Кордон М.Я., Симакин В.И., Горешник И.Д. - Гидравлика (учебное пособие) (1093844), страница 7
Текст из файла (страница 7)
в силу dRx включаются этисилы.54Рассмотрим проекцию силы давления на боковую грань АВСD иА′В′С′D′:dP1 = pdydz ; dP2 = p′dydz ,где р и р′ – среднее гидростатическое давление для указанных граней:∂pp′ = p +dx .∂x∂p⎛⎞Тогда dP2 = p′dydz = ⎜ p +dx ⎟dydz . Сила dP2 войдет в основное∂x⎝⎠уравнение со знаком «минус», т.е. в сумму проекций сил давления набоковые грани:∂p∂P⎛⎞dP1 − dP2 = pdydz − ⎜ P +dx ⎟dydz = −dxdydz .∂x∂x⎝⎠(3.10)Проекция объемной силы dFx определяется выражением:dFx = dF cosα = ρ Xdxdydz ,(3.11)гдеХ – проекция ускорения объемной силы;ρ – плотность жидкости;dxdydz = dV – объем параллелепипеда.Проекция равнодействующей с учетом выражений (3.10) и (3.11) имеетвид:dRx = dP1 − dP2 + dFx = −∂pdxdydz + ρdxdydzX .∂x(3.12)Подставляя выражение (3.9а) в уравнение (3.12), получим:−⎛ ∂u∂p∂u∂u∂u ⎞dxdydz + ρdxdydzX = ρdxdydz ⎜⎜ x + ux x + uy x + uz x ⎟⎟∂x∂x∂y∂z ⎠ .⎝ ∂tПосле сокращения на ρdxdydz , т.е.
отнеся уравнение к единицемассы, получим:1 ∂p∂u∂u∂u∂u−+ X = x + ux x + u y x + u z x .(3.13)∂zρ ∂x∂t∂x∂yАналогично составив выражения для сил dRy и dRz и для dmay и dmaz,получим три уравнения Эйлера:1 ∂pdu x ⎫+X =;ρ ∂xdt ⎪du y ⎪⎪1 ∂p−+Y =;⎬ρ ∂ydt ⎪1 ∂pdu z ⎪−+Z=.dt ⎪⎭ρ ∂z−55(3.14)Система (3.14) описывает движение как капельной, так и газообразнойжидкости. В системе 3-х уравнений пять неизвестных uх, uу, uz, p и ρ,поэтому необходимо иметь еще два уравнения. Такими уравнениямиявляются уравнения неразрывности и характеристическое уравнение.При ρ = const (для капельной жидкости) достаточно уравнениянеразрывности:Q = υω = const .Контрольные вопросы1.
Что изучает кинематика и динамика жидкости?2. Что представляет собой линия потока и траектория движения? В чемразличие?3. Что называется трубкой тока, элементарной струйкой и каковы ихсвойства?4. Что называется потоком жидкости?5. Что называется живым сечением, смоченным периметром игидравлическим радиусом?6.
Что называется средней скоростью потока и расходом?7. Напишите уравнение неразрывности (сплошности) потока.8. Приведите примеры равномерного и неравномерного, напорного ибезнапорного движения.9. Что изучает метод Лагранжа?10. Что изучает метод Эйлера?3.9. Интегрирование уравнения Эйлерадля установившегося движения жидкостиПри установившемся движении частные производные по времениравны нулю, т.е.∂ux ∂uy ∂uz=== 0.∂t∂t∂tВ этом случае движение жидкости может быть вихревым.Запишем уравнение Эйлера в следующем виде:∂u ⎫∂u1 ∂p∂u= u x x + u y x + u z x ;⎪X −∂z∂y∂xρ ∂x⎪∂uy∂uy∂uy ⎪1 ∂p(3.15)= ux+ uy+ uz;⎬Y −ρ ∂y∂x∂y∂z ⎪∂u ⎪∂u∂u1 ∂p= ux z + uy z + uz z .
