Гоноровский И.С. Основы радиотехники (2-е издание, 1957) (1095421), страница 92
Текст из файла (страница 92)
15Л9). Можно, очевидно, написать: И 5 и Н (!м) =К (!ю) ц (!ю) =а(ю) +1 Ь (ю) ,Д/ )„=!К(;юИ У(!.) !.'(М'З) Ю! Рис. 1ЬЛЗ =)Н(!со)! е . (15.52) 1Ч (ы) Действительно, как это было выяснено в 4 12 О новения генерации должно быть выполнено услови' "'"" цоц», ланса; э»р=и ° 2к, где и — любое целое число. азоцого Если существуют частоты, прн которых»р=,р об ~р=»» 2в Н=!К3(С1, то генерация на этих частотах так«к ' ' цс поскольку не выполняется условие амплитуд (см, к 12 4 можа. «ке иевоз, 4) Отсюда следует, что паразитная генерация возмоц,н частотах, при которых одновременно выполняются еле цо цц 0«кна толь условия: дуюц»це ц»,„ ср +»р =и ° 2к ц Н=~К~(> ! (!5 55) Ь88 Выч»»еленке амплитудной (частотной) Н(ю) и рактеристик для усилителя с цепью обратной связи обычно, 2 ц«) ха.
о ве цр . ставляет болыцой сл,ж ц в'г л в сти. Построив гра»1«ицц !К словцо. и»р +ц«0 в Функции часто. »ва« ты, можно получить вь глядное представление цб »л . ! Устойчивости системы, д Пример указанных гра. финов для устоичивой сцс. а темы показан на рис.
!5.20, а для неусто12чивой цц Рцс. 1б.20 рис. 15.2!. )вв« Величина !Кр ! прц и=-0 и ю=с~ в обычных усццц. .!в телах, как правило, обрц. !вв) щается в нуль. Прн в»- 0 — — - «х это обусловлено алицццсц м-- последователыю вклюзсц. «в»р « ных конденсаторов в цццц ле К или Р, а при с»-+" влиянием шуитнруююцх ЕМКОСтвй (МЕждуЭ«»ЕК»РСв' Рцс. 1б.21 ные емкости, емкост~ ццц тажа и т. д.). В Усвл" лцтеха» постоянного тока и в некоторых других устройствах, не с "ряц щих разделнтелы»ых конденсаторов, при ю -в О величина ! Кр! " жет принимать конечное значснне.
т 0 Дою Полное изменение аргумента (фазы) при изменении ю От зависит от характера и числа звеньев системы. „)цц. -ато фор прнведешюе выше условие устойчивости более сжато Ф „Р,ццс. у .я Г»РИ пред-авле !и ко.-ле. Ого коэфф «е та передача(Ф . лЯРной системе кооРдинат Н, Ч«. В этой системе кооРди! цсцец йН про циент передачи Н (!ю) изобразнтся в виде вектора длиной Н Р „м 0 к положительному направлению действительной ( ис. гр под 15 22), При изменении частоты ю конец этого вектора ,! а Р ' „.„Иую, называемую годографом амплитудно-фазовой „„;ызает хцрццт наличии в замкнутом кольце братной связи переходных или шунтирующнх емкостей модуль Н, как ранее цццц алось, пРИ с» О или ю-вь енса»'оро е Отмеча уж " „нуль. Поэтому, для по- систем годограф амплитуд- ашается бцых сн цвай характеристики прн измецц ФЦЗОЗ~ „тО до начинаетсп и закан- неннИ '" тся в начале координат.
ццццстс Предположи»1, что при»»екотором це,»ин юц Фаза достигает величины !качении ц ио система все же остается устои ,, Ойю!вой. Согласно условию (15.55) „'„„ц этого необходимо, чтобы вели„„„ц !КР! пРи частоте юц была мень. Рцс. 15.22 щц единицы. Так как при »р =и 2 к мнимая часть комплексного коэффиццевта передачи равна б(юц) =Н ц!Пц«=О, ц цеистввтельная а(юц) = Н соз!р=Н, »о, условие (15.55) означает, что отсекаемый топографом отрезок цсцожительной действительной оси, соответству»ощий величине !!ср! при частоте возможной генерации юц, для устойчивой систеин должен быть меньше единицы. )лц устойчивой системы этот отрезок меньше единицы.
