Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 7
Текст из файла (страница 7)
И это — в опрелелении иэ нескольких строчек. А что взять с доказательств, где сплошь и рядом фрагменты оборванных рассулшений вставлены друг в друга, как матрешки? Сюда можно добавить многословие, испепеляющее территорию 'ьг. В результате целое не удается охватить ни с высоты птичьего полета, ни с первого этажа общежития. Получается странная вещь. При изобилии «арсенала» каждый остается один на один с задачей формирования ясного представления об изучаемом предмете. От деталей рябит. Что-то вызубрено, что — непонятно. Многие потом напрягаются до старости, но какой резон «давать концерты» на том свете? Хочется продраться сквозь гипнотическую пелену сейчас.
Конечно, единый рецепт дать трудно. Но понимание причин — у:ке полдела. По-видимому, средства надо искать за пределами математики. Повмшать психологическую устойчивость, например. Культивировать чувство уверенности. Либо переиначивать книжные схемы в свои собственные, которые при внешней неуклюжести все-таки укладываются в голову. При этом важно, чтобы доказательство стало вдруг понятно укрупненно — не «по кирпичикам», а сразу целиком.
~о> Нс столько потому, кстати, что «краткость — сестра таланта, ио мачеха юиорарл, сколько по другим причинам. Глава 3 Дифференцирование 3.1. Производная 3.1.1. Определение. Ироизводной функции у =,1(х) в точке х называется предел Используется также эквивалентное ~'(х) обозначение ф(х)/бх, и употребляется точка сверху, з(1), когда речь идет о функциях времени. Операцию взятия производной называют дифференцированием.
Когда функпия — путь, аргумент — время, производная— зто обычная скорость. Действительно, разность з(1+,гИ) — в(8), равная пути, пройденному за время Ы, и отнесенная к промежутку времени И, — дает среднюю скорость на интервале Ы. При Ы вЂ” ~ 0 получается мгновенная скорость в точке 1. На рис. 3.1 изображены два примера. Как хорошо известно, если график в®вЂ” Рис. 3.1 Глава 3.
Дифференцированно 42 ~(х) = (й~р Геометрически ясно, что ВС/АС = га ут тем точнее определяет Г(х + схх) — Г(х) тах тая чем меньше Ьх, — что в пределе и дает ~'(х) = гам. Рис. 3.2 Во многих случаях исходное определение легко приводит к вычислению производной. Например, (х ) = 1пп (х+ Гьх)' — х = !пп (2х+ гах) = 2х. ае-та Гхх ае а Тем не менее, определенная подготовительная работа освобождает от необходимости при дифференцировании искать непосредственно пределы. В частности, далее будут вычислены производные большинства элементарных функций.
Пока приведем сводку результатов '). д' = О; д'=Л*" ', д' = а*1па; т 1оКа е д = д= с, л д=х д = 1ояа х, В частности, Особая роль числа е при дифференцировании показательной функции — есть та самая причина, которая ставит е в разряд важ- Здесь и палее мы набегаем уточнениИ, ясных из контекста. прямая линия, то п(е) = д = сопят. В случае тела, брошенного вверх с начальной скоростью оо, высота меняется по закону в(1) = по1 — две/2, скорость — п(1) = в1 — Ф.
Другую полезную интерпретацию производной дает рис. 3.2, из которого видно, что производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику У(х) в точке х 3.1. Производная нейших констант. Принципиальная роль показательной функции в «устройстве мир໠— это уже другой вопрос. Из приведенных формул ясно, например, что дифференциальному уравнению у' = Йу удовлетворяет функция у = а*, где а = е~.
Аналогично, е появляется при решении любых линейных дифференциальных уравнений, которыми описывается 90%(!) прикладных задач в физике, биологии, экономике и других областях. Функцию е* называют такЛ зкспонентой. Вместо е* иногда используется обозначение ехр х. Производные тригонометрических функций: и обратных тригонометрических функций: Разумеется, производная в отдельных точках (и даже во всех) может не существовать. Это, заведомо, имеет место, когда функция у(х) не непрерывна или имеет изломы, как на рис.
