Опадчий Ю.Ф., Глудкин О.П., Гуров А.И. Аналоговая и цифровая электроника (2000) (1095415), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Если в выражении (14.1) отбросить весовые коэффициенты д' н соответствующие знаки сложения, то получим сокращенную запись числа„носящую назвакне д-нчного кода числа Х». Номер позиции цифры х, называют его разрядом. Разряды с положительными степенямн д образуют целую часть числа Х„с отрицательнымн степенямн — дробную. Цифры х„1 и х соответственно являются старшим и младшим разрядами числа.
Количество различных чисел, которое может быть записано в позиционной системе счисления с основанием д прн заданном числе разрядов, Количество разрядов, необходимое для записи в позиционной системе счисления с основанием д некоторого числа Х, можно оп- 604 ределить из следующих соображений. Согласно (14.2), для записи числа Х в системе с основанием д должно выполняться условие Х,кд"~ — 1.
Тогда (14.3) и + т д !оя (Х + 1), В цифровой технике нашли применение только позиционные системы счисления. Для представления числа, записанного в позиционной системе счисления с выбранным основанием д, при помощи электрических сигналов необходимо иметь некоторое электронное устройство, формирующее на выходе д различных электрических сигналов, которые достаточно легко можно отличить друг от друга. При этом необходимое число таких устройств должно равняться числу разрядов целой и дробной частей записываемого числа. Очевидно, что в этом случае чем больше величина д.
тем меньше понадобится указанных электронных устройств. С другой стороны, увеличение д потрсбуег создания сложных электронных блоков, способных формировать иа выходе большое число различных электрических сигналов. В этом случае, например прн использовании в качестве информационного параметра уровня напряжения при фиксированной его максимальной величине, с увеличением д уменьшается различие между дискретными уровнями выходных сигналов, что и конечном счете усложняет их идентификацию. Последнее повышает вероятность появления ошибок прн действии внешних помех н усложняет само устройство. Критерием выбора д в данном случае является минимизация аппаратных затрат при обеспечении достаточной помехоустойчивости. Попытки чисто математического решения поставленной задачи показали, что оптимальной при поставленных требованиях является система счисления с основанием е 2,7!....
Однако практически создать такую систему сложно и технически нецелесообразно. Широкое распространение в цифровой технике получила позиционная система счисления с основанием д 2 — двоичная система счисления. По определению в такой системе фигурируют только два цифровых знака 0 и 1. При работе с устройствами вычислительной техники приходится сталкиваться с позиционными системами счисления с основанием 2, 8, 10 н 46.
Рассмотрим ряд правил, позволяющих выполнить преобразование чисел из одной системы счисления в другую, Переход от системы счисления с меньшим основанием к системе счисления с большим основанием осуществляется при помощи выражения (14.1), которое справедливо как для целой, так и дробной частей числа. Теблицз 14.1 Натуральный рпд чисел в резлнчных снстемех счислении Шеетяеяяагерн ~ рачаае Шеетная. яатарач ноя д рнчяеа Воеьме- рнчнаа деентн. рнчная Даончнаа дяончная Пример !4.!. Преобразовать двоичное число Хе=)01)г е десятичное Хм Р е ш е и не.
Согласно вырзменню (14.1) д«я с 2 получим Х~о ! .2э+ .«4! 2г+$.2«+1 2е=11 Переход от системы счнслення с большим основанием к снстеме счисления с меньшнм основаннем выполняется с соблюдением следующих правил: а) иелая часть нсходного чнсла делится на основанне новой системы счисления; б) дробная часть нсходного числа умножается на оснонанн новой системы счисления. Пример 14.2. Преобразовать в двоичную систему счисления десятичное число 25.12. Решение 1.
Преобрзэуем целую часть: 25'2 12+1(Хо П !2:2-6+ 0(Х«-О) 6:2 3+0(Хт О) 3:2=1+1(Хэ=!» 1:2 О+1(Хе 1) 3впись целой части двоичного числе Хе производится с носледиепэ реэуль. тога деления. т. е. 25н-1100)т 2. Преобрззуем нлробную честь: О,!2-2 0+024(Х г=о) 0,24 2 0+0,48(Х «=0) О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 5 6 8 9 А О 2 3 5 6 7 10 11 12 О 1 10 11 100 !01 110 11) 1000 100! 10!О !1 12 !3 14 15 16 17 18 19 20 21 В с (7 Е Г 1О )1 !2 13 14 15 Г3 14 15 16 17 20 21 22 23 24 25 !О!1 1 ГОО 1 Г01 1)!О 1111 10000 10001 10010 100!) 10100 1010! 048 2=0+0.96(Х-» 0) 0,96.2=1+0,92(Х «=1) 092.2=!+064(Х-» !) Запись дробной части двопчкого чнсла пронэводнтсп с первого реэультата умно«пенна, т.
