Кордон М.Я., Симакин В.И., Горешник И.Д. - Гидравлика (учебное пособие) (1093844), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Подъемная сила, приложенная к шару:⎛ a ⎞⎛ 100⎞P2 = P ⎜⎟ = 43,3 ⋅ ⎜⎟ = 7,22 Н .⎝ a + b⎠⎝ 100 + 500 ⎠3. Необходимый объем поплавка:W =P27,22= 3= 0,736 ⋅ 10 − 3 м3 .ρg 10 ⋅ 9,814. Диаметр шара:45d=36W=π36 ⋅ 0,736 ⋅ 10 − 3= 0,112 м = 112 мм .πКонтрольные вопросы1. По каким формулам определяется сила давления и центр давления нацилиндрические поверхности?2. Что такое тело давления? Как определяется тело давления приотсутствии свободной поверхности ?3.
Как определяется давление жидкости в круглой трубе?4. По какой формуле определяется сила гидростатического давленияжидкости на колено трубы?5. Как формулируется закон Архимеда?6. Что такое остойчивость плавающего тела?7. Что называется метацентром и метацентрическим радиусом?3. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ3.1. Основные понятия и определениякинематики и динамики жидкостиКинематика жидкости изучает связь между геометрическимихарактеристиками движения и времени (скоростью и ускорением).Динамика жидкости (или гидродинамика) изучает законы движенияжидкости как результат действия сил.Классификация видов движения жидкости основана на ряде признаков.По характеру протекания процесса:1. Неустановившееся движение жидкости – движение, изменяющеесяво времени, т.е. скорость и давление в данной точке изменяются стечением времени.
Иллюстрацией неустановившегося движения жидкостиможет быть истечение из резервуара при его опорожнении.2. Установившееся движение жидкости – это такое, при котором влюбой точке пространства скорость и давление не изменяются ни понаправлению, ни по величине.Установившееся движение может быть равномерным и неравномерным.Равномерным движением называется такое, при котором скорости всходственных точках двух смежных сечений равны между собой, а46траектории частиц – прямолинейны и параллельны оси ох, т.е. полескоростей не изменяется вниз по течению.Ускорение частиц жидкости при этом равно нулю. В символической∂(f ) = 0 ; здесь (f) означает тот илиформе это условие можно записать∂xиной параметр, например скорость, глубину h, путь l , ускорение а.Неравномерное движение – это движение, не удовлетворяющее опре∂(f ) ≠ 0 .делению равномерного движения, т.е.∂xРавномерное и неравномерное движение может быть напорным ибезнапорным.
При напорном жидкость соприкасается с твердой стенкой (р >ратм) по всему периметру своего сечения, а при безнапорpном – лишь по части периметра, причем при условии, что изб = 0 .ρgПри поступательном движении частиц жидкости наблюдается ихвращательное движение. Такое движение называется вихревым.Поступательное движение в направлении одной координаты называется одномерным движением жидкости.υ = υ ( х) ; р = р(х) – установившееся одномерное движение жидкости;υ = υ ( х, t ) ; р = р(х,t) – неустановившееся одномерное движениежидкости.Если параметры жидкости при движении изменяются в направлениидвухкоординат,тодвижениеназываетсядвухмерным:υ = υ ( x, y) ; р = р(х, у) или υ = υ ( x, y, z ) ; р = р(х, у, t).При изменении параметров жидкости по трем координатам движениеназывается трехмерным:υ = υ ( x, y, z ) ; р = р(х, у t)илиυ = υ ( x, y, z, t ) ; р = р(х, у, z, t).Прикладная механика жидкости и газа занимается одномернымдвижением жидкости при решении практических задач.3.2.
Гидравлические элементы потокаЖивым сечением потока ω называется поперечное сечение потока,нормальное к направлению движения и ограниченное его внешнимконтуром.Смоченным периметром χ называется длина контура живого сечения,на которой жидкость соприкасается с твердыми стенками.47Гидравлическим радиусом называется отношение площади живогосечения потока ω к смоченному периметру χ:R=ω.χ3.3. Геометрические характеристики потокаОсновными геометрическими характеристиками являются траектория,линия тока и линия отмеченных точек.Траектория – линия, по которой движется некоторая частица М.Линия тока – кривая, проходящая через такие частицы, скоростькоторых в данный момент времени направлена по касательной к этойлинии (рис. 3.1).t1t3H3H2H1t2M t1M t2M t3Рис.