⎪Z−∂z ⎭∂y∂xρ ∂z56Умножим первое уравнение на dx, второе на dy и третье на dz; здесь dx, dyи dz являются проекциями элементарного перемещения.Тогда, для первого уравнения будем иметь:1 ∂p∂u∂u∂uXdx −dx = ux x dx + uy x dx + uz x dx .(3.16)∂zρ ∂x∂x∂ydxdydzУчитывая, что ux =; uy =и uz =, преобразуем правуюdtdtdtчасть уравнения (3.16) к виду:∂u∂u∂uux x dx + uy x dx + uz x dx =∂z∂x∂y∂udy ∂uxdz ∂ux= ux x dx +dx +dx =∂xdt ∂ydt ∂z∂udx ∂uxdx ∂ux= ux x dx +dy +dz =∂xdt ∂ydt ∂z∂u∂u∂u= ux x dx + ux x dy + ux x dz =∂x∂y∂z⎛ ∂u⎞∂u∂u= ux ⎜⎜ x dx + x dy + x dz ⎟⎟,∂y∂z⎝ ∂x⎠где выражение в скобках представляет полный дифференциал проекциискорости на ось ox т.е.∂ux∂u∂udx + x dy + x dz = du x .(3.17)∂x∂y∂zС учетом уравнения (3.17) первое уравнение запишем в видеXdx −1 ∂pdu x2.dx = ux du x =2ρ ∂x(3.17а)Оставшиеся два уравнения записываются по аналогии:du y21 ∂pYdy −dy =;ρ ∂y2(3.17б)du z21 ∂p.Zdz −dz =2ρ ∂z(3.17в)Сложив почленно уравнения (3.17а, б, в), после некоторых преобразований получим:57(Xdx=∂p∂p ⎞1 ⎛ ∂pdy +dz ⎟ =⎜⎜ dx +ρ ⎝ ∂x∂y∂z ⎟⎠+ Ydy + Zdz ) −du x2 + du y2 + du z22=(d ux2 + uy2 + uz22) = du22.Здесь u2 представляет полную скорость в данной точке.Левую часть уравнения можно представить в виде силовой функцииU(x, y, z) и полного дифференциала dp, т.е.Xdx + Ydy + Zdz = U (x, y, z)и∂p∂p ⎞ dp1 ⎛ ∂p⎜⎜ dx +dy +dz ⎟ =;ρ ⎝ ∂x∂y∂z ⎟⎠ρтогда имеемdp dU 2dU (x, y, z) −−=0ρ2или− dU (x, y, z) +dp dU 2+= 0.ρ2(3.18)После интегрирования уравнения (3.18) получаем:− U (x, y, z) + ∫dp U 2+= const .ρ2(3.19)Выражение (3.19) называют интегралом Бернулли-Эйлера.Если движение жидкости протекает под действием только сил тяжестии жидкость несжимаемая, т.е.
ρ = const, тоU ( x, y, z) = − gz и∫dp p= .ρρ(3.20)С учетом выражений (3.20) интеграл Бернулли (3.19) принимает вид:gz +p U2+= constρ2или после деления членов уравнения на g получим известное уравнениеБернулли в его обычной форме:z+p U2+= H = const.ρg 2g58(3.21)Для установившегося вихревого движения значение Н постояннотолько вдоль одной линии тока или траектории (для элементарнойструйки). Это следует из условий интегрирования для потенциальныхтечений.Уравнение Бернулли имеет большое практическое и теоретическое значение.
Согласно уравнению Бернулли сумма трех высот остается неизменнойвдоль данной элементарной струйки (рис 3.10). Высота z называетсягеометрической высотой, или высотой положения центра тяжести сеченияp– высота, определяемая величиной гидродинамическогоструйки;ρgдавления, или пьезометрическая высота;U2– скоростная высота, или2gскоростной напор.υ2υ222gp22ρg11z12Рис. 3.10H12gp1ρgz2zxЭнергетический смысл уравнения Бернулли представляет собойполную энергию, отнесенную к единице веса жидкости.p= H = const сСопоставляя основное уравнение гидростатики z +ρgυ2можно рассматривать какуравнением Бернулли, видим, что слагаемое2gкинетическую энергию, отнесенную к единице веса жидкости:υ2Экин =.2gp= Эпот , то полный запас энергии элементарной струйки,ρgотнесенной к весу жидкости, будет равен сумме:Так как z +H = Эпот + ЭкинВ связи с этим уравнение Бернулли часто называют уравнениемэнергии.593.10.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкостиПри решении различных практических вопросов приходится иметьдело не с элементарными струйками, а с потоком реальной жидкостиконечных размеров.В этом случае уравнение Бернулли может быть получено путемсуммирования элементарных струек.Рассмотрим движение жидкости в канале переменного сечения приследующих допущениях:1. Поток движущейся жидкости установившийся, т.е. Q = const , иp= H = const .подчиняется основному закону гидростатики: z +ρg2. Затраты энергии на преодоление сопротивлений движению вязкойжидкости учитываются между сечениями потока величинойρQЭ1− 2 (рис. 3.11).3. Кинетическая энергия определяется через среднюю скорость потока:uυср = ∫ω ,nгде n – число струек;u – скорость в любой струйке.z υ21ρdQ Э1− 22gυ 22υ12gυ2p2ρgz2z1p1ρgxРис.
