Долговечность и оптимальное проектирование гусеничного движителя с резинометаллическими элементами (1094948), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Оставляя в разложении только линейные члены, приращение функции определяется следующим выражениемf f q0 q .(3.35)Исследуемый процесс, описывающий движение системы, разбивается повремени на N шагов. Текущие значения обобщенных координат определяютсявыражениямиx x0 u ;y y0 v ; 0 ,(3.36)где x 0 , y 0 , 0 - значения обобщенных координат в начале временного интервала;u ,v, - приращения обобщенных координат на каждом шаге.Далее рассматривается исходное состояние системы, в котором положениеэлемента в начале временного интервала определяется вектором координатq x0i0i0yi0 iTи конечное состояние, которое соответствует окончанию текуще-го шага с приращениями qi ui vi i .TПолагая, что, за время t равное длине шага, приращения u ,v, достаточномалы, на каждом временном шаге для определения приращения обобщенных координат рассматриваются линеаризованные относительно начального состоянияуравнения движения.Выполним линеаризацию для нелинейных алгебраических уравнений, описывающих голономные кинематические связи.
Условие (3.7) абсолютно жесткогошарнирного соединения двух тел запишется в виде109 u sin iivi cos 0i0i sin 0j cos i0 ij u j j 0 sin i0 ij v j cos j cos 0j ji 0 . sin 0j ji 0(3.37)Тогда 10q0 ij sin i0 ij cos i0ij cos i0 ij sin i01 ji sin 0j ji cos 0j . 1 ji cos 0j ji sin 0j 100(3.38)Линеаризованный вектор правых частей для шарнирного соединенияпринимает видcos 0j sin i0 ij 0 i 2 j 0cos i0 ij sin jcos i0 2 0 sin i0i sin i0+ i0 2 cos i0 sin 0j ji j +cos 0j ji sin j cos i0 ij 0 2i j 00 sin i ij cos j cos 0j ji j . sin 0j ji 0(3.39)Линеаризованное условие (3.8) совместного движения звена и катка запишется в видеvi cos 0j yi0 sin 0j j v j cos 0j y 0j sin 0j j u j sin 0j x 0j cos 0j j ui sin 0j xi0 sin 0j j 0 .
(3.40)Тогдаq sin 0jcos 0j 0ysin 0j cos 0j0jsin 0j x 0j cos 0j xi0 sin 0j yi0 sin 0j . (3.41)Линеаризованное уравнение, описывающие кинематические связи (3.10) sin 0j cos i0 ij u j j 0 sin i0 ij v j cos j sin i0ui i0vi cos i cos 0j ji 0 , sin 0j ji 0i j 0 .