3.1t3t2t1Система линий тока характеризует направление течения потока вданный момент времени (рис. 3.2).u1u4u3u23421Рис. 3.2При неустановившемся движении жидкости линии тока изменяютсвою форму и расположение, а картина движения изменяется во времени.48При неустановившемся движении линия тока и траектория несовпадают друг с другом (рис. 3.3).bu1ucAu2aacРис. 3.3bДве различные линии тока во всех случаях не пересекаются междусобой. Так, полная скорость в точке А, скорость u (см.рис. 3.3) направлены по касательной к линии С-С и, следовательно, линияа-а не является линией тока.Линия отмеченных точек – линия, на которой в данный моментвремени лежат частицы жидкости, прошедшие в свое время через одну иту же начальную точку.Иллюстрацией такой линии может служить линия расположенияпоплавков, последовательно выпущенных из одной и той же точки.3.4.
Трубка тока и элементарная струйкаТрубкой тока называется трубчатая поверхность бесконечно малогопоперечного сечения, образованная системой линий тока, проходящих черезточки бесконечно малого замкнутого контура (рис. 3.4).uлинии токаdωРис. 3.4Жидкость, протекающая внутри этой трубки, называется элементарнойструйкой. Элементарная струйка изолирована от окружающей массы жидкости.Очевидно, жидкость не может протекать через боковую поверхностьтрубки тока, так как на ней un = 0. Совокупность элементарных струекпредставляет собой поток конечных размеров.
Струйная модель потокажидкости упрощает теоретические исследования движения жидкости.Основные свойства элементарной струйки:491. Скорость и площади сечений элементарной струйки могут менятьсявдоль струйки, скорости же в пределах одного сечения элементарнойструйки вследствие малости площадки одинаковы.2. Жидкость не может протекать через боковую поверхность элементарной струйки, так как на основании определения линии тока в любойточке поверхности элементарной струйки скорость направлена покасательной к поверхности.Объем жидкости, проходящей в единицу времени через данноепоперечное сечение струйки, называется элементарным расходом.За время dt (рис. 3.5) все частицы из сечения 1-1 переместятся нарасстояние ds = udt в сечении 1–1 . Здесь u – скорость движения частиц.Объем жидкости между сечениямиdW = d ωds = ud ωdt .ds = udt1′11′1Рис.
3.5За единицу времени проходит количество жидкости в объеме, равном:dQ =dWud ωdt== ud ω .dtdt(3.1)Единица измерения м3/с. Массовый расход dG = dQ ρ = ρud ω , кг/с.Весовой расход dG g = dGg = ρgud ω , Н/с.3.5. Расход и средняя скорость потокаПоток представляет собой совокупность элементарных струек (рис.3.6).umaxudω50Рис. 3.6Из рис. 3.6 видно, что скорость в отдельных струйках различна.Расход потока Q равен сумме расходов элементарных струек, т.е.Q=∫ω dQ = ∫ωud ω .(3.2)Скорость движения потока характеризуется средней скоростью вданном поперечном сечении:∫ ud ω = Qv= ω(3.3)ωωQ = vω .(3.4)или уравнение расхода3.6. Условие неразрывности, или сплошностидвижения жидкостиДля двух сечений 1–1 и 2–2 элементарной струйки в установившемсядвижении (рис. 3.7) можно записать:dQ1 = u1d ω1и21dω1υ11dω2dQ 2 = u2d ω2 .υ22dQ2 = υ 2dω2dQ1 = υ 1dω1Рис.
3.7Видно, что dQ1 > dQ2 по условию несжимаемости и dQ1 < dQ2 поусловию сплошности движения.Следовательно, условие неразрывности имеет вид dQ1 = dQ2 или u1dω1= u2dω2.Очевидно, что для всего потока имеемилиω1 υ 1 = ω2 υ 2Q = ωυ = const .Таким образом, при установившемся движении жидкости расход влюбом сечении потока остается неизменным.513.7. Методы исследования движения жидкостиСуществует два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжаи метод Эйлера.Метод Лагранжа изучает изменение положения в пространствеотдельных частиц жидкости, т.е. траектории их движения.Метод Эйлера изучает поле скоростей, т.е. картину движения частицжидкости в отдельных точках пространства в данный момент времени.Метод Лагранжа в гидродинамике используется редко, ввиду егосложности. Обычно изучение движения основано на методе Эйлера, сутькоторого заключается в следующем.Метод основан на понятии местной скорости или скорости в точке вданный момент времени.В общем случае местные скорости различны в один и тот же моментвремени (рис.