3.114. Жидкость несжимаема (ρ = const) .Умножив все члены уравнения для элементарной струйки, с учетом потерьэнергии на ρdQ , получим:⎛⎛u12p1 ⎞u22p ⎞ρdQ+ ρdQ ⎜ gz1 + ⎟ = ρdQ+ ρdQ ⎜ gz2 + 2 ⎟ + ρdQ Э1− 2ρ⎠ρ⎠22⎝⎝Суммируя по площади живого сечения, имеем:60⎛u12p1 ⎞u22∫ ρ 2 dQ + ∫ ρ⎜⎝ gz1 + ρ ⎟⎠dQ = ∫ ρ 2 dQ +ωωω⎛p ⎞+ ∫ ρ⎜ gz2 + 2 ⎟dQ + ∫ ρЭ1− 2 dQ .ρ⎠ω ⎝ω(3.22)Рассмотрим каждый член уравнения отдельно.ρ 2ρu12u22Выражения ∫ ρ dQ = ∫ u1 dQ и ∫ ρ dQ = ∫ u22dQ представ22ω22ωωωляют собой кинетическую энергию всей массы жидкости, протекающей вединицу времени через поперечные сечения 1-1 и 2-2.С учетом допущенияρ 2ρρρu1 dQ = Qu12cp и ∫ u22dQ = Qu 22cp .∫2ω22ω2ρ 2.u 2dQ ≠ Qυcp∫2ω2Объясняется это тем, чтоОднако(3.23)ρ∫ u dQ есть2арифметическаясуммаωпроизведений расходов отдельных элементарных струек dQ на квадратыих действительных скоростей u2.2Произведение Qυcp – суммарный расход потока:Q = ∫ dQ ,ωумноженный на среднюю скорость потока:uυср = ∫ ,ωnгде n – число струек.Подобная замена требует корректировки кинетической энергии потока вρ 2выраженииQυ .
Эта корректировка представляет собой отношение2 cpдействительной кинетической энергии жидкости, протекающей черезпоперечное сечение потока в единицу времени, к кинетической энергии,которая имела бы место при том же расходе, если бы скорость жидкости вовсех струйках была бы одинаковой и равнялась средней скорости, т.е.u 2dQα= ∫– коэффициент Кориолиса.2ω QυcpС учетом того, что dQ = ud ω и Q = υcpω , получим61u3dωα= ∫>1.3ωω υcpОбычно коэффициент Кориолиса определяется опытным путем наосновании измерений скорости в различных точках исследуемого потока.Коэффициент α всегда больше единицы.Для так называемого ламинарного режима движения жидкости вцилиндрической трубе коэффициент α = 2, а для турбулентногоα = 1,045-1,10.Рассмотрим выражение второго члена уравнения (3.22), представляющего собой потенциальную энергию потока:⎛p⎞∫ ρ⎜⎜⎝ zg + ρ ⎟⎟⎠dQω⎛⎛p⎞p⎞=ρ⎜⎜ zg + ⎟⎟ ∫ dQ = ρQ ⎜⎜ zg + ⎟⎟ .ρ ⎠ωρ⎠⎝⎝(3.24)Третий член уравнения (3.22) представляет собой сумму работ силсопротивления.Подразумевая под Э1-2 осредненное значение потерь удельной энергии,получим:(3.25)∫ ρЭ1− 2 dQ = ρQЭ1− 2 .ωПодставляя выражения (3.23) и (3.25) в уравнение (3.22), получим:α υ2α υ2p ⎞p ⎞⎛⎛1 1cp2 2cpρQ+ ρ Q ⎜ gz + 1 ⎟ = ρ Q+ ρ Q ⎜ gz + 2 ⎟ + ρ Q.Э⎜ 1 ρ ⎟⎜ 2 ρ ⎟221−2⎝⎠⎝⎠Сокращая на ρQ, после преобразования имеем:⎛υ2 ⎞⎛υ2 ⎞pp⎜⎟⎜ 2cp ⎟1cpgz + 1 + α ⎜= gz + 2 + α ⎜+Э⎟1 ρ1⎜ 2 ⎟2 ρ2 ⎜ 2 ⎟⎟ 1−2⎝⎠⎝⎠или22p α1υ1cpp α 21υ2cp Эz + 1+=z + 2 ++ 1−2 ,1 ρg2 ρg2g2gg(3.26)Э1− 2– потери напора, м.gВ общем виде уравнение Бернулли для потока вязкой жидкостипринимает формугде h1− 2 =p αυ 2++ h = H = const ,z+ρ g 2g62(3.27)гдеυ – подразумеваемая средняя скорость потока.При практических расчетах часто принимают α = 1, тем самымпренебрегают неравномерностью распределения скоростей.Рассмотрим геометрический смысл уравнения Бернулли для потокажидкости, обладающей вязкостью (рис.
