Кордон М.Я., Симакин В.И., Горешник И.Д. - Гидравлика (учебное пособие) (1093844), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Дифференциальное уравнение равновесия жидкости(Уравнение Эйлера)Выделим в жидкости элементарный параллелепипед ABCDA′B′C′D′ (рис.2.3).Полагая его твердым телом, составим три уравнения проекцийдействующих сил :∑ F x = 0; ∑ F y = 0; ∑ F z = 0.zCC′dB zBddd′P′ DPdxDy′AA′0xyРис. 2.3Уравнение моментов исключается. Составим уравнение проекции силна ось ox, т.е. уравнение ∑ F x = 0.Равновесие параллелепипеда обеспечивается шестью проекциями (почислу граней).В уравнение ∑ F x = 0 войдут только две силы: dP и dP′.Сила давления на грань ABCDdP = pdydz ,гдер–среднее гидростатическое давление на грань ABCD.17Сила давления на грань A′B′C′D′d P ′ = p′dydz ,среднее гидростатическое давление на грань A′B′C′D′р′ –(р′ ≠ р).Определим р′. Так как p = f(x,y,z), то при переходе от одной грани кдругой давление должно изменяться в зависимости от одной координаты,так как в сходственных точках (A и A′, B и B′ и т.д.) давление зависиттолько от изменения одного аргумента x.
Аргументы y и z длясходственных точек (А и А′) остаются неизменными. Следовательно∂pp′ = p +dx .∂xТогда∂p⎞⎛d P ′ = p′dydz = ⎜ p +dx ⎟dydz .∂x⎠⎝′Сила dP войдет в уравнение проекции со знаком «минус».Проекции объемных сил.Проекция объемной силы dR равна произведению массы насоответствующую проекцию ускорения объемной силы, т.е.гдеdR x = ρdxdydzX ,ρ плотность жидкости;–dx, dy, dz –объем выделенного элемента;X–проекция ускорения силы dR на ось Ох.Сумма проекций поверхностных и объемных сил на ось Ох равна:где∑ Fx∂p⎞⎛dx ⎟dydz + ρdxdydzX = 0 .= pdydz − ⎜ p +∂x⎠⎝(2.17)После некоторого преобразования и деления на dxdydz (объемпараллелепипеда dW) получим уравнение проекций сил на ось Ох,отнесенных к единице объема:−∂p+ ρX = 0 .∂xАналогично получим два других уравнения:(2.18)∑ F y = 0; ∑ F z = 0.Таким образом, при равновесии жидкости имеем три дифференциальных уравнения:18⎫∂p+ ρX = 0;⎪∂x⎪⎪∂p+ ρY = 0;⎬−(2.19)∂y⎪∂p−+ ρZ = 0 .
⎪⎪∂z⎭Система уравнений (2.19) равновесия жидкости относится как кнесжимаемой, так и к сжимаемой жидкости.Эта система уравнений впервые была получена Эйлером в 1755 г.−2.6. Основное дифференциальное уравнение гидростатикиУмножая первое уравнение (2.19) на dx и последующие на dy и dz,после суммирования получаем:⎛ ∂p∂p∂p ⎞(2.20)− ⎜⎜ dx +dy +dz ⎟ + ρ(Xdx + Ydy + Zdz ) = 0 ,∂y∂z ⎟⎠⎝ ∂xдифференциалы координат, а не ускорений X, Y, Z.где dx, dy, dz–Так как гидростатическое давление р является функцией толькокоординат, т.е.
независимых переменных x, y, z, то первый трехчленуравнения (2.20) как сумма всех трех частных дифференциаловпредставляет собой полный дифференциал .Следовательно,dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz ) .(2.21)Это уравнение является основным дифференциальным уравнениемравновесия жидкости.Так как dp есть полный дифференциал, то для однородной жидкости(при ρ = const) и трехчлен (Xdx + Ydy + Zdz) – тоже полный дифференциалнекоторой функции U(x,y,z).Следовательно,Xdx + Ydy + Zdz = dU (x, y, z) .(2.22)Частные производные функции U(x, y, z) взятые по x, y, z равныпроекциям ускорений массовых сил на соответствующие оси:∂U (x, y, z) ⎫;⎪∂x∂U (x, y, z) ⎪⎪;⎬Y =∂y⎪∂U (x, y, z) ⎪.⎪Z=∂z⎭X =19(2.23)Рассматривая X, Y, Z не как проекции ускорения, а как проекцииобъемной силы, отнесенной к единице массы, назовем функцию U = f(x, y,z) потенциальной, или силовой функцией, а силы, удовлетворяющиеусловию (2.23), – имеющие потенциал.Из теоретической механики известно, что силовая функция равнапотенциалу сил, взятому с обратным знаком, т.е.U (x, y, z) = −П (x, y, z) .Из вышеизложенного следует, что равновесие жидкости возмож-нотолько в том случае, когда массовые силы имеют потенциал.Уравнение (2.21) содержит две неизвестные величины p и ρ.Связь р, ρ с температурой Т может быть выражена характеристическимуравнением.Так для газовρ=p.RT(2.24)Для несжимаемой жидкости характеристическое уравнение имеет вид:ρ = const .В этом случае плотность ρ можно считать известной, тогда уравнение(2.24) не требуется.Контрольные вопросы1.
Дайте определение гидростатики как научной части дисциплины«Прикладная МЖГ».2. Перечислите силы, действующие на рассматриваемый объем жидкости.3. Дайте определение гидростатического давления.4. Какова размерность давления?5. В каких единицах измеряется давление?6. Сформулируйте основную теорему гидростатики.7. Сформулируйте основное условие равновесия жидкости.8. Раскройте физический смысл проекций X, Y, Z.9.
