Опадчий Ю.Ф., Глудкин О.П., Гуров А.И. Аналоговая и цифровая электроника (2000) (1095415), страница 100
Текст из файла (страница 100)
числом про. черков в его записи. Рбъединеиие кубических комплексов Ко, Кь... К для ФАЛ а-переменных образует ее кубический комплекс: К(х)- тг'(Ка, Кь..., К ). 144. ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СХЕМЫ. ПРИИИЙП ДВОЙСТВЕННОСТИ Пользуясь ФАЛ, мы до сих пор ничего не говорили о структуре логического устройства, представляя его аналогично устройству на рис. 14.1 в виде некоторого «черного яшнкав.
Рднако ФАЛ однозначно определяет и внутреннюю структуру логического устройства. Если мы располагаем элементарнымн узлами, реализующими основные логические операции, заданные постулатами в $14.2, то с нх помощью можно построить логическую схему, выполняющую заданный алгоритм преобразования исходных логических переменных. В общем случае характер реальных логических переменных не имеет значения.
Рн может быть произвольным. В соответствии с перечнем логических операций различаюттрн основных логических элемента (ЛЭ): И, ИЛИ, НЕ. Условные графические обозначения этих ЛЭ показаны иа рис. 14.5. б!3 «э «лг Рис. 14.5, Условные графические обозначения логических элементов Следует епге раз подчеркнуть, что число входов элементов И илн ИЛИ может быть произвольным, Элемент НЕ имеет всегда только один вход. Для построения логической схемы необходимо ЛЭ, предназначенные для выполнения логических операций„ указанных в ФАЛ, располагать от входа в порядке, определенном булевым выражением.
Пример 14.13. Построить структурную схему логического устроастеа по Фйл кз примера 14.7. Структурная схема логического устройства, реэлизуюнгего заданную чгАЛ, ' "газзиа нэ рис. 146. если л, + хо а, то х,ха= з. хг д «гза хэ «, Рнс 14.6. Структурная схема логическо- го устройства 1см, пример 14.131 Рис. !47. Условные гра. фические обозначения элементов 2И-НЕ н 214ЛИ вЂ” НЕ 514 При сравнении таблиц истинности 14.2 и 14.3 для операций И ИЛИ, легко заметить, что если в условиях, определяющих операцию И, значения всех переменных и самой функции заменить их инверсией, а знак логического умножеин» вЂ” знаком логического сложения, получим постулаты, определяющие операцию ИЛИ: если х,хе я, то г, +л,=л, Это свойство взаимного преобразования постулатов операций логического сложения н умножения носит название лриииила двойственности, Важным практическим следствием принципа двойственности является тот факт, что при записи логяческнх выражений н, следовательно, построеики логических схем, можно обойтись только двумя типами операций, например операциями И н НЕ нлн ИЛИ и НЕ.
Введем понятие функционально полной системы ЛЭ. Функиионолано полной системой называется совокупность ЛЭ, позволяющая реализовать логическую схему произвольной сложности. Таким образом, системы двух элементов И и НЕ, а также ИЛИ и НЕ наравне с системой из трех элементов (И, ИЛИ, НЕ) являются функционально полнымн.
На практике широкое применение нашли ЛЭ, совмещающпе функции элементов указанных выше функционально полных систем. Это элементы И вЂ” НЕ н ИЛИ вЂ” НЕ, котовы» носят названия соответстненно штрих Шеффера и стрелка бирса, По определению каждый из этих элементов так же образует функционально полпую систему. Их условные графические обозначения приведены на рнс, 14.7, В качестве примера рассмотрим выполнение операций И. ИЛИ и НЕ на элементах ЙЛИ вЂ” НЕ, Согласно принципу двойственности„если х1хе х, то х1+хе-— г, Инвертируя правую и левую части первого выражения, получаем х~+хе=х=х~хо, т. е.
логическая операция И может быть заменена операцнямн ИЛИ н НЕ. На рис. 14.й приведены примеры реализации основных логических хг хе сх'з ае хг а зе ме Рнс. 1Ф.а. Реаанзаннн оеаоннмх логнчесннх операпна И, ИЛИ, Нй на базе зхе. ментов 2ИЛИ вЂ” Нй МБ х, леле ле Рнс. !4.9. Реелиаеннн основнык логических вперено>тне базе елсневгов 2И вЂ” НЕ операцнй, определенных в $14.2, с кспользованнем только злементов ИЛИ вЂ” НЕ.
