Опадчий Ю.Ф., Глудкин О.П., Гуров А.И. Аналоговая и цифровая электроника (2000) (1095415), страница 102
Текст из файла (страница 102)
хз хз ) (хь хз, хь хз) )(хз «ьА хз) ! (хь хз, «ь хз) )(хз,хз, «ьхз! хз )(хз,хз хьхз) з (хз хз хи ха) Г (хз, хз„хи хз) )(хз,хз,хь«з) )(хз,хз,хьха) 1(хз, хь хь хз) хз хз хз хз Рнс !$3. Карта Вейте функции четырех переменных Ммнимнзация полностью определенной ФАЛ.
При минимизации ФАЛ используют либо ее нулевые, либо единичкые значения. В обоих случаях получают равносильные выражения, которые, однако, могут отличаться по числу членов (т. е. цене) и выполняемым логическим операциям. Алгоритм мнннмнзацки ФАЛ сводится к следующему. 1. На карте Вейча ФАЛ л переменных выделяют прямоугольные области, объединяющие выбранные значения функции (лог.
0 нлн лог. 1). Каждая область должна содержать 2' клеток, где й — целое число. Выделенные области могут пересекаться, т. е. одна нли несколько клеток могут включаться в различные области. 2. Каждой из выделенных областей соответствует й-куб нсходкой ФАЛ, который представляется самостоятельным логическим произведением переменных, значения которых в рамках выделенной области остаются постоянными. Каждое произведение содержит л — й переменных и носит название импликпигы. 3.
Из полученного мнажоггиа выбирают минимальное число максимально болыпих областной, включающих все выбранные значения ФАЛ. 4. Логически суммирую~ пмпликанты, соответствующие выбранным областям. Полученная сумма образует МДНФ, т. е. является покрытием ФАЛ минимальной стоимости (покрытием Квайна). Прн объединении клеток г единичными значениями ФАЛ получают МДНФ самой функции, а прн объединении клеток с пулевыми значениями ФАЛ.-МДНФ функции, инверсной заданной. Последнее легко объясняется прн помощи одной из пркведеиных ранее теорем алгебры логики, согласно которой х+ х 1.
Очевидно, что если полностью определенная ФАЛ л-переменных принимает значение 1 на т наборах переменных, то на ос. тальных 2" — яа входных наборах ее значение равно нулю, Следовательно, объединение 0 значений согласно правилам записи ДНФ приведет к получению функции, инверсной заданной. Применяя к полученной инверсной минимальной форме теоре. мы Де Моргана х~хо=-х1+ха и х1+хо х,хо, получаем минимальную функцию, записанную в виде КНФ, Прниар И,2. Мвнвииэвровать ФАЛ а(х) «ах~ха+ха~~ха+ааа1ха+хах1ха. Рсшсаве, !, По заданной ФАЛ составив каргу Войта о хв «в хв 2.
Запишем кубические комплексм )4-(!Н, !01, !!О. 100), К = Н.1, 1.0, Ич !0-1, Кв= (1") ° 3. Вмделнм три покрытия и запишем соответствугощие нм МДНФ П,=(1-1, 1.0) х(х)-«в«в+«в«в, Пв (11-, 10-)~х(х) хвтв+хвхь Пв- (1 ") -х(х) - «в. о)в хв 1 0 2, Запишем покрытие минимальной стоимости для единичных зваченн ФАЛ П~ (-1, 10.) илн «(х)-тв+хтхь 3. Запишем покрытие минимальной стоимости лля нулевых зяачеянй ФАГ, Пв (-10. 0.0) клн х(х) «в«в+хе«в. Последнее покрытие является иокрьпнем минимальной стоимости н ем соответствует МДНФ, Легко видеть, что этому покрытие соответствует об лапь нз четмрех клеток, объединявшая единичные значении ФАЛ н расиоло менная в центре карты Вейча. При объединении пулевых значений функнии наксиыальиая область соот ветстаует 2-кубу (0-), для которого х[х) =хв нвп х(т) =хв В обоих случае: для минимальной ФАЛ получено одно н то же выражение Пример 1$.3.