Если *е этот отрезок превышает единицу, т. е. )КР! > 1, то все необходимы цимые для возникновения генерации условия выполняются и система неустойчива, виста; Отс!Ода вытекает так называемый критерий устойчивости )!айк- ли топограф амплитудно-фазовой характерисесли Разомкнутой системы обратной связи не охет точку 1, !О, — система устойчива, В про- ~~учае система неустойчива, ц р"меРы диаграмм Найквиста для двух систем — устойчивой сцо«ц„ ич"вон — приведены на рнс, 15.23 и 15.24. В случае црц " "спей топограф может принимать более сложную Форму, ЦотО ой ццй Ос рои возмо но и многократное пересече ие действите ь- 5ол.е Об цццц общая Формулировка критерия Найквиста будет привес»М;»цз " едУ'о»цем паРагРафе пРи РасскютРении общих методов СЛЕ Ус~ойчивости систем.
Е сли кривая Н(!М) охватывает точк 1, ' чива, чку ° 10 и По с ', то возникает генерации на част , р тоте ш„прн к . ие ° Сторон й ет с условием (ы) = " ленин частоты, длн Оп приве " пре" гл. 12. ь 4 денны "' Амплитуда кол б никновении автощ б прн е ащ,й тает до тех пор, "й аоз Олебани , пока не Рдс. в действие нелинеи асту~ й ность м Ристик ламп усиля' е харакг с РостОм амплчтуд „'чя кптпр ' жению средней крут к снн. "Риводв„ тнзны н вательно, к умещ,, след .
жается до единиц, н ьа ггй! снн. Р~жим авто Подробное рассмот ~~лебдннй, генерации для неустойч ойчнвого с . лите я е редстзв„ практического интереса, О снпднсе значение описанного выше ыше метода закльочается в выявлении уел слпннй, обеспечивающих устранение вш. можностн возникновения генера В ераанн. случае же устойчнвастн усн. литель, охваченный отрицательной обратной связью, может рассмдтрн. ваться как линейная система. Рнс. 1б.йз Рнс. 1б.яд ЗЗО и' 15.6. (г и',ритерии устоичив:сги систем с обратной связью Широкое применение систем с обратной связью как в усндн тельной технике, та се, так и в технике авгомагического регульсродд""я' привело к существенному развигиьо методов исследования ус"" чивости.
В зав симости От . ар игера нес, еду .Мой снстемьь — электРи ческой (электронной), электромеханической, содержаьцей с сосредоточеььььыми или распределенными постоянными, могу~ пк заться удобны, и различные кр!'тер„ьь устойчивости, Наряду с 'н птпудн~фазовым методом в последнее время все ббл шее Рас"р стрннение получает так называемый критерий Гурвьсца рду „,. Этот критерий, основаннын на исследовании коэффициентов "р,„ б теристнческого уравнения, описывающего поведение системы, н~~ ыть назван алгебраическим методом.
Неко торые из результатов, вытекающих нз анализа ьор м. дар "'рнстиьеского уравнения, оказываются полезными гакж акте ддя обосно ванна и развития амплитудно-частотного метода Остаи ннся дробно на выяснении сути алгебраи- нескОЛЬ ,я „,втер „ , ффереььциальное уравнение линейной йс средоточенными постоянными в виде: ,.„ььн с соср к, напряжение, перемещение и т. д., а постоянные коэфы а, ах ая " а действительные числа зависящие зььетров СИСТсмы. ,ше ур-ния (15.56), как нзвестно, имеет вид решение Р.х х=-~,А;еь, ь х (!5 52) М2,4 — постоянные, а р,— корни характеристического уравнение: пнР" +ахр" '+аяр" '+...+ал,р+а„=-О.
(1558) условие устойчивости состояния покоя системы заключается 2 пьхь, что после прекращения действия внешьсих возмущений сис- мна возвращается к исходному состоянию. Для этюго необходимо, чгобы возникающие н системе при нарушении состояния покоя снхбодные (переходные) токи и напряжещи были затухающими, д зто, в свою очередь, означает, что корни Р„РЗ,.... Р„ур-ния (15.63) должны быть либо отрицательными действнтельнымн вели- чьдщьн, либо комплексными корнями с отрицательными действи- ьельными частями. Из этих простых физическьсх соображений вы- "кзет следующий фундаментальный критерий устойчивости любых ддденных систем'): свете. 2СЕХ Ко стема устойчива, если действительные части корней характеристического уравнения систе- нн отрицательны.
