Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Свойства логарифма — это свойства показательной функции, выраженные на другом языке. Например, «логарифм произведения равен сумме логарифмов», есть не что иное как ада» = аз+», а 103 Ь = с10 — эквивалент (аг)» = аг». Поскольку зубную пасту вернуть в тюбик не так просто, эти элементарные правила, без привычки, даются не сразу. Логарифмируя тождество а""' = Ь по основанию с„получаем 1ой, Ь !ой, а = 1ой, Ь, откуда 1ой, Ь юй,ь= — ', !ой, а' что называют 4ормулой переходи к другсму основанию.

Наиболее широкое распространение имеют десятичные логарифмы и натуральные (по основанию е = 2, 7!...), для которых используются специфические обозначения; 1.6. Множества Принадлежность элемента а множеству А обозначается как а Е А; запись а К А говорит сама за себя: а не принадлежит А. Факт включения: «А является подмножеством множества В» записывается как А С В. Для обозначения нусюого множества (не содержащего элементов), употребляется символ й!.

Суммой или обьгдинением С = А 0 В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В. Пересечением С = А П В называют множество, состоящее из элементов, принадлежащих как А, так и В. На рис. 1.5 изображены геометрические примеры. С««А»зВ А Рис.

1.6 18 Глава 1. Предварительные сведения Для множеств широко используются также операции вычитания и дополнения: ° С = Ат — разность . А минус В» — множество элементов А, не принадлежащих В. ° А' = ЯтА — донолнение множества А, определяемое как множество элементов некоторого основного множества Я, не принадлежаших А. В анализе чаще всего приходится иметь дело с простейшими множествами на числовой прямой.

1.6.1. Определенме. множество элементов х, удовлетворяющих неравен- савам а ( х ( Ь, называют отрезком или сегментом и обозначают (а,Ь1 Если неравенства строгие, а < х < Ь, то такое мнозкество называют интервалом и обозначают (а, Ь). Слово нромезкуток» используют для обозначения и отрезка, и интервала, когда из контекста ясно, о чем речь, либо — не ваэкно, о чем речь. 1.6.2. Определение. Множество точек х, удовлетворяющих неравенству ~х — а~ < е, называется е-окресигнастью точки о и обозначаетсн (иногда) г»(о). Разумеется, г»(а) — это обыкновенный интервал (а — е, о+ е). Множество Х считается открьниьгм, если каждая его точка х б Х внутренюш, т.

е, входит в Х вместе с некоторой своей окрестностью. Любой интервал— открыт. Множество Х замкиуню, если оно содержит все свои щмдельные тотт, каковыми считаются точки, в любой окрестности которых есть элементы Х. Отрезок — всегда замкнут. ЧАСТЬ ~ АНАЛИЗ Час, затраченный на наннмание, экономит гад лгизнн. Разговор о двух учебниках для одного предмета имеет смысл уточнить. Многое зависит от «психологического типа потребителя».

Для кого-то предлагаемый текст может быть предпочтителен дюкс в качестве стартового пособия. Изложение анализа здесь в принципе самодостаточно, но концентрация содерхгания несколько высоковата. Кому-то на первых порах больше подходит толстый учебник. Даже если там переливается из пустого в порожнее. Созревание ведь имеет свой ритм.

Чтение создает фон, Ошибки, и те не играют особой роли. Доказательства осознаются частично, поэтому «чуть левее, чуть правее» вЂ” результат один, слышится приблизительный звон. Если голова здоровая, фальшивые ноты потом заглохнут. Но так или иначе, всегда наступает момент, когда иэ читанного, слышанного, перепутанного — начинает что-то проглядывать. Тут уже пухлые тома своей избыточностью и медлительностью только мешают.

Для прорыва нужно краткое и ясное изложение общей картины. Мотивация, акценты, что зачем. Ни в коем случае речь не идет о том, что именно так надо преподавать математику. Маятник идет то в одну сторону, то — в другую. Идет влево — хороши детали и топтание на месте. Думы о глобальном не должны мешать разглядыванию отдельных травинок.

Пошел маятник вправо — бурелом подробностей не дает видеть целое. Короче говоря, при изучении анализа хорошо иметь под рукой две книги, толстую и тонкую. Порядок их использования зависит от индивидуальных особенностей и внешних факторов и. и Важна, например, космическая ситуация. Скажем, в одиночной камере предпочтителен трехтомник Фихтенгольца. Времени — прорва, спросить, что ие ясно, ие у кого. В варианте «завтра экзамен, а голове — чистый лист» — хороши Дэйв Карнеги и димедрол. Глава 2 Последовательности и пределы Предельный переход — главный инструмент анализа.

За обсуждением второстепенных деталей этот факт иногда теряется. Задачи о пределах числовых последовательностей оттягивают на себя внимание, и как-то упускается из вида, что асс основные понятия анализа получаются предельным переходом. Производные, интегралы, площади, объемы, функциональные ряды — это все пределы. 2.1. Стартовые понятия Формализация интуитивно ясных понятий обычно воспринимается как неприятность, ибо порождает головоломки.

