Кордон М.Я., Симакин В.И., Горешник И.Д. - Гидравлика (учебное пособие) (1093844), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Онарасположена выше плоскости свободной поверхности жидкости навеличину Δh:Δh = (H ′ − z0 ) =p0.ρg(2.33)Из уравнения (2.31) получим:p − p0= z0 − z = h .ρg(2.34)Величина h представляет собой глубину погружения данной точки подуровень свободной поверхности жидкости (см. рис. 2.6).Разность давлений р – р0 представляет собой избыточное давлениеризб:.pизб = p − p0 ,24(2.35)где р полное или абсолютное давление;–р0 –давление на свободной поверхности жидкости:p0 = pатм;p0 > pатм;p0 < pатм .p′pаpиpаpиСоотношение между указанными выше давлениями можно представить в виде схемы (рис. 2.7).Рис. 2.7Абсолютное давление всегда положительная величина:pабс = pизб + pатм .Здесь р0 = ратм на свободной поверхности жидкости.Если р0 < ратм, то(2.36)′ = pатм − pвак .pабс(2.37)Рассмотрим жидкость, покоящуюся в открытом резервуаре (рис. 2.8).pz0Плоскость гидростатического напораh p0/ρgp0=zzПлоскостьпьезометрическогонапора025xРис.
2.8Пусть требуется определить давление в точке А на уровне z.Применим основное уравнение равновесия (2.31) к точке А и к точке В,расположенным на свободной поверхности жидкости на уровне z0.Из уравнения (2.31) имеемppz+= z0 + 0 .ρgρgОтсюдаp = p0 + ρg(z0 − z) ,(2.38)глубина погружения точки А под свободной погде z0 – z = h– верхностью.(2.39)Тогдаp = p0 + ρgh .Величину ρрh называют весовым давлением, так как оно обусловленовлиянием весомости самой жидкости, находящейся под силовымвоздействием поля тяготения.Согласно структуре формулы это давление избыточное, т.к.p0 – давление на свободной поверхности покоящейся жидкости.Рассмотрим графическое представление и энергетическую сущностьосновного уравнения гидростатики.Графическое изображение абсолютного и избыточного давленияpпредставлено на рис. 2.9 в координатах z и.ρgzDpA0ρgp0/–pZ = H′Ggp /ρEВp/ρg = H′xРис. 2.926Треугольником OAB выражает закон изменения абсолютного давления,а два треугольника с общей вершиной в точке G символизируют законизменения избыточного давления.pПричем нижний треугольник BGE выражает изб > 0 , а верхнийρgpизб< 0.ρgПри условии, что p0 = pатм отрицательное избыточное давлениеpназывают вакуумом, а hвак = − изб – вакууметрической высотой.ρgОчевидно, что максимальное значение вакуума устанавливается навысоте H′, где абсолютное давление равно нулю.Энергетическую сущность основного уравнения гидростатики легкопредставить, если выразить его в единицах работы (или энергии).Для этого следует умножить уравнение на единицу, придавая ейразмерность силы (1Н), тогда все члены уравнения будут выражены вединицах энергии (работы), т.е.
в Дж.Так как жидкость находится в равновесии, то она обладает толькопотенциальной энергией.В нашем случае имеем:p, Дж – потенциальная энергия, определяемая гидро-статиρgческим давлением;z, Дж –энергия положения (данная масса жидкостирасположена на высоте z от плоскости сравнения);pH′ = ( +z), Дж полный запас потенциальной энергии.ρg–(Отнесенный к массе, вес которой равен 1Н, т.е. к массеm=11=кг = 0,103 кг ) .g 9,81Из основного уравнения равновесия (2.32)p = p0 + ρg(z0 − z)видно, что при изменении внешнего давления р0 на p0′ = p0 + Δp0давление во всех точках данной жидкости, находящейся в равновесии,изменится на то же значение Δр0.Таким образом, жидкость обладает свойством передавать давление.Это свойство жидкости положено в основу закона Паскаля, которыйформулируется cледующим образом: давление, которое возникает на27граничной поверхности жидкости, находящейся в равновесии, передаетсявсем частицам этой жидкости по всем направлениям без измененияпередаваемого давления.На законе Паскаля основан принцип действия различных гидравлических устройств, с помощью которых давление передается нарасстояние.К таким устройствам относятся: гидравлические прессы, гидроподъемники, гидродомкраты, гидравлические аккумуляторы, гидравлические тормозные системы, гидромультипликаторы и др.В качестве примера рассмотрим работу гидравлического пресса.Гидравлический пресс применяют для получения больших сжимающихусилий, что необходимо, например, для деформации металлов при обработкедавлением (прессование, ковка, штамповка), при испытании различныхматериалов, уплотнении рыхлых материалов, в технологических процессахпо обезвоживанию осадков и т.д.Принципиальная схема пресса представлена на рис 2.10.NbaFFPp=PРис.