е. 0,12м 00001« 3. Окончательно получнм: 25,!2п ь 11001,000!« В табл. !4.1 для примера приведен нат) лльиый ряд чисел в различнмх системах с !исления. Переход нз двоичной системы счисления в восьмеричную нлн шестнадцатеричную может быть выполнен более простым путем. Так как 8=2», а 18=2', то один разряд числа, записанного в восьмеричной системе счисления, преобразуется в три разряда, а один разряд числа в шестнадцатеричной системе — в четыре разряда числа двоичной системы счисления я наоборот.
Пример 14.3. Преобразовать Х»=10!00!» в Х«. Решеппе. Согласно табл, 14.! !О1«-5«н 00! !«, поэтому Х» $1«. Пример РЕ4, Преобразовать Хт 10100110«в Х~». Решение. Согласно табл 141 1ШО»=Ам н 01!0«=бм, поэтому Хм Лб~» 14.2. ЛОГИЧЕСКИЕ НОНСТЛНТЫ Н ПЕРЕ!ПЕННЫЕ. ОПЕРЛЦИИ БУЛЕВОЯ АЛГЕВРЬ1 Для оянсаикя алгоритмов работы цифровых устройств необходим соответствующий математический аппарат, Такой аппарат для решения задач формальной логики в середине прошлого века разработал ирлакдскнй математик Д. Буль. По его имени математический аппарат и получил название булевой алгебры илк алгебры логики, Булева алгебра — зто математическая система, оперирующая двумя понятиями: событие истинно н событие ложно. Естественно ассоциировать этн понятия с цифрами, используемыми в двоичной системе счнслекия.
Далее будем их называть соответственно логическимн единицей (лог. 1) и нулем (лог. О). Два элемента булевой алгебры, а именно событие истинно н событие ложно, называются ее константами. Будем понимать под ними значения соответственно лог. 1 и лог. О. Для того чтобы описать при помощи булевой алгебры повеление и структуру цифровой схемы, ее входным, выходным и внутренним узлам ставят в соответствие булевы переменные, которые могут принимать только два значения: х=О, если х~1, х-1, если х~О, (14.4) Таблице 14.« Тоалпао цсгпппостп опсаоцпп логического сложопио Тоблицо !4З Таблица пстпипостп опоаоппп ,вин«еского Тмоожсиио «, ~ «, «, +«к«,ч«в «мн«,«~«в «« если х-1, то х= 0, [14.5) если х=О, то х=1.
Определим множество операций, выполняемых над булевыми константами и перемеикымн, а также постулаты, которым зтн операции удовлетворяют. Основными операцнямн булевой алгебры являются операции логического сложения, умножения и отрицания. Логическое сложение. Эту операцию называют операцией ИЛИ или дизъюихиией. Постулаты логического сложения двух переменных приведены в табл.
14.2. Следует отметить, что данная операция справедлива для произвольного числа переменных. Число переменных, над которыми выполняется операция, обозначается цифрой, стоящей перед ее обозначением. Так, для табл. 14.2 можно сказать, что она определяет операцию 2ИЛИ. Операция ИЛИ соответствует математической операции объединения множеств. Логическое умножение, Эту операцию называют операцией И илн конъюнкцией. Постулаты логического умножения двух переменных приведены в табл.
14.3. Следует отметить, что данная операция также справедлива для произвольного числа переменных. Она соответствует математической операции пересечения множеств. Число переменных, иал которымн выполняется операция, также обозначается цифрой В данном случае можно сказать, что табл. !4,3 определяет опе рацию 2И. Отрицание. Операцию отрицания называют инверсией иян донолнениелс, Для ее обозначения используют черту над соответст.
вующим выражением. Операция определяется следующими по стулатам и: РКЗ. СПОСОБЫ ЗАПИСИ ФУПКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ Рассмотрим некоторое логическое устройство, на входе которого присутствует некоторый н-разрядный двоичный код х ...хатха, а на выходе соответственно щ-разрядный двоична)й код г 1...г|.го (рис. !4З). Для того чтобы описать поведение этой схемы.
необходимо определить зависимость каждой из аг выходных переменных г, от входного двоичного кода х, ~...х|хо. Зависимость выходных переменных г„выраженная через совокупность входных переменных х ~...я~хо с помощью операций алгебры логики, носит название фрнкцигг алгебры логики (ФАЛ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