(3.42)Линеаризация уравнений движения (3.23) дает следующие выраженияi ki 1,i ui 1 i 1,i sin i01 i 1 i 1,i cos i01 i 1 ui i ,i 1 sin i0 i mi ucos 0 cu sin 0 cos 0 0 i ,i 1iii 1,ii 1i 1,ii 1i 1i 1i 1i 1 i 1,i cos i01 i 1 sin i01 i01 i 1 ui i ,i 1 sin i0 i cos i0 i0 i i ,i 1 cos i0 i sin i0 i0 i ki ,i 1 ui i ,i 1 sin i0 i i ,i 1 cos i0 i u sin 0 cos 0 cu sin 0 i 1i 1,ii 1i 1i 1,ii 1i 1i ,i 1ii ,i 1i cos i i ,i 1 cos i sin i ui 1 i 1,i sin cos 0 0 cos 0 sin 0 0 0ii 10ii 1i 1i 1,i0i0ii 1i 10ii 1i 1i 1i0i 1 i 1 110mi vi ki 1,i vi 1 i 1,i cos i01 i 1 i 1,i sin i01 i 1 vi i ,i 1 cos i0 i 0 sin 0 cv cos 0 sin 0 i , i 1iii 1, ii 1i 1, ii 1i 1i 1i 1i 1 i01 i 1 vi i ,i 1 cos i0 i sin i0 i0 i i 1,i sin i01 i 1 cos i01 i0 i ki ,i 1 vi i ,i 1 cos i0 i i ,i 1 sin i0 i i ,i 1 sin i0 i cos i0 v cos 0 sin 0 cv cos 0 i 1i 1, ii 1i 1i 1, ii 1i 1i , i 1cos i , i 1ii i i ,i 1 sin i cos i0 i0 i vi 1 i 1,i sin i01 i 1 i 1,i sin i01 i 1 cos i01 i01 i 1 sin i01 0i0i0ii0i 1 i 1 (3.43)Линеаризованное уравнение моментовJ i i i , i 1 sin i0 i , i 1 cos i0 ki 1,i ui 1 i 1,i sin i01 i 1 i 1,i cos i01 i 1 ui i ,i 1 sin i0 i i ,i 1 cos i0 i ci 1,i ui 1 i 1,i sin i01 i 1 cos i01 i01 i 1 cos 0 sin 0 0 u sin 0 cos 0 0 cos sin cos sin k x cos sin x cos sin c x sin cos x sin cos cos sin k v cos sin v cos sin c v cos sin sin cos v cos sin sin cos sin cos k y sin cos y sin cos c y cos sin y cos sin sin cos k u sin cos u sin cos c u sin cos cos sin u sin cos cos sin cos sin k x cos sin x cos sin i 1,ii 1i ,i 10ii 1,i0i 1i 1,i0i 1i 1i 1i0ii 1,i0i 1i , i 1i , i 1ii ,i 10ii 1,i0i 1i ,i 10ii0i0i 1i 1,i0i 1i 1,i0i 1i 1,i0i 1i 1,i0i 1i ,i 10ii 1,i0i 1i ,i 10ii 10i0i0ii 1i0i 1i ,i 1i 1i 10i 1i ,i 10i0i 1i , i 1i 1,i0i0i0i 10ii ,i 10ii0i 1ii 1i0i0i 10i 1ii 10ii , i 1i 1,i0ii0ii 10i0ii 1i0ii ,i 1i0ii0i 10i0i0ii ,i 1i ,i 1i ,i 1ii 1,i0i 1i0ii 10i 10i0ii ,i 1i ,i 10i 1i 1i , i 1i0ii 1,i0ii ,i 1ii 10ii 1i0i0ii ,i 1iii ,i 10i 10i0i 1i ,i 10ii ,i 10ii 1,i0ii 1,ii , i 1i0ii , i 10i 1i0i 1ii0i 1i 1i 1ii ,i 1i 1,ii 1,ii0i 10i 1i 1i ,i 10i 10i0iii0i 1i 1,ii , i 10i0i 1i 1,ii , i 1i ,i 10i 1i 1,i0iii 1,i0i 1i 10i0i 10ii 1,ii , i 1iii ,i 1ii 1i 1,i0i 1i 1,ii 10ii111 ci ,i 1 xi0 i ,i 1 sin i0 i0 i ,i 1 cos i0 i0 xi01 i 1,i sin i01 i01 i 1,i cos i01 i01 i , i 1 cos i i , i 1 sin i ki ,i 1 vi i ,i 1 cos i0 i i ,i 1 sin i0 i vi 1 i 1,i cos i01 i 1 i 1,i sin i01 i 1 ci ,i 1 vi i ,i 1 cos i0 i sin i0 i0 i sin 0 cos 0 0 v cos 0 sin 0 0 sin cos sin cos k y sin cos y sin cos c y cos sin y cos sin с k с .ki ,i 1ii 1,i0i 10ii ,i 1i ,i 1 i 1,ii0ii 1ii 10ii ,i 1i ,i 1iii0i 10i i 1,i0i 1i ,i 10ii 1i ,i 1ii 1i 1,ii 1i 1i 1i , i 10i0i 10i i ,i 10iii 1i0i 1i 1,i0i 1i 10i i ,i 1i 1i0i 1i 1,iii 10ii , i 10i 1i 1,ii 10i 1i 1,i0i 1 i01 (3.44)Аналогично выполняется линеаризация дифференциальных уравненийдвижения для каждого элемента входящего в механическую систему.
