Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Определим скорость этой же точки в системе К Если в системе К днижение точки в каждый момент времени г определяется координатами х, и, г, а в системе К' в момент времени К— 1. Фи~ические ~ снопы мскккккк координатами к', у', г', то дх дд дг и„= —,и= —,и,=— й' д дг' г д/ дх', ду', дг' й'' ' й'' * й' представляют собой соответственна проекции на осн х, д, г и к', д', г' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К'.
Согласно преобразованиям Лоренца (36.3), дх=, бу=ду', да=ба', дх'+о й' /1 йз й'+ о дх'/с' /! йз Произведя соответствующие преобразова- ния, получаем релятивистский закон сло- жения скоростей специальной теории от- носительности: К' К и'„+ и и 1+ ои',/с и,— и и'„= ! — пи,/с и ~/) — йх ! — ии„/с ; ч) — й' и„= 1+ ои„'/с и, )/! — 6 1 — ии„/с 1+ пи'„/с' (37.5) Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость и относительно системы К совпадает с и„, а скорость и' относительно К' — с и„'. Тогда закон сложения скоростей примет вид и=, и'= .
(37.6) 1+ пи'/с 1 — пи/с Легко убедиться в том, что если скорости и, и' и и малы по сравнению со скоростью света с, то формулы (37,5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей в классической механике (см. (34.4) ). Таким образом, законы релятивистской механиин в предельном случае для малых скоростей (по сравнению со скоростью света) переходят в законы классичесиой физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей. Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна (см. $35). Действительно, если и'=с, то формула (37.6) примет вид и= с+о =с (аналогично можно пока- 1+ со/с зать, что при и:=с скорость и' также равна с).
Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский заион сложения скоростей находится в согласии с постулатами Эйнштейна. Докажем также, что если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости света с, то их результирующая ско. рость будет всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предельный случай и'==о=с. После подстановки в формулу (37 6) получим и=с. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света и вакууме есть предельном скорость, которую невозможно превысить. Скорость света в какой-либо среде, равная с/и (и — абсолютный показатель преломления среды), предельной величиной не является (подробнее см.
$169). й 38. Интервал между событиями Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разное. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в теории Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчета, т. е, являющейся инвприантной по отношению к преобразованиям координат.
В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами Гл г и 5 7 Элементы специальной !частнан) теории агнысительнасти 67 (х, у, х, 1), такой физической величиной является интервал между двумя событиями: эм — — с (12 — 1,) — (хг — х,) — — ... 2 2 2 — (38 П ...-» — (уг — у~) — (хг — хг), где ч) (хг — х~) +(уг — у~) + (хг — х ) =1и — расстояние между точками обычного трехмерного пространства, в которых эти события произошли.
Введя обозначение 0 г = 12 — гь получим 2 2 2 5!2= С 1~2 — 1гг. Покажем, чта интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Обозначив Л1=12— Лх=хг — хь ЛУ=Уг — У~ и Лх=хг— выражение (38.1) можно записать в виде 522 = сг (Л1) — (Лх) — (Лу) — (Лх) . Интервал между теми же событиями в системе К' равен (5(г) =с (Л1 ) (Лх ) — (Лу ) — (Лх ) . (38.2) ца Согласно преобразованиям Лорен (36.3), Лх — о Л1 Лх = ....., Луг=лу, Лх'=Лх, Я~ йг Л12 Л1 — о Лх/~е 11 йг Подставив эти значения в (38.2), после элементарных преобразований получим, что (5(2) = с (Л1) (Лх) (Лу) — (Лх)', т.
е. (5(г) =гп Обобгцая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе ат одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, чта, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит обьективный характер и не зависит от системы отсчета. Теория относительности, таким абразам, сформулировала новое представление о пространстве и времени, обобшенное далее в диалектическом материализме.
Пространственно-врелгенные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждала механика Галилея— Ньютона, а относительными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являются несостоятельными. Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что пространство и вре. мя органически связаны между собой и образуют единукг форму сушествования материи -- пространства-время. Пространство и время не сушествуют вне материи и независимо от нее.