Минимизировать ФАЛ х(«) ха«в«в+«в«1«в+««ха«в+«в«1«в+«тх~«в Решен ам 1. Составим карту Вейча 4, Восяодьаоаавмксь теоремой де.йоргена найдем г (х) «1«0+хе«0 «ФО«2«0 («~ + хе) (хх т «0) ° Есле к данному выраженню прнменнть теорему 1О нз $14.5, то получим ФАЛ вида г(х)-хе+«ех, Очевндно, что оее функннн г(х) одннакоаы Из последнего примера видно. что прн минимизации по нулевым н единичным значениям функции первоначально можно определить равносильные, но не всегда одинаковые выражения. Различной будет н их техническая реализация. Используя теоремы алгебры логкки, их можно преобразовать к единому виду.
Однако такое преобразование не всегда очевидно и требует достаточного навыка. Поэтому для нахождения наиболее простого технического решения желательно проводить минимизацию как длн нулевых, так и для единичных значений ФАЛ и из полученных выражений выбирать простейшее. Следует еще раз отметить, что так как карты Вейча для ФАЛ трем и четырех переменных являются объемными фигурами, то прн формировании областей на таких картах могут объединяться крайние столбцы и строки, а на карте четырех переменных также четыре угловые клетки (рис. !5.3).
ййннимизацнв недоопределеиной ФАЛ, Напомним, что иедоопределенной иазываетсн ФАЛ, значения которой заданы не на всех наборах входных переменных. Существуют факультативные (не. обязательные) значения функции иа неоговоренным (запрещенных) входных кодах. Поэтому при минимизации иедоопределенкой ФАЛ ее факультативные значения доопределяются произвольно из условия получения на карте Вейча наименьшего числа максимально больших областей, что приводит к получению покрытия минимальной стоимости и простейшей технической реализации. Пример 16А.
йчнннмнанровать ФАЛ, ааданную следуюнхей таалнией истинностн: О 1 Решенпе. 1. Составим нсходнукэ карту Вейча н вмполннм песнольно возможнмх ее доооределеннй. Карте «сходной функнвн имеет внд хт Л х 2. Занншем вмрвженнн дле едннгчных эначсний ФАЛ г(х) «эх,хе+ хэх~хе е «тх,х,. допустнм г (000) 1 и г (110) 1, тома карте Вейча и ФАЛ будут иметь внд: х х о г(х) хе+хэхс Лонустнм г(ООО) 1, г(110) 1 н «(О!!)=!, тогда х х! *о г(х) х, + хс. допустим г (000) =1, г (110) 1 и г (!01) 1, тогда х х х г(х! -й+хв допустим г (011) 1, г [101) ! и г (1!01 1.
тогда х! '1 2 2 г(х)=хе+хи 3. л(впимиэацпя исхолшн! ФАЛ для нулевых значений приводит к выраленням г(х) «тх,хт илн г(х) хт+х>+хе. Лопустнм г(000) О, тогда х т хг хл х2 г(х)=хих~ или сотласнотеоремам Де'Моргана г(т) хе+хо Допустим х (101) О, тогда х «0 Х(Х) Ху«т ИЛИ Х(Х) «1+Ха Допустим х (011) О, тогда х « ха «О «1 1 1 «(х) «тха или х(т) «т+«« Данный пример наглядно иллюстрирует, что прн различном до определенна ФАЛ можно получнть различные результаты мнннмнзацнн. Однако любая нз полученных ФАЛ, несмотря на нх раз.
личную техническую реалнзацню, обеспечит выполнение алгорнт ма, заданного нсходной таблицей истинности. Мнннмнзацня снстемы ФАЛ. Если логнческое устройство нме. ет А) выходов, то его поведение опнсывается системой Ж ФАЛ Мнннмнзацня структуры такого устройства может быть выполнс на с нспользованнем вышеприведенных методов прн раздельнон мнннмнзацнн ))) структур, на выходе каждой нз которых формн руется только один выходной сигнал. Однако с точки зрения все го устройства такая структура, как правило, не будет оптнмаль ной. С точкн зрення мнннмнзацнн всей структуры необходнмо, чт бы цепь формнровання каждого выходного сигнала была выпол пена не минимальным, а некоторым оптимальным способом, обет печнваюшнм в конечном счете минимальность общей структуры устройства.