На основе аналогнчных рассуждений можно показать выполненне основных логических операций с нспользованнем тольк.> злемента И вЂ” НЕ (рнс.!4.9). Г4Л. ТЕОРЕМЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ Теоремы булевой алгебры отражают связи, существующие между операциями. выполняемымя над логнческнмн неременнымн, Сформулируем наиболее важные нз ннх. Прн этом, так как логнческне операции подчиняются принципу двойственности, соответственно попарно сгруппнруем все однотнпные теоремы по столбцам: 1.
х+О х 1=«; 2. х+1 1, хО О; 3. х+х х, х х=«; 4. х+х 1, хх О: 5. х х, ха+«о .се+ха хг«о = хе«>' («а+ х>) + "'со = хз + (х> + хе1 (хах>) «о = ха (х>хе): б, х, + хо -,х,х„ х>хе х> + хо: х>хо + "о хе> (х> + «е) хо = хо' 516 10. х,х, -,'-,х„(х, + хь) (х, + х„), 11. х,хь + хь = ха -1 хь 12. х,х, + х,хь хь, (хэ+""з)хо = хзхь+ -"юхь. (х1 + .ть) ль А хь' (х, -~- х„) (х, + х„) хь. Выражения 8 носят название теорем Де-Моргана; выражения 9— теорем поглощения, выражения )2 — теорем склеивания, Справедливость всех перечисленных теорем может быть легка доказана с использованием метода совершенной индукции, т. е. непосредственной подстановкой, !4.а.
клАсснонкдция ДОГнческих устРОнстВ Логические устройства могут быть классифицированы по различным признакам. Так, в обн~ем случае (см. рис. !4.1) на входе логического устройс1ва действуют и, а на выходе — ги переменных, т. е. присутствуют соатв»тственно и- н т-разрядные коды. Поэтому логические устройстна могут быть классифицированы па способу ввода-вывода пер»ценных (информации). С этой точки зрения онн подразделяютгн на последовательные, параллельные и последовательно.паралл»льные (смешанные). Последовательным называется устройство, в котором входные переменные подаются на вход, а выходные переменные снимаются с выхода не одновременно, а последовательно, разряд эа разрядом. Паралл»льным называется устройство, в котором все разряды входных переменных подаются на вход, и все разряды выходных переменных снимается с выхода одновременно. В последовательно-параллельных устройствах входные н выходные переменные представлены в различных формах, Либо на вход переменные подаются последовательно символ зв символом, а с выхода аин снимаются одновременно, либо наоборот.
По принципу действия все логические устройства делятся на два класса; комбинационные и последовательностные. Комбинационными устройствами или автоматамн без памяти называют логические устройства, выходные сигналы которых од. нозначно опр»деляются только действующей в настоящий момент на входе комбинацией переменных н не зависят от значений переменных, действовавших нз входе ранее. Последовательносгными устройствами, или аптоматамн с памятью, называют Логические устройства, выходные сигналы которых определяются не только действующей в настоящий момент на входе комбинацией переменных, на и всей последовательностью входных переменных, действававшнх в предыдущие моменты времени.
Этоттип устройств частоназывают цнфровымн автоматами. 5!7 Контрольные вопросы 1, В чем отличие позиционной системы счисления от иепоэиционнойу 2. Как осуществляется перевод числа из одной системы счисления в другую, с большим основанием; с меньшим основанием? 3. Что называется булевыми константами и переменными н алгебре логнкиу 4.
Назовите основные операции булевой алгебры. Как онн описываются с помощью таблиц истинности; с помощью алгебраических выраженнйр 5. Какие функции алгебры логики называются полностью и частично определеннымиу Что такое факультативное значение функции и запрещенный коду 6. Приведите пример описания функции алгебры логики всловесной форме; в виде таблицы нетипности; в виде алгебраического выражения; в дизъюиктнвной и коиъюиктнвной нормальных формах; в аиде последовательности чисел: в виде куба. 7. Что такое нулевой куб; единичный куб; двоичный куб; едн. нкчный н двоичный кубические комплексы; кубический комплекс? 8.
Приведите условное графкческое обозначение ЛЭ И, ИЛИ, НЕ. Что такое функционально полная система логических элементову 9. Как строится структурная схема логического устройства по ФАЛ7 10. В чем заключается принцип двойственности и каково его практическое значение для построения схем логических устройству 1!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