3.3. В точке излома х = а производная Рис. 3.3 терпит разрыв. В этом случае говорят, что г(х) при х = а имеет односторонние производные слева и справа — пишут, соответственно, у'(а — 0) и у'(а+ 0), — которые определяются как предел обычного выражения у(х) — у(а) х — а с той лишь разницей, что в первом случае х — ~ а — 0 (х приближается к а слева, «к а минус нуль»), во втором — х — «а+ 0 — справа. Если не оговорено противное, далее предполагается, что производная существует везде в области определения у(х). Глава 3. Дифференцирование 3.1.2. Производные высших порядков. Дифференцируя ут(х), получаем вторую производную З п(х) функции ~(х).
Дифференцируя ~(х) й раз, — будем иметь й-ю производную ~РВ(х) функции з(х). гэггя обозначения второй (Й-й) производной используется также запись дгге,гдйеч — ~ — ). Когда аргумент — время, популярны точки сверхугг, Нх дх й яя Функция Г'(х) обычно предполагается столько раз дифференцируемой, сколько требуется по контексту. Первичные понятия, как правило, пробегаютсл вскользь. Мазохистов понять мохсно — не зная дробей, учить алгебру — большое удовольствие. Но у остальных такая хсе чертовщина получается сама собой.
Там, где речь идет о понятиях, разговор обычно короткий, глубин с ходу не видно — поэпюму внимание переносится на результаты, где что-то происходит . Вычисление какою-нибудь предела, например. В результате первичные понятия остаются эа бортом. 3.2. Правила дифференцирования Добавление к формулам дифференцирования элементарных функций нескольких простых правил позволяет легко вычислять производные в большинстве практических ситуаций. Такие правила можно сосчитать на пальцах одной руки. Скажем, если ~(х) умножается на константу с, т.
е. у = с ~(х), то у' = с~'(х), что очевидно, су'(х+ Ьх) — с~(х) д'(х+ Ьх) — ~(х) — с -ь су (х). Ьх Ьх Далее Правило «производная суммы равна сумме производных» устанавливается элементарно. Формула дифференцирования произведения доказывается так зг: И+Ю(у+М-1у „. (~~ аргу М Ьхтй Ьх а*-ьй 'ь, Ьх Ьх Ьх т) Если й — скорость, то й — скорость изменения скорости, т.е. ускорение. ~ Здесь гь/ = де+ сьхг — ях). 3.2. Правила дифференцирования 45 что и дает указанную выше формулу, поскольку гЗУ г А9 г г.'ьУ вЂ” — — — з д', — Ьд -+ ~'Ьд -+ О. гдх г3х г3 х Чаще других, пожалуй, используется правило дифференцирования сложной функции 4) Здесь 1 дифференцируется «сразу по всему своему аргументу, т.е.
по у(х)» Поясним на примерах. Пусть у = з!и Зх. Будем считать 1( ) = з!и ( ), у(х) = Зх. Диффференцирование синуса (по Зх) дает соэ Зх, (Зх)' = 3, поэтому (в1п Зх)' = 3 соз Зх. 1 Другой пример, У = —. Поскольку ( -1! = — ~ — ), то У' = — — у'(х). у(х) 1 а ) (,хэ ) уэ(х) Доказательство правила дифференцирования сложной функции получается в одну строчку: '= йгп — =1'у' а*-»о г3у гхх Понятно, что цепное правило дифференцирования сложной функции можно индуктивно продолжить у=1(у(й(х))) ~ у =1 у" и так далее. Формула дифференцирования частного доказывается легко с помощью предыдущих правил. Частное можно считать произведением 1 и 1/д и вычислять производную (1/д)г как призводную сложной функции (см.
