой степени: йл =а,>0, Ьз = а, ая аз ав > О, 7 з — »ть (аха,— а,ав) — атак>0, аь> О.
его условия на основании четвертого вытекает нера ,[, треть „ство аа (ах ая — ива,) > ат аь>О. о поэтомУ втоРое Условие заменить Условием а,>О, Та 6[ажно для уравнения четвертой степени полу гаются слелцл' ~, условия устойчивости: а >О, аз>0, аз(ад аз — авив) — аз ах>0, ая>0. О помощью теоремы Гурвица можно обосновать тшсже крите- который является раэновидРсостью критерия [урщщ. Р~И1 герца )стой швости, осаоввнный па атривательиостн действительны » »»стех „„аце) хаРвктеРнс~ическаго УРавнениЯ системы, ЯвллетсЯ тем фУнДв „,итак, ця котором базируются все другие критеаии.
цо, в чвгпюспа Утверждать, что для устойчивой линейной снстемь~ Ррц цент передачи К(р), опрелеляемысл выражеяием (6.50), может иметь » и,плыло ь леной полуплосностн комплексного переменного р=а+1ш. й,ктцшельно, знаменатель правой части выра кенни (6.50) представляет собой »то иное, как ха вктеристическое уравнение систеллы. Если все корни рм р, и т. л.
Уравнешш пе кь>0, то в выражении (650) множители вида (р — ря)=(рь(ш ~+кд) цвгтт абрашвться в нуль только ц том случае, когда ке(р)<0, т. е левон имзплосксстн переменного р о+1ш. '.в левай Ига, (так, наличие полюсов К(р) в правой полуплоскости указывает иа то, что система неустойчива. Это абст я - о обстоятельство молкет быть использовано лля обоснования язлоцсениого а ВРЕЛЫХ ~ Е уц» пзрьграре критерия Нанквнсть а также дли выра юткн некого Рнл вралях, абл .
р ' ', с» легча оших применение этого критерия в случае сложных систем. Иневяо, по1, , понимая пол коэффициентом передачи системы с обрапюй связью ~цчццу [см. ф-лу (1ьг 46)) ~(р) К (р) Р (р) Н (р) (1ь»,67) хохма ь устоичивость системы по положеиьпо поцюсов К'(р) нв определять и р, Система с сов в а Устойчина, если функция К'(р) ие ил»ест полют, р ой по уплос стн,л. правой з»Ув;ю,„условию фУцкцнЯ К(Р) не может иметь полюсов в пРавой то остается потребовать, чтобы функция Р(р) =1+ т(р) яие»а н »начнет, чт Згоо нулен н равон полуптоскости р '+лш что показанный на рис.
15.2з затжиугыи контур ив плоскости Разованиыи мнимой осью лш н дугой беснонечно большого Ра- диуса В, не должен охватывать такой точни р, в катар й щаегся в нуль. Функция р( Перейдем теперь от плоскости р к плоскости Р(р) т сбвз. Р) на лействительной и мнимой осях которой откладывают~~ а"оя пло ствительная и и мнимая ' етствецв 'сзн, ся, соотв, оск и !л/ функ««ии Р(р). Тогда замкнутом ом"лене (на плоскости р, рис. 16 25) б„.
УРУ об„, ому конт спой также зацкнутый конт " с«>ответ; а 0 Улет с оа УР на плоска„и гааз'„, этом лвиженню точки р вдоль н,.ти Р(р), соответствует уравнение функции '" (Рвс, 15 Рч ни ' ' э.йз) "(р) =РП )=1+7(1,), 5 (1583) а при движении точки р по д>. шаго радиуса /7, уравнение бу т конечно бщ, Р(ео) 1, Рнс. 15.25 так как при ю -ь сю, Т ((ю) (сн. 9 15.5). "") -ь 0 Следовательно, изменяя в от — со ло + сю, получит> замкнутфункпни РПю) на пл«кк«ктн и„, ол,. Подобный коатур для устойчивой с Утыя конт> светы«ц показан на рнс.
15.26. Сплошной линией показана часть контура, соогнетствующая чагтотач 0 <в <+ со, а пункзирвой частотам — со<в<0, Так как функция и (в)- Р ((О) ' г четная относительною, ап (в)- (г)- >,7«= нечетная, то оба участка контура симметричны относительно ' () . / (с) . Ф>(й)/ действительвой осн. Замечаем, что если описываев«ый концом нектара Р(ю) контур не охватывает начала координат, то полное изменение аргумента этого вектора при обхоле аадкнутого контура равно нулю.
Если же начало координат охватывается контуром, то кажлоиу обер>тУ вектора Р вокруг нулевой точки будет соответствовать один перехсл аяюа тудио . Фазовой характерно>яка (г7(7«// через отрезок действнтезы«с>З оси ( - со, 0). 1 слп сватать перехол гз тн в ияя' верхней полуплоскостя а с акции 7(ул/! нюю положнтель«ю«> а ' ./«7- «/>Ю) О («/=Р Огй/г> производится по аазрж~~ зяе. пение аргуне ыя ф ве зо равнялось нулю, ' бхо«ю«с, Рис. 15.27 чивостн систем яалояз. 'ы необл . чтобы )изность '"ге У н ле' тельным тельными и отрнца й ссз тельно рехоламн амплитудно.фазовой характеристики отрезка действите ( — оо, 0) равнялась нулю. 1, полу""" ПеРехола от ФУнкции Р((ю) 1+Г(«в) к ФУнкции Т((в)=РПв) 'нуалелв рис.
15,27, отличающийся от рис. 1о.26 сдвигом годографа на одну ед пни 698 (15,09) К вЂ” 82„ где 2 — сопротивление контура. Для определения коэффипнента обратной связи Р можно исходить нз эквивалентной схемы, показанной Рис, 15 30 на рпс. 15.31. На этой схема через 5/„обоз««ачепо напряжение, развиваемое нз ападнсм контуре по каналу уснле а чеРез (73 — напряжение, поступающее на сетку по каналу Ратной связи Очевидно, что — >- гл 8 = — = —.— ' Ег, 2 +22, П 5. 70) го 9 ай '„зьио к плоскости и, и, требование Ьф(ю) =0 оз>«ачаст, что яеиитель'!о ПР" .,>лх«ец лнб>о вовсе не пересекать отрезах действительной оси - г«зз)> бо пересекать ега в положительном и атрипаге:ъпом цапрвзле- .((ю) ло. вяяз перехода ' ° з ал>«нзк ', а к годографу и(!ю) =хбв) 3()«>), т, е, к ах«плитуд««а л>азоДля т «ке разомкнуто«а тракта обратной связи, н>жно в соответствии „,, ерпсюж выРа"", )о5.27 на 180'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
