Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если под и = у(х), е = д(х) подразумевать параметрическое задание функции и(а), то в силу (см. равд. 3.5) и'(В) = У'(О/д'(О, где В = д(О, теорема Коши утверждает и(Д) — с(а) Д вЂ” а где о = д(а), Д = д(Ь). Из теоремы Коши вытекает результат, который потребуется в слелуюшем разделе. 3.6.6. Лемма.
Пусть функции у (х) и д(х) дифференцируемы п+ 1 раз в некоторой окрестности точки а, и обращаются в этой точке в нуль вместе' со своими гз производными, причем для х Ф а из этой окрестности д(х) ~ О, д'(х) -,й О, ..., д("~~)(х) ф О. Тогда существует точка г б (а, Ц, в которой е( ) е(и-ь!)(~) д(х) д(и ь()(~) Глава 3. Дифференцирование 54 Если У(о) = у(а) = О, то теорема Коши в применении к промежутку [в, х[ (или [х, о[, если х ( о) гарантирует существование такого б б [о, х], что 1(х) У'(» у(х) у'(() Применим теперь этот факт к /'(()/р'(С), и так — и раз.
Упрюкнение Если У(х) дифференпируема на [о, Ь[, то ~'(х) принимает все промежуточные значения между ) (о) и Т'(б) (теорема ЛарЬ). 3.7. Формула Тэйлора Кульминационным моментом дифференциального исчисления обычно представляется следующий факт. 3.7.1. Формула Тэйлора. Пусть функция Т"(х) уз+ 1 раз дифференцируемо в некоторой окрестности точки а. Тогда для х, достаточно близких к а, справедлива формула Т'(а) Т(я) (а) Т'(х) = Т'(а) + (х — а) +...
+ (х — а)" + о((х — а)"). тз! Легко видеть что аппроксимирующий полипом Т'(о) Ты1(о) Р„(х) = у(о) + †(х — о) + ... + (х — о)" и! имеет в а те же производные (до и-й включительно), что и Т(х), — поэтому функпии р(х) = /(х) — Р„(х), гу(х) = (х — а)в Ы удовлетворяют условиям леммы З.б.5, применение которой дает х(х) р!"ь'!(С) гг(х) р<" "п(с) Очевидно, рон-п(ь) Т1в ы1(ь) грм+ ~(с) = (и+ !)!. Поэтому Т(*) — .(*) Ты+и(» (х — а) "ь' (и + 1)! 3.7. Формула Тэйлора 55 что и требуется, поскольку Тгя ы)(О (и+ !)! (х — о)"+ = о((х — а)"). > Если функция Т(х) бесконечное число раз дифференцируема, скажем, в нуле, то велик соблазн представить ее в виде бесконечного ряда Тэйлора ~(х) = ~(0)+ х+...
+ х" +.... (3.2) П и! Вопрос в том, имеет ли смысл равенство (3.2). Многочисленные оценки малости «хвоста» ряда Тэйлора (остаточного члена) у(х) — Р„(х) ничего не дают. Качество приближения 2(х) полиномом Р„(х) улучшается с ростом и, но окрестность, где это происходит, может уменьшаться до нуля. Поэтому для знака равенства в (3.2), вообще говоря, нет оснований.
Ряд Тэйлора может расходиться или сходиться к другой функции. и 2 например, для функции /(х) = е и*, доопределенной в нуле по непрерывности ( У(0) = О), все производные 31"!(О) = О. Поэтому ее ряд Тэйлора (3.2) сходится к другой функции, тождественно равной нулю. Тем не менее для многих функций представление (3.2) сцравелливо, причем не в малой окрестности, а на довольно широких областях и даже на всей числовой прямой. Например, представления х' х4 сов х = ! — — + —— 2! 41 справедливы при любом х б ( — со, +со). Именно глядя на эти ряды, как гласит легенда, Эйлер открыл свою знаменитую формулу (:"':=:::::Л е = сов р + !51 п р.