Ф. Энгельс подчеркивал, что лабе зти формы сушествования материи без материи суть ничто, простые представления, абстракции, сушествуюшие толька в нашей голове» (Маркс К и Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 20. С. 550) . Дальнейшее развитие теории относительности (обшая теория относительности, или теория тяготения) показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действуюшими в ней полями тяготения.
При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени не является евклидовой 1т. е. не зависящей ат разлгерав области пространства-времени), а изменяется ат одной области к другой в зависимости от концентрации масс в этих областях и их движения. б 31), ()снавной закан релятивистской динамики материальной точки Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце Х!Х столетия на опытах с быстро движусцимися электронами было установлено, чта масса тела за. висит от скорости его движения, а именна возрастает с увеличением скорости 1. Физические ~кновы механики по закону (39.1) Г = — = — (гпт) др дг 61 или (39.3) где где гпь — масса покоя материальной точки, т.
е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой материальная точка находится и покое; с — скорость света в вакууме; т— масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью о. Из принципа относительности Эйнштейна (см. $35), утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца.
Основной закон динамики Ньютона оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса. Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид Г=- — — — — ч, (39.2) р=тт= — — -" — — ч (39.4) — релятивистский импульс материальной точки. Отметим, что уравнение (39.3) внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики (6.7). Однако физический смысл его другой: справа стоит производная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (39.4).
Таким образом, уравнение (39.2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, а обгцем случае ускорение ие совпадает по направлению с силой.
В силу однородности пространства (см. $9) в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, блнзкнмн к с, то можно использовать только релятивист. ское выражение для импульса. Анализ формул (39.1), (39.4) и (39.2) показывает, что при скоростях, значитель. но меньших скорости света, уравнение (39.2) переходит в основной закон (см. (6.5)) классической механики.
Следовательно, условием применимости законов классической (ньютоновской) механики является условие о (( с, Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая о Кс (формально переход осуществляется при с-ььа). Таким образом, классическая механика — это механика макротел, движущихся с малькми скоростями (по сравнению со скоростью сне~а в ванууме). Экспериментальное доказательство зависимости массы от скорости (39.1) является подтверждением справедливости специальной теории относительности. В дальнейшем (см. 4 116) будет показано, что на основании этой зависимости производятся расчеты ускорителей. й 40.
Закон взаимосвязи массы н энергии Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы (материальной точки). Раньше ($12) было показано, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении: дТ=дА или дТ=Г дг. (40.1) ~ н. 7 Элементы спепнзльной (чзюной! теории отис,ьзгльчжчн Учитывая, что дг=т дй и подставив в (40.1) выражение (39,2), получим дт= д "" тдт= ="(~) Преобразовав данное выражение с учетом того, что еде=о до, и формулы (39.1), придем к выражению дТ вЂ” д ь — ст дт (40.2) т. е, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.
Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя ть, то, проинтегрировав (40.2), получим Т=(т — ть) с', (40.3) или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид Выражение (40.4) при скоростях ы«с переходит в классическое: Т = тоо'/2 1 (разлагаи в ряд (1 — о'/с') '"=1+ — Х ыэ 3 ь4 Х вЂ” + — — +... при п«с, правомерно ст 8 с4 пренебречь членами второго порядка малости). А. Эйнштейн обобщил положение (40.2), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии материальной точки, но и для полной энергии, а именно: любое изменение массы Ат сопровождается изменением полной энергии материальной точки, ЛЕ=се Лт.
(40.5) Отсюда А. Эйнштейн пришел к универ- сальной зависимости между полной энер. гней тела Е и его массой т: 2 Е=тгх= — — — — (406) з/1 — ы /с Уравнение (40.6), равно как и (40.5), выражает фындаменгольньгй закон природы — закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отметим, что в полнук4 энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. Закон (40.6) можно, учитывая выражение (40.3), записать в виде Е=тьс +Т, откуда следует, что покоящееся тело (Т= =О) также обладает энергией Ее=то с 2 называемой энергией покоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