3.12).V122gH0p1ρgω1z1Hh1–2H0lω222V2gz2zp2ρgxРис. 3.12Сумма z +pв каждом сечении является пьезометрическим напоромρgH = hz + hp .Линия, соединяющая отметки показаний пьезометров, называетсяпьезометрической линией.αυ 2αυ 2.Величинаназывается скоростным напором hv =2g2gСумма пьезометрического и скоростного напоров называетсягидродинамическим, или полным напором, который можно выразитьзависимостьюαυ 2H =H+= hz + hp + hv .02gЛиния, соединяющая отметки гидродинамических напоров вдольдвижения, называется напорной линией, а ее уклон – гидравлическимуклоном I.Величина h1− 2 в уравнении Бернулли представляет потери напора.Если потери напора отнести к единице длины потока, то получимгидравлический уклон.В горизонтальных напорных трубках потери напора возникают приуменьшении давления:⎛p⎞⎟⎟d ⎜⎜ z +ρgdH⎠ – пьезометрический уклон;=− ⎝ip = −dldl63⎛Iд = −dHd⎜z+⎜0= ⎝dlp αυ 2 ⎞⎟+ρ g 2g ⎟⎠=dldh1−2 – гидравлический уклон.dl3.11.
Практическое применение уравнения БернуллиНа основе уравнения Бернулли сконструирован ряд приборов, таких,как водомер Вентури, водоструйный насос, эжектор, карбюраторыпоршневых двигателей и др.Примерыhp2/ρg121ω0dDp1/ρgПример 1. Водомер Вентури представляет собой короткий отрезоктрубы с сужением посредине (рис. 3.13). В широкой части и горловинеустанавливаются либо пьезометры, либо дифференциальный манометр.2ω21Рис. 3.13Применим уравнение Бернулли для сечений 1–1 и 2–2 без учета потерьи при α1 = α 2 = 1p V2p V211z ++=z + 2 + 2 .1 ρ g 2g2 ρ g 2gПреобразуем уравнение следующем образом:p ⎞ ⎛p ⎞ V2 V2⎛1⎜z +⎟−⎜ z + 2 ⎟ = 2 − 1 .1⎜ρ g ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ρ g ⎟⎠ 2 g 2 g⎝Согласно (рис. 3.13) разность в левой части равна h.Тогда2⎡⎤υ 2 ⎢⎛ υ ⎞⎥h = 1 ⎢⎜ 2 ⎟ −1⎥2 g ⎢⎜ υ ⎟⎥⎝ 1⎠⎣⎢64⎦⎥илиυ =12 gh;υ22 −1υ21но22⎛υ ⎞⎛ω ⎞υω2 = 1; ⎜ 2 ⎟ =⎜ 1 ⎟ ;υ ω⎜υ ⎟⎜ω ⎟12 ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠тогда2gh.2⎛ω ⎞⎜ 1 ⎟ −1⎜ω ⎟⎝ 2⎠υ =1Используя уравнение расхода Q = ωυ , преобразуем формулу к видуQ = ω1ω22ω12gh.2− ω2Обозначим постоянные величины через A = ω1ω22ω12g2− ω2– по-стоянная Водомера, тогда Q = A h – теоретический расход.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