Так или иначе, но в теории функций комплексного переменного (см. гл. 1О) устанавливается, что ряды Тэйлора, с которыми приходится иметь дело на практике, сходятся в обширных областях. Поэтому аскетическое сужение уровня притязаний классического анализа оказывается «бесконечно большой перестра- ховкойФ. х х 2 е*= 1+ — + — + 1! 2! хз Нпх=х — — +...+ 31 Хв ..+ — +..., и! х'"+' (-1)" +", (2и+ !)! „х'" ... + (-1)" — +... (2п)! Глава 3. Дифференцирование Вот еше несколько рядов — + ° . 7 х' — + ° ° 5 хз хз х — — +— 3 5 х' х' х — — +— 2 3 атагах = 1п(1+ х) = (!х! < 1), — = 1+ х+ х + х +..., (!х! < 1), 1 1 — х а а(а — 1) (1+х)'=1+ — х+ х'+..., ()х)< 1).
1! 2! 3.7.2. Теорема Вейерштрасса. Для нгпр равной на (о,о] фхнкиии 7(х) и любого г > О всегда молсно указать такой полинам Р„(х), что !7(х) — Рь(х)! < г для любого х Е (и, Ь). Это знаменитый результат, но уже из другой области и лля других целей. Равномерную аппроксимацию 7'(х) на [О, 1) (при и — ь оо) обеспечивают, например, полиномы Бернштейна: 3.8.
Монотонность, выпуклость, экстремумы При изучении поведения функции дифференцирование работает весьма эффективно. Основу составляют несколько простых соображений, которые позволяют решать сложные задачи. В этом, кстати, нет противоречия. Элементарные причины могут порождать весьма замысловатые последствия. Даже такой простой факт, как 3.8.1.
~'(х) = 0 =ь,у(х) = сопл!, может приносить плоды. Дело в том, что банальности в жизни тщательно замаскированы. Например, для какого-нибудь сложно доказуемого тождества у(х) = д(х) проверка 2г(х) = д'(х) может оказаться совсем легкой. Тогда остается убедиться лишь в равенстве у(0) = д(0) — и задача решена. Ради справедливости все же надо подчеркнуть, что тзйлоровская тематика ориентирована на изучение особенностей поведения функции в точке, — и там ограничение поля зрения малыми окрестностями как раз естественно. Если бы главная задача состояла в аппроксимации (приближении) функций на больших промежутках, то можно было бы вообще заходить с другого конца.
3.8. Монотонность, выпуклость, экстремумы 57 Докажите тождества агсз1п х Ч- агссоз х = —, 1оа, х = (1+ !оа, Ь) !оа,ь х. (М) 2 3.8.3. Функция 2 (х) монотонно растет, если 2 г(х) > О, и убывает— если 2'г(х) < О. Тоже совсем прозрачный результат. Скорость изменения положительна — функция растет, отрицательна — убывает. Строго положительна — строго растет и т.
д. Характер роста 2(х) играет важную роль во многих задачах. В случае уг(а) = О, например, полезно выяснить поведение производной уг(х) в окрестности точки а. 3.8.3. Если 2"(а) = 0 и слева ат а производная положительна, справа — отрицательна, то у 2(х) в а — максимум. Наоборот— минимум. Производная сохраняет знак — точка перегиба, как у х з в нуле. Решение десятка-другого примеров здесь перевешивает любые пояснения. 3.8.4. Если 2(0) > 0 и 2'(х) > 0 для х > О, то 2(х) > 0 при любом х > О.
На уровне обшей схемы факт вроде бы не стоит упоминания. На пракгике— хорошо работает. Докажем, например, неравенство з з!Пх ~ )х — —. 6 Дифференцируя, получаем соз х> 1-х'/2, что не вполне ясно. Но тот же рецепт можно применить еще раз. Новое дифференцирование дает — Ип х > -х, т, е. х > з!и х. Кому известно такое неравенство, на этом заканчивает. Кому — не известно, может снова повторить процедуру, получая ! > соз х, чему полагается быть известным.
Теперь движение в обратном порядке (разумеется, с проверкой на каждом шаге соответствуюшего неравенства в нуле) решает исходную задачу. Докажите неравенство сга2х — с!ах+! < О при О < х < я. (М) Еще одна полезная категория мышления — выпуклость. Функцию называют выпуклой, когда ее график выглядит, как на рис. 3.5 а, и вогнутой — в случае, изображенном на рис. 3.5 б.