Раскройте физический смысл потенциала сил.2.7. Поверхность уровняПоверхность, точки которой имеют одинаковые значения даннойфункции, называется поверхностью уровня (рис. 2.4). К поверхностиравного уровня относятся:– поверхности равного давления;20– изотермические поверхности (поверхности равной температуры);– поверхности равной плотности и т.д.nβ = 90°RПоверхность уровняnРис.
2.4В гидравлике рассматриваются поверхности равного давления.Принимая p = const (dp = 0) в основном уравнении гидростатики (2.21),c учетом того, что для жидкости ρ ≠ 0, получим:Xdx + Ydy + Zdz = 0 .(2.25)Уравнение(2.25)являетсядифференциальнымуравнениемповерхности уровня (здесь X,Y,Z являются функциями координат).Поверхности уровня обладают следующими свойствами:Первое свойство поверхности уровня заключается в том, что дверазличные поверхности уровня не пересекаются между собой.Докажем это от обратного.Допустим, что поверхности уровня пересекаются. Тогда во всех точкахлинии пересечения этих поверхностей давление одновременно должнобыть равно р1 и р2, что противоречит основной теореме гидростатики, вкоторой доказывается, что гидростатическое давление р одинаково по всемнаправлениям.Следовательно, две различные поверхности уровня не пересекаются.Второе свойство – внешние массовые (объемные силы) направлены понормали к поверхности уровня (см.
рис. 2.4).Известно, что уравнение работы dA силы R на пути ds имеет вид:dA = Rx dx + Ry dy + Rzdz ,проекции силы по координатным осям Ox, Oy и Oz.где Rx, Ry и Rz –НоRx = dmX ; Ry = dmY и Rz = dmZ ,гдеdm –X, Y, Z–Тогдаэлементарная масса;проекции ускорения силы R по тем же координатным осям.21dA = dmXdx + dmYdy + dmZdz = (Xdx + Ydy + Zdz )dm .Но для поверхности уровняXdx + Ydy + Zdz = 0 .Поэтому работа силы R (внешней объемной силы ) равна нулю.Следовательно, для поверхности уровняdA = R cosβ ds = 0 ,где β = ∠(R,S).Это возможно лишь при cosβ = 0, т.е. внешняя сила должна бытьнормальна к поверхности уровня, (β = 90°).2.8.
Равновесие жидкости в поле земного тяготенияВ качестве объемной силы в поле земного тяготения выступает силатяжести.Полное ускорения объемных сил равно ускорению свободногопадения: g = 9,81 м/c2.В выбранной системе координат проекции единичной объемной силына оси Ox, Oy и Oz будут следующими:X = 0;Y = 0;Z = −g .Знак «минус» в ускорении свободного падения соответствуетнаправлению силы тяжести в отрицательную сторону оси Oz.Подставляя значения X, Y, Z в уравнение поверхности уровня (2.25),получим− gdz = 0(2.26)z = c = const ,(2.27)и следовательно,где произвольная постоянная.с–Уравнение (3.3) является уравнением семейства горизонтальныхплоскостей.Таким образом, поверхностью уровня (поверхность равного давления) воднородной покоящейся жидкости будет любая горизонтальная плоскость, втом числе и свободная поверхность, независимо от формы сосуда иливодоема.
Горизонтальной плоскостью будет также граница раздела двухнесмешивающихся жидкостей (рис. 2.5).nBA22nРис. 2.5Так, давление в точке А равно давлению в точке В, так как обе точкилежат на одной и той же поверхности уровня (поверхности равногодавления).2.9. Основное уравнения равновесия жидкостив поле земного тяготения. Закон ПаскаляВоспользуемся основным дифференциальным уравнением гидростатики (2.21):dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz ) .Учитывая, что при действии силы тяжести на выделенный объемжидкости X = 0; Y = 0; Z = –g, получимdp = −ρgdz(2.28)илиdp= −dz .ρgПринимая ρ = const для несжимаемой жидкости, после интегрированияполучимp+ z = C = const .ρg(2.29)Постоянную интегрирования найдем из граничных условий.
Длясвободной поверхности жидкости (рис. 2.6) имеем:p = p0 и z = z0 .0zzhH/hp/p0Δдавление на свободной поверхности жидкости, обычногдер0 – р0 = ратм.023Рис. 2.6СледовательноC =p0+ z.ρg(2.30)Решая совместно уравнения (2.29) и (2.30), получаемpp+ z = 0 + z0 = H ′ = const .ρgρg(2.31)Уравнение (2.31) называется основным уравнением равновесияжидкости в поле тяготения.Обычно уравнение (2.31) записывается в формеp = p0 + ρg( z0 − z) .(2.32)В уравнении (2.31) ρg представляет собой силу, с которой поле земноготяготения действует на массу жидкости в объеме 1 м3, т.е. представляетсобой вес, отнесенный к единице объема.Слагаемые уравнения (2.31) выражены в единицах длины.Так, z и z0 представляют собой высоту расположения точек надкоординатной плоскостью (yOx).Другие составляющие уравнения (2.31) по своему физическому смыслуотличаются от высот z и z0, так как они зависят от р (приρ = const) и называются высотами гидростатического давления.pВеличина Н′ = z +постоянная для всех частиц жидкости, т.к.ρgявляется координатой некоторой горизонтальной плоскости (xOy).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