Мнннмнзацня в этом случае обеспечнвается за сче~ 52В ло Рзс !б ч Карты Вейча длн спстемы ФДЛ, пример 15.6 о использования общих цепей формирования сигнала для волуче- ния нескольких выходных функций. Последнее достигается выде- лением иа картах Вейча различных выходных функций одинако- вых областей. Пример !Х.б. Мнннынзпроаать структуру устройства, алгорнтм работы которого ладан следувшей тзблняей нстпнпосгн Решеппе Мнннмнзпруем даннув снстему ФАЛ по каждому выходу отдельно.
Используя прнаеденнме на рпс, !54 нартм Вейча, длп заданной таблпны можно записать следуемую спстему мпннмальпмх ФАЛ: 0 0 ! 1 0 0 1 1 0 0 ! 0 1 О 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 О 1 О 1 0 1 ! О О 1 1 1 0 ! 0 го - х>хо+ х>хь г, = х,хо+э,хо+хоть г> х>х>+х>хо. Техническая реализация данной снстемы потребует семи элементов 2И, два элемента 2ИЛИ н одни элемент ВИЛИ, т. е, всего !О элементов.
Нетрудно ззметнть. что полученные выражения содержат обн>не члены х>хо н хохо. Поэтому техннческув резлкзапнв устройства можно упростнть. Прн нспользованнн обн>нх для несколькнх выходов элементов для реалнэзцнн потребуется: пять элементов 2И, два элеыента 2ИЛИ н одкн элемент ВИЛИ, т. е. всего восемь элементов. Анализ приведенных карт Пейна показывает, что на входныл кодах 010, 100 н 11О все трк функцнн принимают единичное эначенне, Поэтому можно запасать го = э>хо+ х>х >+ х>х> = хо >>х>+ х>) + хэх>, г> х>хо+холе+к>х> хо1х>+ ха+к>х>, в>-х>хо+хате+хэх> хо>хо+к>)+х>х>.
Реалнзапня этой схемм потребует четыре элемента 2И н четыре элемента 2ИЛИ, т. е всего также восемь элементов. Однако нэ схемы нсклвчея трех. входнмй элемент, что, в конечном счете, упрощает ее реалнэацнв. Таким образом. выделение прн мнннмизацнн системы ФАЛ об. щнх областей на картах Вейча позволяет получкть наиболее простую ее техкнческую реализацию.
Прн этом следует нметь в внду, что общие области могут выделяться не на всех ка >тах, а лишь на часты из них. Как правило, зто приводит к упрощению реализации. 1бэк МИНИМИЗАЦИЯ ФАЛ НА ЭВМ МЕТОДОМ КВАННА Н МАК-КЛАСКИ На практике область применения рассмотренных ранее методов мннимнзацнк ФАЛ с нспользованнем карт Вейча ограннчнвается числом логических переменных не более пяти. Это объясняется двумя основными причинами: прн увелнчеинн числа переменных метод теряет свою наглядность, что снижает эффективность его применения; так как выбор покрытий производится по большей части интуитивно, то конечный результат мннкмкзацнн сильно зависят от нндивндуального опыта разработчика. Последнее препятствует применению для микнмизацин ФАЛ ЭВМ.
Прн увеличенни числа переменных для миннмнзацнн ФАЛ используются методы, обладающие однозначностью алгоритма, что является предпосылкой прнменення ЭВМ. К таким методам относится метод Квайна н А>>ак-Класки. 530 Алгоритм отыскания МДНФ этим методом сводится к следующему. !. Находят покрытие П(г) заданной Функции. Для этого Формируют кубический комплекс ФАЛ н в каждом (-и кубическом комплексе отмечают кубы (импликанты), ие образовавшие (+(-й кубический комплекс. Отмеченные нмпликанты, называемые нросгосии, образуют покрытие заданной ФАЛ. 2. Строят таблицу покрытий матрицы Квайна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