58 Глава 3. Дифференцирование Рис. 3.5 3.8.5. Выпуклая функция с увеличением х растет все быстрее, т. е. скорость у'(х) возрастает (ускорение уо(х) лолозкительно). Вогнутая функция, наоборот, с увеличением х растет медленнее. Из рис. 3.5 геометрически ясно, что вертикальный луч, идущий вверх из любой точки с Е '(а, Ь], пересекает сначала график Г(х), потом отрезок АВ, что можно записать как Г'(ра + ((Ь) < р( (а) + д~(Ь) при любых неотрицательных р и д, удовлетворяющих условию р+д = 1.
Это называют неравенством Иенсена и обычно принимают за определение выпуклой функции, а монотонность производной уже выводят как следствие. Вообще говоря, такую выпуклость часто путают с вогнугостью, потому что мало кому интересно знать, откуда на графики смотрел Иенсен, снизу или сверху. Поэтому, во избежание недоразумений, многие предпочитают говорить о выпуклости снизу или о выпуклости сверху. В любом случае каждый понимает, о чем речь, но поручиться за Иенсена не всегда может.
Исходное определение понятия выпуклости таково. 3.8.5. Определение. Геометрическая фигура (тело) вылукла, если вместе с любыми двумя точками содерлгит отрезок их соединяющий. Функцию обычно считают выпуклой, если она имеет выпуклый надграфик, представляющий собой множество точек (х, у), удовлетворяющих неравенству у > /(х).
Достаточно очевидна и возможная роль второй производной уо(х) (ускорения). Как уже отмечалось, ун(х) ) О влечет за собой выпуклость ((х) на соответствующем участке, Гн(х) < О— 3.9. Дифференциальные уравнения 59 3.8.7. Если ~'(а) = 0 и 2Я(а) > 0 (Гл(а) < 0), то у(х) в точке а имеет локальный минимум (максимум). Пример Точильное колесо радиуса й, погрулсенное нижней половиной в воду, врагдается с угловой скоростью и.
На какую максимальную высоту забрасываются брызги? < Фиксируем на ободе коле- са некоторую точку А (рис. 3.7). Ее координата у меняется по закону у = Аз!п~А ~ у = йшсозыг. Брызги, срывающиеся с колеса в точке А, взлетают на высоту „з Лг г и = у+ — = кяп р+ — от~ р, 28 2л где у=ай В точке максимума производная а по р должна быть равна нулю, йй дз 2 — = 22 совр — — 2 соя ряпр = О, г))а 2д откуда либо соз р = О, либо яп р = Л/(Ды'). Рмс. 3.
г 3.9. Дифференциальные уравнения Многие прикладные задачи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами вида ах+,ух+ ух = О. (3.3) вогнутость. Таким образом, точки, в которых ул(х) обращается в нуль и меняет знак, определяют смену выпуклости на вогнутость (либо наоборот) и классифицируются как точки перегиба. Рис. 3.6 демонстрирует более общий случай, чем хз.
Поскольку в окрестности локального минимума функция выпукла, максимума — вогнута, то знак второй производной при условии ул(х) ф 0 однозначно оп- Рмс. 3.6 ределяет ситуацию. 60 Глава 3. Дифференцирование Легко убедиться, что если хс(8) и хт(8) — решения (3.3), то Ссхс(8) + Стхз(8) — тоже решение. При подстановке в (3.3) х = с~с, в силу х = Ле лс х Лт лс получается (после сокращения на е"с) квадратное уравнение пл'+)3л+7 = 0 (3.4) относительно Л. Поэтому, если (3.4) имеет действительные корни Лс, Лз, то х($) = Ссе~'~+ Сте~н (3.5) будет решением (3.3) при любых константах Сс, Ст, значения которых могут быть определены то ли из начальных условий х(0) = хо, х(0) = ео, то ли из граничных условий типа х(0) = хо, х(1) = хс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
