Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 23
Текст из файла (страница 23)
63). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) нэотермнческого (изотерма 1 — 1'), 2) изохорного (изохора 1'--.). В соответствии с законами Бойля— Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем: Исключив нз уравнений (42.1) н (42.2) РК получим Р~ У~ РгУг Т, Т Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа 7п 2 Основы мооьтьчрпой фишки о прчаьппччььо величина рУ/Т остается постоянной, т. е.
р У/Т = В = сап М. (42.3) Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона, в котором  — газовая постоянная. различная для разных газов. Русский ученый Д. И. Менделеев (1834 †19) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, использовав малярный объем У . Согласно закону Авогьдро, при одинаковых р и Т моли всех газ<>в занимают одинаковый малярный объем У,„, поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается )г и называется малярной газовой постоянной. Уравнению рУ.=ВТ удовлетворяет лишь идеальный газ, и ано является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона — Менделеева.
Числовое значение малярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (ро=1,013 10 Па, То=273,!5 К, У„=22,41 ° 10 з м'/моль): й(=8,3! Дж/( ° К). От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона — Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлений и температуре адин моль газа занимает мслярный объем У, то при тех же условиях масса т газа займет объем У=(т/М) Уьь где М вЂ” малярная масса (масса одного моля вещества).
Единица малярной массы — килограмм на моль (кг/моль) . Уравнение Клапейрона — Менделеева для массы т газа рУ= — ВТ=тВТ, (42.5) М где ч =т/М вЂ” количество вещества. Часто пользуются несколько икай формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана! й=)7/А',= 1,38- !О™ Дж/К. Исходя нз этого уравнение состояния (42.4) запишем в виде р=ь(Т/У,„=йг/хТ/У =пйТ, где й!д/У =л .- концентрация молекул (число молекул в единице объема).
Таким образом, нз уравнения р=пйТ (42.6) следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации ега молекул (или плотности газа). Прн одинаковых температуре н давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 мо газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта *; А(ь=Ро/(йТо)=268 1Оэз м й 43. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим адноатамный идеальный газ.
Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную плошадку Л5 (рис. 64) и вычислим давление, оказываемое на эту плошадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс топ — ( — тьа)=2тьа, где то — масса молекулы, а — ее скорость.
За время Л! площадки Ь5 достигнут толька те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием Л5 и высотой пд! (рис. 64) . Число этих молекул равно пппб! (и — концентрация молекул). Необходима, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке * И. Лошмндт (!И2! — !695) — австрий ский химик н физик. 77 Г л а н а К толгкуляркокинетнчеслак георкн пнал1пых гыов илн Рнс. в4 откуда Л5 под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул прн каждом соударении меняется.
/(ля упрощенна расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется /з молекул, причем половина молекул ('/х) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную.
Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о плошадку Л5 будет '/, пЛ5пд!. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс Л/э=2 и ° '/ пЛ5пЛГ='/з 'Л5ЛЕ Тогда давление газа, оказываемое нм на стенку сосуда, р=Л/г/(Л!Л5)= '/зптэп (43 !) Если газ в объеме (7 содержит 717 молекул, движущихся со скоростями пп ом ..., пю то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (43.1) с учетом (43.2) примет внд р= /зптч (пк ) . (43.3) Выражение (43.3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по все- возможным направлениям дает ту же формулу.
Учитывая, что и=-л(/(г, получим р)г='/зато (п„)~, (434) рг'=- А! — - —" — = — Е, (43.5) 2 тч (п.,)~ 2 3 2 3 где Š—. суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа. Так как масса газа т=д/тм то уравнение [43.4) можно переписать в виде рг'= ~/зт (и..) . Для одного моля газа т=М (М вЂ” малярная масса), поэтому рк„, =- '/зМ (и„) ~, где 1'„- — молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона — й(енделеева, р(/ = Кт. Таким образом, Кт= ~/зМ (и„) т, (и„> = ~/- — -.
(43.6) Гзкт Ч М Так как М=тхд(д, где тэ — масса одной молекулы, а Кд — постоянная Авогадро, то из уравнения (43.6) следует, что 7 Зкт Г3йт (и„) = — — -= —, (43.7) тхА х те где й= К/А(х — постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода — !900 м/с. При температуре жид. кого гелия те же скорости будут соответственно 40 и !60 м/с. Ередняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа (ео) = Е/%= то (и..) /2=з/хат(43 8) (использовали формулы (43.5] и (43.7)] пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при Т=О (еч) =-О, 2 Основы молекулярной физики н термоднн.<мики т. е.
при (! К прекращаетсн поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура нвляетсн мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа и формула (43.8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры 244. Закон Максвелла дли распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения При выводе основного уравнения молекулнрно.кинетической теории молекулам задавали различные скорости.
В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из.эа хаотического лвижения молекул все направления дви. жения явлнются равнавероятными, т. е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул. По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой <и« в газе, нахолящемся в состоянии равновесии при Т= сапа!, остается постоянной и равной (п..) =т/ЗнТ/тм Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону.
Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом. При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа <Ч тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного тепловога движения прн одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля на газ не действуют. Закон Максвелла описывается некоторой функцией )(а), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить лиапаэан скоростей молекул на малые интервалы, равные бо, то на каждый интервал скорости будет приходиться нскотарое число молекул д<Ч(а), имею<цих скорость, заключенную в этом интервале.
Функция /(о) определяет относительное число молекул <(<Ч(о)/)Ч, скорости которых лежат в интервале от а до о+до, т. е. <()Ч(о)/)Ч = )< (о) ба, откуда )(о) = —, 6)Ч(о) <Чдо ' Применяя методы теории вероятно. стей, Максвелл нашел функцию )(а)— закон для распределения молекул идеального газа по скоростям: зж / л<а < х — тп <<мг! )(о)=4п — — и е ' . (44.!) ~ 2тшТ ) Из (44.
!) видно, чта конкретный внд функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и ат пара«стра состояния (от температуры Т). График функции (44.!) приведен на рнс. 66. Так как при возрастании о мно- — << <<<мг) житель е " уменьшается быстрее, чем растет множитель о', та функция ((и), начинансь от нуля, достигает максимума при о. и затем асимптотически стремится к нулю.
Кривая несимметрична относительно п,. Относительное число молекул д<Ч(и)/й<, скорости которых лежат в интервале от и до о+ба, находится как площадь более светлой полоски на рис. 66. Площадь, ограниченная кривой распределения Рнс. 65 79 1 д я я в И Маса«яудя(аана-яянетя мсяяя теория яд«вт,яыа а взяв деляется по формуле = М) (е) 6 е, (е) = 5 е) (е) 6 = о Ряс. 66 и осью абсцисс, равна единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