выше). Наконец, производная обратной функции. Если для у =,1(х) определена обратная функция х = 1 '(у), то П 4) !Еще говорят, комкоэкякк функций. Глава 3. Диффвренцирование 46 что легко получается предельным переходом в очевидном равенстве дх 1 Я (~у/~ )' Но надо иметь в виду, что человек мыслит в «обратном направлении» всегда хуже. Поэтому использование правила х'„= 1/у,' часто вызывает затруднения. Осваивать такие веши лучше всего на примерах. Определим производную арксинуса, исходя из формулы для производной синуса.
Пусть у = яп х, х = ахеяну. Тогда 1 1 1 1 уе соа х Д вЂ” 5(п~ х,/Ъ вЂ” уг что дает необходимый результат. При желании буквы х, у теперь можно поменять местами. 3.3. Зачем нужны производные В плоскости такого вопроса сам собой почему-то возникает разговор о максимумах, выпуклости, асимптотике и вообще изучении поведения функций, — где производные, конечно, играют большую роль. Следуюгций' виток — численные методы. Оптимизация, решение уравнений, неравенств, — почти везде используется дифференцирование.
При этом есть, что показать. Даже на самом элементарном уровне. Скажем, итерационный метод Ньютона у(х„) хяь! =х„— решающий уравнение 2(х) = О, в случае у(х) = х2 — 2 вычисляет х/2, давая последовательные приближения ~) 1 1 хя+! — хя + 2" хя Казалось бы, ничего особенного, однако дюжина итераций, начиная, допустим, с хо = 1, дает тысячу(!) верных знаков после запятой.
Но все это не главное. Главное в другом. Мир, оказывается, стоит не на трех китах, а на дифференциальном исчислении. ~) Здесь 2'(х) = (х~ — 2)' = 2х. 3.4. Вывод формул 47 Пусть Т обозначает температуру тела, находящегося в среде с температурой ТО. Как будет проходить процесс нагревания или охлаждения? Жизненный опыта) подталкивает к «локальной» гипотезе: скорость Т изменения Т пропорциональна разности температур ТΠ— Т, т. е. т = ~(ТО - т), где г > Π— коэффициент пропорциональности. Это простейший вариант дифференциального уравнения (содержащего производные). На подобного сорта уравнениях базируется вся физика и другие прикладные науки.
Как, скажем, движутся механические тела? Один раз такую задачу удалось решить Кеплеру (планеты — по эллипсам), но это ничего не дало для решения других задач. Дифференциальный закон Ньютона (масса на ускорение равна силе), обеспечил путь к решению любых механических задач. Уравнения электродинамики, диффузии, распространения волн и эпидемий, гидро- и аэродинамики, квантовой механики— дифференциальные. 3.4. Вывод формул 3.4.1. Производная степенной функции. В случае х" при целом положительном и 4юрмула бинома Ньютона дает (х+ сзх)" — х" = пх" 'Скх+ о(стх), откуда лепсо вытекает (х")' = пх" '.
В обшем случае степенной функции у = х" с произвольным Л ~ О возни чуть больше. Сначала установим вспомогательный факт (1-ь С)" -1 -+Л при С-+О. Вводя новую переменную а = (1+ С)" — 1 (очевидно, а -+ О при С -э О) и логарифмируя равенство (1+ С)" = 1+ а, имеем Лсп(1+С) =!и(1+а), откуда (1 + С)т — 1 8 8 1и (1 + С) С С 1п (1 + а) С вЂ” — Л А потом и эксперимент, Глава 3. Дифференцирование в силу того, что (при 1 -о 0) !и (1+1) = 1и (1+ 1) 'Л -+ !п е = 1. Теперь легко получаем нужный результат (х+ Дх)" — х", (1+ Дх/х)" — 1 у = !ип = 1ип ае-ю Дх ае ш Дх/х 3.4.2. Производная показательной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
