Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Зто означает, что функции /(о) удовлетворяет условию нормировки ~ /(о) 6о= 1. о Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Значение наиболее вероятной скорости можно найти продифференцировав выражение (44.1) (постоянные множители опускаем) по аргументу о, приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения !(о): 6 г — а"дгагг (ее а 6о Значения о=О и о= оо соответствуют минимумам выражения (44.1), а значение о, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость о,: о,=х~2йТ/тв — — х/2йТ/М.
(44.2) Из формулы (44.2) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис. 66) сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако плошадь, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому прн повышении температуры кривая распреде. ления молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться. Средняя скорость молекулы ( о ) (средняя арифметическая скорость) опре- 1 (о) = — ~ о 6М(о)= ~ ог(о) 6о. М Подставляя сюда /(о) и интегрируя, получим а.
~ = „Гаса«с<.,~-асад«77 яа ааа аа Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятная о.=з/2йТ/М; аа а а а= !загса яа=а.аа .: аа средняя квадратичная (о„) =х/ЗйТ/М= =1,22 о. (рнс. 65). Исходя из распределения молекул по скоростям згг / аив т г —,"дгяг! 6М(о)=М ° 4л о е ' 6о 'т 2лйТ ) (44 4) можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии е. !(ля этого перейдем от переменной о к переменной е =тво'/2. Подставив в (44.4) о .у72в/тв и 6о=(2твв) ыгбе, получим 6М(в)= — (йТ) 7 в 7 е ы! 16е= где 6М(в) — число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интервале от и до в+6е.
Таким образом, функцмя распределения молекул по энергиям теплового дви- жения 2 (й Т) - з7г д гг — а яд 7! Средняя кинетическая энергия (е) молекулы идеального газа = — (йТ) ~~ $ взг е '~' ~ 6е= /гФТ, т. е. получили результат, совпадающий с формулой (43.8). 2 Основы нолскулнрнон фнзнкн н гсоноднн..ннкн На бр= — — — р бй, Мк Тг7 или бр Мд — = — — дй. р г, р или Р (Р+бр)=рй бй (45.1) бр= — рд бй. — .„Лцмг1 (45.4) Рнс. вт 2 45. Барометрическая формула. Распределение Больцмвнв При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по обьему.
Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает. Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, чта иоле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте Ь равно р (рис. 67), та на высоте й+бй оно равно р+др (при бй)0 бр(0, так как давление с высотой убывает).
Разность давлений р и Р+др равна весу газа, заключениага а объеме цилиндра высотой бл с основанием площадью, равной единице площади: где р — платность газа на высоте Ь (бй настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной) . Следовательно, Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа р)г=(т/М) гтТ (т масса газа, М вЂ” малярная масса газа), находим, чта р = т/(г= РМ/(К Т). Подставив зто выражение а (45.1), получим С изменением высоты от М до йз дав. ление изменяется от р~ до рг ((зис. 67), т.
е. )п (из 51) Рг Мй р, РТ рг=р,е ' ' . (45.2) Выражение (45.2) называется барометрической формулой. Она позволяет пай~и атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (45.2) может быть записана в виде р=рое мх"дн'Х (45.3) где р — давление на высоте й. Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомерам (или альтиметром).
Его работа основана на использовании формулы (45.3). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее. чем тяжелее газ. Барометрическую формулу (45.3) можно преабразоватгн если васпальзгь ваться выражением (42.6) р = пйТ: — мххг вг1 и=псе где и — концентрация молекул на высоте И, пн — то же на высоте п=0. Так как М=тзйух (А(х — постоянная Авогадро, то — масса одной молекулы), а )г=/гй(ю то ! о о в а И. Мол««улярно-«кисти«сел»я теория и,к»льямх газов где гпойй = П вЂ” потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т.
е — пхмг! п= лое (45.5) Выражение (45.5) называется распределением Больцманв во внешнем потенциальном поле. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (45.5) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в иоле сил тяжести. $ 46. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходя~ некоторый путь й который называется длиной свободного пробега.
В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул (!). Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы и' (рнс. 68). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т. е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры). Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифмети- Рис. 68 Рис.
66 ческой скорости (о), и если (г) — среднее число столкновений, 'испытываемых одной молекулой газа эа ! с, то средняя длина свободного пробега <(>.= < >/<г>. Для определения (г) представим себе молекулу в виде шарика диаметром Й, которая движется среди других «застывших» молекул.
Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях, равных или меньших И, т. е, лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом «( (рис. 69). Среднее число столкновений за ! с равно числу молекул в объеме «ломаного» цилиндра: (г) =пУ, где п — концентрация молекул, У = =поп(о) ((о) — средняя скорость молекулы или путь, пройденный ею за ! с).
Таким образом, среднее число столкновений (г) =плп'(о). расчеты показывают, что при учете движения других молекул (г) =,Й л,(хп(о). Тогда средняя длина свободного пробега (!) = !/(у'2лп'~п), т. е. (!) обратно пропорциональна концентрации л молекул. С другой стороны, из (42.6) следует, что прн постоянной температуре л пропорциональна давлению р. Следовательно, <!~) п2 Р2 (!) п, р, н2 2 Синовы молекулярной физики и термодинамики Рнс. 70 Рнс. 7! 9 47.
Опытное обоснование молекулярно-кинетической теории Рассмотрим некоторые явления, экспериментально подтверждающие основные положения и выводы молекулярно-кинетической теории 1. Броуновское движение. Шотландский ботаник Р. Броун (!?73 — 1858), наблюдая под микроскопом взвесь цветочной пыльцы в воде, обнаружил, что частицы пыльцы оживленно и беспорядочно двигались, то вращаясь, то перемешаись с места на место, подобно пылинкам в солнечном луче. Впоследствии оказалось, что подобное сложное зигзагообразное движение характерно для любых частиц малых размеров (ж! мкм), взвешенных в газе или жидкости.
Интенсивность этого движения, называемого броуновским, повышается с ростом температуры среды, с уменьшением вязкости и размеров частиц (независимо от их химической природы) Причина броуновского движения долго оставалась неясной. Лишь через 80 лет после обнаружения этого эффекта ему было дано объяснение: броуновское движение взвешенных частиц вызывается ударами молекул среды, в которой частицы взвешены. Так как моленулы движутся хаотически, то броуновские частицы получают толчки с разных сторон, поэтому и совершают движение столь причудливой формы. Таким образом, броуновское движение является подтверждением выводов молекулярно-кинетической теории о хаотическом тепловом движении атомов и молекул. 2.
Опыт Штерна. Первое экспериментальное определение скоростей молекул выполнено немецким физиком О. Штерном (1888 — !970). Его опыты позволили также оценить распределение молекул по скоро. стям. Схема установки Штерна представлена на рис. 70. Вдоль оси внутреннего цилиндра с щелью натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая нагревается током при откачанном воздухе. П ри нагревании серебро испаряется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