Полученнаялинеаризованная система дифференциально-алгебраических уравнений позволяетнайти приращение динамических перемещений на каждом шаге временного интервала с учетом предварительного состояния, характеризуемого обобщеннымикоординатами.Для численного решения линеаризованных уравнений, составляющих приведенную выше систему, в настоящей работе применяются методы непосредственного численного интегрирования [89]. При использовании методов непосредственного интегрирования уравнения движения интегрируются последовательно на основе применения процедуры численного интегрирования по шагам.На каждом шаге по времени производные перемещений аппроксимируются с помощью конечно-разностных выражений. Существуют две основные схемы непосредственного интегрирования: явная и неявная.При использовании явной схемы динамические характеристики выражаются через найденные на предыдущем шаге значения перемещения, скорости иускорения.
В случае неявной схемы конечно-разностные уравнения рассматриваются совместно с уравнениями движения, и перемещения вычисляются путем решения уравнений. К явным схемам относится метод Рунге-Кутта четвертого порядка. К неявным – схема Губольта, -схема Вильсона, -схема Ньюмарка. В ряде работ применяется метод временных конечных элементов [74, 76, 439, 475].112Наиболее популярным методом решения динамических уравнений являетсяметод Рунге-Кутта [8, 79, 89, 436, 463 - 465]. Метод Рунге-Кутта является одношаговым, т.е. для получения решения на каждом шаге интегрирования используетсяинформация, полученная на предыдущем шаге.
Это позволяет непосредственноначать счет при t=0 по известным начальным условиям.Внастоящейработедлярешениясистемыдифференциально-алгебраических уравнений используется -схема Ньюмарка.После линеаризации система дифференциально-алгебраических уравнений(3.32) принимает вид M q Тq0 q P * , (3.45)где P P t C q K q.Из системы (3.45) получим выражение для определения множителей Лагранжа, как это представлено в работах [79, 311, 386, 464] q M 1q T 1 M P .1q*(3.46)Полученное выражение подставим в первый блок уравнений системы (3.45).M q P q T q M 1q T q M 1P * .1(3.47)Для реализации алгоритма -схемы Ньюмарка конечно-разностные формулы выглядят следующим образом [89]qt t 1qt t qt 1 qt 1 1qt ;2tt 2 qt t qt t qt 1qt t 1qt ,t 2 (3.48)где , - параметры метода; t - длина временного интервала.Подставляя выражения (3.48) в систему линеаризованных дифференциально-алгебраических уравнений (3.47) получаем систему линейных алгебраическихуравнений, для решения которой используются прямые методы [8, 304, 335, 338,385].
В результате решения системы получаем значения перемещений, используякоторые определяем скорости и ускорения с помощью выражений (3.48). После113чего с помощью выражения (3.46) определяем приращения множителей Лагранжа.Последовательное пошаговое решение системы уравнений (3.45) позволяетопределить положение элементов гусеничного движителя в конкретный моментвремени и определить перемещения, скорости и ускорения. Так как перемещения,скорости и ускорения вычисляются для начала координат локальной системы,совпадающей с центром тяжести элемента, то для определения нагрузок действующих на элементы вязкоупругих связей необходимо воспользоваться выражениями (3.12 - 3.24).3.3.
Программный комплекс для оценки динамических нагрузокрезиновых элементов гусеничного движителяПриведенные выше соотношения легли в основу программного комплекса[198] для оценки динамических нагрузок, действующих на резиновые элементыгусеничного движителя. Программный комплекс позволяет определить перемещения, скорости и ускорения элементов конструкции гусеничного движителя, которые используются для определения сил, действующих на резиновые элементы.На рис. 3.10 представлено окно программного комплекса и схема гусеничного движителя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