3.8) в разных точках. Они могут изменяться во времени вкаждой точке.zu2 u3u1 210yx21Рис. 3.8Проекции скорости на оси координат можно записать в виде функций:ux = ux (x,y,z,t );⎫⎪uy = uy (x,y,z,t );⎬uz = uz (x,y,z,t ). ⎪⎭(3.5)Функция (3.5) характеризует поле скоростей движущейся жидкости.Используя метод Эйлера, можно выразить ускорение а жидкойчастицы в соответствии с физическим смыслом:a=du.dtЕсли учесть, что для движущейся частицы ее координаты являютсяфункциями времени:x = x (t );y = y (t );52z = z(t ) ,то проекции скорости будут сложными функциями времени:ux = ux [x (t ); y (t ); z(t ), t ] ;uy = uy [x (t ); y (t ); z(t ), t ] ;uz = uz [x (t ); y (t ); z(t ), t ] .Используя правило дифференцирования сложных функций, дляпроекций полного ускорения получим:du x ∂ux ∂ux=+∂t∂xdtdu y ∂uy ∂uy=+ay =∂t∂xdtdu z ∂v z ∂uz=+az =dt∂t∂xax =dx ∂ux dy ∂ux dz++;∂y dt∂z dtdtdx ∂uy dy ∂uy dz;++∂y dt∂z dtdtdx ∂uz dy ∂uz dz.++dt∂y dt∂z dt(3.6)Учитывая, что для движущейся жидкостиdxdydz= ux ;= uy ;= uz ,dtdtdtпреобразуем функции (3.6) к виду:∂u∂u∂u∂uax = x + x ux + x uy + x uz;∂t∂x∂y∂z∂uy ∂uy∂uy∂uyuy +uz;ay =ux +(3.7)+∂t∂x∂y∂z∂u∂u∂u∂uaz = z + z ux + z uy + z uz,∂t∂x∂y∂zdu x du y du zилисубстанциональныегде;;– индивидуальныеdtdtdtпроизводные;∂ux ∂uy ∂uz;;– локальные производные, выражающие из∂t∂t∂tменение во времени вектора u в фиксированнойточке пространства;∂ux∂u∂uux + x uy + x uz – конвективная производная вектора u.∂x∂y∂zЭта величина выражает изменение скорости впространстве в данный момент времени.
Приустановившемсядвижениилокальныеускорения равны нулю.3.8. Уравнение ЭйлераПо основному закону механики равнодействующая всех внешних сил,действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение,с которым движется это тело:53R = ma .(3.8)Выделим в потоке жидкости элементарный объем в форме параллелепипеда (рис.
3.9) и запишем основное уравнение (3.8) в проекциях поосям:dR x = dma cosα = dmax ;⎫⎪dR y = dma cosβ = dmay ; ⎬dR z = dma cos γ = dmaz. ⎪⎭zC′CdzdP1B′BdyDA0dx(3.9)RdP2D′A′xRzRxyRyРис. 3.9Для первого уравнения (3.9) найдем массуdm = ρ dxdydz .Ускорение вдоль оси Ох равно первой производной скорости поdu x:времени t, т.е. ax =dtdu x ∂ux∂u∂u∂u=+ u x x + uy x + uz x .dt∂z∂t∂x∂yУчитывая, что dR x = dmax ,∂u x∂u x∂u ⎞⎛ ∂u+ uy+ u z x ⎟⎟ ,где dmax = ρdxdydza x = ρdxdydz ⎜⎜ x + u x∂x∂y∂z ⎠⎝ ∂tполучим⎛ ∂u∂u∂u∂u ⎞dR x = ρdxdydz ⎜⎜ x + ux x + uy x + uz x ⎟⎟ .(3.9а)∂x∂y∂z ⎠⎝ ∂tНа выделенную элементарную массу действуют поверхностные силыдавления и объемные силы (или массовые), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