Но виновата не формализация. Впечатление ясности обманчиво. Достаточно взять любое явление и начать всматриваться. Далее отражена процедура «умеренного всматривания» в числовые последовательности а„типа 1 1 1,2,...,п,... или 1,—,...,—, 2.1.1. Определение. Числовая последовательность а„при и — ~ оо сходится к пределу а (пишут ап -з а, либо 1пп а„= а), если по и-хес любому б > 0 можно указать такое 2хГ, что ~а„— а~ < б для всех и > 1Ч. Легендарная «заумностьь этого определения (наравне с е, б-определением непрерывности, см. далее) широко известна. С виду формулировка очень проста, но у многих не укладывается в голове. Словно попадает в зону какого-то слепого пятна.

Причем, если не укладывается», то математикой, говорят, лучше не заниматься. Как бы лакмусовая бумажка... Но это не так. Опыт показывает, что разным людям просто требуется розное время но освоение. Речь, понятное дело, идет не о том, чтобы выучить несколько строчек наизусть. Стремление а„к а можно себе представлять, как приближение изображающей точки а„к точке а с увеличением «дискретного времени» и.

Рис. 2Л 21 2.1. Стартовые понятия ю+е ю — е Рнс. 2.1. с-коридор дает пример графика поведения ю„в случае непрерывного и. Сценарий дискретного и получается фиксацией на кривой отдельных точек, соответствующих п=1,2,.... Размышления на тему формализации процесса ю„— з ю рано или поздно приводят к вопросу «что недопустимо?» и естественному ответу: «ю„нельзя разрешать выпрыгивать из какого-нибудь е-коридора (ю — с, ю+ е) сколько угодно раз».

Другими словами, какой е-коридор ни взять — ю„обязана с некоторого момента в нем оставаться. Но это и есть определение 2.1.1. 2.1.2. Если ая — у а, Ья -ь Ь, то О а„+Ья — з а+Ь, Тая — ь уа, аяЬя — у аЬ а„а и — — ь — при условии Ь„, Ь | О. Перечисленные факты очевидны. Из ю„-з ю, Ь„-ь 6 следует, согласно определению 2.1.1, что при достаточно больших и величины ю„, Ь„мало отличаются от ю, Ь. Скажем, на миллионные доли. Тогда на те же миллионные доли сумма ю„+ Ь„отличается от ю+ Ь, что в конечном итоге лает ю„+ 6« — ь ю + Ь. Это, собственно, и есть доказательство, если иметь в виду закулисный способ мышления.

Остальные факты «устанавливаются» так же. Формалист, конечно, затеет тюкбу. Например, если ю„и Ь„от своих пределов отличаются на одну миллионную, их сумма может отличаться от суммы пределов на — дае. И вообще, мол, нечего использовать бытовой язык. Тогда, чтобы не утонуть в дебатах, проще «лечь в дрейф», Пусть задано любое е и все ю„, Ь„принадлежат (е/2)-окрестности своего предела, соответственно, для и > ?у„п > ?у,. В этом случае все ю„+ Ь„будут находиться в е-окрестности точки ю+ ь для и > шах(1зго 2«з). Если формалист еще и зануда, то придирки на этом могут не закончиться. А почему-де сумма находится в е-окрестности, если каждое слагаемое— в (ег'2)-окрестности? тут уже, как говорится, проще переспать, чем объяснять, и 1 Здесь и далее «я -«со» подразумевается. 22 Глава 2.

Последовательности и пределы что не хочется: )(о„+ ь„) — (а+ ь) ~ ( ~о„— о~ + ~ь„— ь! ( — + — = е. При этом длина пустякового доказательства начинает зашкаливать, а суть тонет в мелочевке. Таких доказательств в учебниках довольно много. Дело, конечно, не только в формалистах. Автору учебника хочется объяснить так, чтобы «и тете Клаве было понятно», Но «разжевывание» часто дает противоположный результат.

2.1.3. Определение. Числовая последовательность, имеющая нуле- вой предел, а„-+ О, называется бесконечно малой величиной. «Бесконечно малые величины» предстовляют собой большую неприятность. Что-либо менять улке поздно, но терминология крайне неудачна. С «величиной» ассоциируется нечто фиксированное, тогда кок носледовотельность о„— это функция дискретного оргументо. Роди экономии в ноэвонии «неременноя вели«оно» когдо-то опусти«и первое слово. В результате студент теперь имеет дело с «хлопком одной ладони . 2.1.4. Определение. Последовательность а„при и — ь оо расходится (пишут ап — э со), если па любому М > О можно указать такое 11Г, что )ая( > М для всех и > 1)т.

Характеристики

Список файлов книги