2.10К поршню площадью F приложена сила Р1, которая передаетсяжидкости, создавая давление р1:p1 =P1.F1По закону Паскаля давление передается на поршень площадью F2,создавая полезную силу, под действием которой прессуется материал:Pp2 = p1 = 2 .F2СледовательноP1F= 1(2.40)P2 F2или28P1d2= 12 .P2d2(2.41)Из формулы (2.41) видно, что отношение усилий на малом и большомпоршнях пропорционально квадрату отношения диаметров поршней.Например, если диаметр большого поршня в десять раз большедиаметра малого поршня, то полезное усилие на большом поршне будет в100 раз больше, чем на малом.ПримерыПример 1. Определить усилие, которое развивает гидравлическийпресс, имеющий d2 = 250 мм, d1 = 25 мм, a = 1м и b = 0,1м, если усилие,приложенное к рукоятке рычага рабочим, N = 200 H, а КПД равен 0,8.Решение: Сила P2 определяется по формуле22a + b ⎛ d2 ⎞1 + 0,1 ⎛ 250 ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = 0,8 ⋅ 200P2 = ηN⎜⎟ = 176 кН.b ⎝ d1 ⎠0,1 ⎝ 25 ⎠Пример 2.
Гидромультипликатор (рис 2.11) служит для повышениядавления р1, передаваемого насосом или аккумулятором давления.Определить давление р2 при следующих данных: G = 300 кг,D = 125 мм, р1 = 10 кг/см2, d = 50 мм. Силами трения в уплотненияхпренебречь.pd32D129pРис 2.11Решение: Из условия равновесия цилиндра 2 имеемπD 2πd 2 2p1 =p + G.44Отсюда224G4⋅300кг⎛ 125 ⎞⎛D⎞.= 47,22= 10 ⋅ ⎜p2 = p1 ⎜ ⎟ −⎟ −22см2π⋅5πd⎝ 50 ⎠⎝d⎠Пример 3. Определить hвак и построить эпюры вакууметрического иабсолютного давлений на стенку водяного вакууметра, если рабс = 0,85⋅105Па, а в нижнем резервуаре вода.Решение:hвакpатм − pабс (0,981 − 0,85 ) ⋅10 5=== 1,34 м.ρg9,81⋅10 3Эпюры вакууметрического и абсолютного давлений построены на рис.2.12.ppвакhpаpа00Рис.
2.12Пример 4. Определить показания жидкостного манометра, присоединенного к резервуару с водой, на глубине h = 1 м, если по пока-заниямпружинного манометра давление рм = 0,25⋅105 Па (рис. 2.13).30hpp1A1Рис. 2.13Решение: Так как пружинный манометр показывает 0,25⋅105 Па, тоp0 = pатм + 0,25⋅10 5 Па.В сечении 1-1 рл = рп, но при этомpл = p0 + ρgh и pп = pатм + ρghp .Отсюдаp0 + ρgh = pатм + ρghpилиpатм + 0,25⋅10 5 + ρgh = pатм + ρ ghp ;отсюда2,5⋅10 4 + ρgh 2,5⋅10 4 + 10 3 ⋅9,81⋅1hм === 3,54 м .ρg10 3 ⋅9,81Контрольные вопросы1. Что называется поверхностью уровня (поверхностью равногодавления)?2.
Перечислите свойства поверхности уровня.3. Что представляет собой поверхность уровня в поле сил тяготения?4. Раскрыть физический смысл членов, входящих в основноедифференциальное уравнение гидростатики.5. Раскрыть физический смысл членов, входящих в основноеинтегральное уравнение равновесия.6. Что называется полным (абсолютным) давлением (показатьсхематически)?317.
Что называется избыточным давлением и вакуумом?8. Что называется пьезометрическим и гидростатическим напором?9. Раскрыть энергетическую сущность основного уравнения гидростатики.10. Сформулируйте закон Паскаля.11. Какие гидравлические устройства основаны на законе Паскаля?2.10. Относительное равновесие жидкостив поле сил тяготенияОтносительным равновесием жидкости называется такое состояние,при котором каждая ее частица сохраняет свое положение относительнотвердой стенки движущегося сосуда.При относительном равновесии надо решить две задачи.1. Определить форму поверхности уровня.2.
Установить характер распределения давления.Решение этих задач основано на дифференциальных уравненияхравновесия (2.21) и (2.25).При относительном равновесии следует учитывать силы инерции,дополняющие систему массовых сил, действующих в жидкости,находящейся в состоянии абсолютного покоя.Рассмотрим некоторые частные случаи такого равновесия.1-й случай. Равноускоренное движение по вертикали. Вначалеопределим форму поверхности уровня.Имеем общее дифференциальное уравнение:Xdx + Ydy + Zdz = 0 .При равноускоренном движении по вертикали внешними объемнымисилами будут сила тяжести и сила инерции (рис. 2.14).jин = –M<jдвРис. 2.14Их проекции или проекции ускорений X = 0; Y = 0; Z = (–g ± j) (приспуске (+j) и при подъеме (–j)).Уравнение поверхности уровня имеет вид32(− g ± j )dz = 0 .(2.42)Отсюда следует, что если g ≠ j, то dz = 0, а потомуz = c = const .(2.43)Выражение (2.43) представляет собой уравнение семейства горизонтальных плоскостей как при подъеме, так и при спуске поверхностиуровня.Гидростатическое давление изменяется только по высоте.Если g = j, то в уравнении (2.42) (–g+j) = 0, а потому dz можетравняться нулю.