!)Ростым дрннеденное ым примером, поясняющим этот критерий, может служить е в'з 12.8 линейное уравь!епие 2-го порядка, описываю- ее понедени ление автогенератора при малых амплитудах (в начале ' Уска), П н дд8 Прн - — <г, когда а,= — '->О, корни характеристического ньньн Рх,я — сх, -'- ! ш обладают отрицательнымн действительмн и в системе возможны только затухающие колсба- ""-система стой тема Устойчива. При — >г действительные части стано- С ььчрьм ь Ундннннтальнон положенне было обосноннно А. дь Ляпунонын, снг нтрннанныд Рлссн " годах пРошлого века ялложнл ошьоны теоРнн Устойчивости. ' мял я нный н лзнной главе вопРос об Устойчннпстн спстонннЯ локон юшется ч, чнспьын случаен общей тепран Ляпунова.
аятся положительными и в системе возникают нар амплитуде колебания — система неустойчива, астаю ~п!ке во Отметим, что в случае квадратного характеристик пения для отрицательности действительных частей к й урзь еского точно потребовать, чтобы коэффициенты уравнения „" дог!о, орней '>о а и ли положительны (точнее — одинакового знака), аз бн Действительно, приведя характеристическое уравн ни ие к ви Р +" — 'Р+' — =О ао ао (»о 59! н учитывая известные соотношения между корнями дРатио! уравнения: (15,59) аз Р> Рз =,, приходим к следующему выводу. Если оба корня вещественные (действителы!ые) и отрицательные, то их произведение положи.
тельно, следовательно — '>О. Из первого же выра>кения (15 69) ао а, ясно, что если р и р отрицательны, то — >О. Следоватвльзо, ао>0, аз>0 н а,>0. Нетрудно провести аналогичное рассуждение и для слуозз сопряженно-комплексных корней.
В случае кубического характеристического уравнения (15.6!! а рз» а рз.» а р+аз=О „таем положительным), Далее, из третьего выражения квит ао "", ли все три корня действительные и отрицательные ;, едое™ аа произведение отрицательно и †' >О. то НХ ПРО ао писал о ' ' д а корпя сопряженные комплексные, р, = — и+ ! ш ясли впо пРоизвеДе>>и>о Дейстиггелы>ого корни Рз зз пР разведение р р =( — +' )( — а — >ы)= з+шз>0 11оэтоыу, если р, отрицательно, то снова аз > О. Расс мотрнм, „, коэффициент аз Если все корни действительны и отри- лзтельнь, „, >, то непосредственно из второго выражения (1О 62) видно, ,„, оо>О. Допустим теперь, что корни р, и р, — сопряженные о, комплексные.
Представив второе выражение (15.62) в форме а =Р>рз+Рз (Р>+Рз) ммечзем, что произведение р,р, всегда положительно, а сумма р,+р, обладает тем же знаком, что и действительные части корней р, и р,. Поэтому, если рз, а также действительные части корней р, и р, отрицательны, то — ' снова положительно. ао Итак, приходим к выводу, что в случае кубического характеристического уравнения для устойчивости необходимо, чтобы вы- ПОЛПЯЛОСЬ условие Рз~рз~рз= Роро+Роро+Рзр! =,, (15,52! Р Рзрз=( — 1)' — = —— з ав аа ив ао '>о пзо!' Из первого выражения следует, что если действи ительиыв " (КОЗ!»>о всех корней отрицательныз), то и ††! ~ О, т.
е. а,> а, >>3, 1948, озо" !а !) В. Н. Со>орков. Курс высшей мзтвмзтики, т. 1. ОГИЗ ' зз оо!', ,рььипиеог оо ".' ') Как известно из мвтемзтикп, при лойствительиых козфф,,ззо ". ного лиффеРоипизльиого УРаппепии воаю>киы следУ!вшие лвз "У' 'оозро" караи лейотвительпыо, либо один действительны!1, з дво, Ро по.комплексиыо б99 коРни Ры рз и рз связаны между собой следующими соотновз. пнями:з) ао>0, а>>0, аз>0 и аз>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