Если dz ≠ 0, то поверхность уровня может иметь любуюформу (рис. 2.15), z ≠ const.Mjjдв =Рис. 2.15Закон распределения давления находим из основного дифференциального уравнения (2.21):dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz ) .С учетом того, что X = 0; Y = 0; Z = (–g ± j), уравнение (2.44)преобразуется к виду:dp = ρ(− g ± j )dz .(2.44)При равноускоренном движении (спуске) (–g+j) можно записать⎛j⎞dp = −ρg⎜⎜1 − ⎟⎟dz ,(2.45)g⎠⎝а при равноускоренном подъеме (–g – j)⎛j⎞(2.46)dp = −ρg⎜⎜1 + ⎟⎟dz .g⎠⎝Из уравнений (2.45) и (2.46) следует, что связь между p и z линейная,как и при абсолютном равновесии.33Анализ уравнений (2.45) и (2.46) показывает, что произведение⎛j⎞ρg⎜⎜1 ± ⎟⎟ можно рассматривать как условный вес, отнесенный к единицеg⎠⎝объема жидкости.
Обозначим его γ′, тогда при спуске и при j < g,⎛j⎞⎜⎜1 − ⎟⎟ < 1 и γ′ < ρg жидкость оказывается как бы более легкой, а при jg⎠⎝⎛j⎞= g получим ⎜⎜1 − ⎟⎟ = 0 и, следовательно, γ′ = 0, поэтому жидкость сталаg⎠⎝невесомой (см. рис. 2.15).⎛j⎞При равноускоренном подъеме ⎜⎜1 + ⎟⎟ > 1 и γ ′ > ρg , т.е. жидкостьg⎠⎝становится как бы тяжелее.2-й случай. Вращательное движение относительно вертикальной оси(рис. 2.16).ω=hω2r2gu•=•2j=–Рис. 2.16Определим форму свободной поверхности и закон распределениядавления.Допустим, что жидкость в цилиндрическом сосуде вращаетсяотносительно оси z с постоянной угловой скоростью ω. Определим формусвободной поверхности из общего дифференциального уравненияповерхности уровня:(2.47)Xdx + Ydy + Zdz = 0 .С учетом осесимметричности движения относительно оси oz уравнение(2.47) можно записать в цилиндрических координатах:34Rdr + Zdz = 0 ,где Z = –g–R–(2.48)ускорение свободного падения;проекция ускорения центробежной силы, равногоu2,j =rздесьu–r–окружная скорость;радиус вращения.Учитывая, что u = ωr, имеем:R= j =u 2 (ωr )2== ω2r .rrОчевидно, что уравнение поверхности в данном случае имеет вид:ω2 rdr − gdz = 0 .Интегрируя это уравнение, получимω2r 2− gz = c′2илиz=ω2r 2+ c.2g(2.49)Уравнение (2.49) представляет собой параболу в плоскости roz.Очевидно, что для всей массы жидкости поверхность уровня будетпараболоидом вращения.Постоянная с находится из граничных условий.
Так, при r = 0 изуравнения (2.49) получаем:c = z0 .(2.50)С учетом равенства (2.50) уравнение свободной поверхности имеетвид:ω2 r 2z = z0 += h,2g(2.51)глубина на расстоянии r от оси вращения.гдеh–Таким образом, глубина h увеличивается с увеличением расстояния отоси.35Закон распределения давления находим из уравненияdp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz ) .Трехчлен правой части выразим в видеXdx + Ydy + Zdz = ω2 rdr − gdz .Тогда⎛ ω2 rdr⎞dp = ρ ω2 rdr − gdz = ρg⎜⎜− dz ⎟⎟⎝ g⎠()илиdp ω2 rdr=− dz .ρggПосле интегрирования и изменения порядка слагаемых получимpω2 r 2= −z ++ c.ρg2g(2.52)Найдем постоянную интегрирования с, принимая r=0, z=h0 и p=p0,c=p0+ h0 .ρg(2.53)Подставляя формулу (2.53) в уравнение (2.52), получимp − p0ω2 r 2+ z = h0 +ρg2gилиpизбω2r 2.+ z = h0 +2gρg(2.54)Из уравнения (2.54) видно, что для любого заданного r=const, законраспределения давления по высоте является линейным, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
