Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если подпоследовательность аеч сходится, то ее предел называют предеяьнаи тачкой (ияи точкой сгущения) последовательности а„. Наибольшее (наименьшее) значение а* (конечное или бесконечное), для которого можно указать подпоследовательность аеч -ь а', называют верхним (низкним) пределам а„и обозначают, соответственно 1цп а„или ! цп а„.
виражи ение Найти последовательности, для которых 1цп а„ + 1пп Ь„ ( 1пп(а„ + Ь„). Идеологически с леммой 2.5.2 связан следующий принципиальный результат. 2.5.3. ЛЕмма ГейнŠ— БОреля. ХХз любого покрытия и отрезка [а, Ь[ интервалами мазкна выбрать конечное иадпакрмтие ~1. Лопустим противное. Разделим [а,Ь[ пополам и выберем ту половину, которая не покрмвается конечным числом интервалов.
Эту половину снова разделим пополам — и так далее. В результате получим цепочку вложенных отрезков (2.3), длины которых стремятся к нулю, но каждый сегмент 1» не покрывается конечным множеством интервалов из и. В силу леммы 2.3.4 все 1» имеют общую точку с. Точка с принадлежит некоторому интервалу Х' Е п, который, начиная с какого-то номера содер:кит все последующие 1», что порождает противоречие. Лемма Гейне — Бореля хорошо работает в тех ситуациях, где эффективна лемма 2.5.2. Оба результата, попеременно, довольно часто используются в анализе, см.
например, доказательства теорем 2.7.4, 2.7.6, опирающиеся на лемму 2.5.2. В качестве упражнения соответствующие доказательства полезно провести на основе леммы 2.5.3. 4] Утверждение остается спраееяливмм, если вместо интервалов рассматриваются любые открытые множества. ЗО Глава 2. Последовательности и пределы 2.5.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мналсгства Х называетсн тмтактным, если из любого гго накрытия открытыми мназкгствами мазкна выбрать конечное падвакрытиг. Лемма Гейне — Бореля, таким образом, устанавливает компактность любого отрезка [а, Ь[. Вообще говоря, на прямой все это большого смысла не имеет— компактность Х означает ограниченность и замкнутость.
Ни больше, ни меньше. Достигается, вроде бы, лишь экономия слов. Однако в функциональных пространствах понятие компактности выдвигается на передний фронт и работает весьма эффективно. Здесь заслуживает внимания характерная деталь. Эквивалентные на прямой свойства (в данном случае это существование конечного подпокрытия, с одной стороны, и ограниченность плюс замкнутость — с другой) в иной ситуации могут сильно отличаться друг от друга. Такого сорта явления типичны при переходе от вещественной прямой к функциональным пространствам. Именно поэтому большую ценность представляет поиск эквивалентных свойств, которые при переносе в более общие условия рождают продуктивные понятия. 2.6. Предел функции Далее рассматриваются функции у(х), принимающие действительные числовые значения и зависящие от действительного аргумента х.
2.6.1. Определение. Число А называется пределом г)зункции 2(х) при х стремящемся к а (пишут у(х) — з А при х + а, либо [йп у(х) = А), если по любому б > О можно указать такое б, е-за что Щх) — А[ < е при условии [х — а[ < б.
В случае бесконечного а, т.е. х — г оо, конец определения таков: если по любому е > О можно указать такое М > О, что [~(х) — А[ < е для любого х > М. В связи с переходом от дискретного аргумента и к непрерывному х ситуация, конечно, меняется. Главным образом зто связано с возможностью стремления х к конечному пределу, что в случае дискретного аргумента — бессмысленно. Законно и «более человеческое* определение: Число А называгтсл пределом функции г(х) нри я стремящемся к а, если тачка Г'(к) нриблизкагтся к А, когда тачка я нрибгимгагтсл зг а.
Определение 2.6А представляет собой лишь 2.6. Предел функции 31 более конкретную переформулировку. Уточнение расплывчатого термина «стремится» неизбежно приводит к варианту типа 2.6.1. Недостатки «человечности» выявляются, когда дело доходит до решения задач. Тогда вдруг выясняется, что формалистика дает в руки удобный инструмент. 2.6.2.
Эквивалентное 2.6.1 определение. Число А называется пределом функции б(х) при х -ь и, если для любой последовательности хп — ь а Т(хв) -ь А. Доказательство эквивалентности — легкое упражнение. Импликадия «2.6,1» ~ «2,6,2» очевидна (сводится к протокольной сверке определений, включая 2.1.1). Обратное следование — «2,6.2» м» «2.6.1» — элементарно доказывается от противного.
Но здесь дело иногда упирается в «момент истины», касающийся владения е, б-языком. При владении инструментом все очень просто. Что означает невыполнение «2.6.1»? При некотором е не найдется нужного б. Другими словами, для любой последовательности б„-г О существуют такие х„, что (У(х„) — А! > е, )х„— а( < б„, но это противоречит «2,6 2», > Определение 2.б.2 весьма полезно на практике.
Например, если существование предела установлено, то для его нахождения достаточно определить предел Т(х) для какой-нибудь одной подпоследовательности х„. Упрюкиение При х -г со 1пх а* / 11* — -г О, — — г оо, ~1+ -) -> е. х х Х х) 2.6.3. Если Т(х) -ь А, д(х) ь В при х -+ а (или х -+ оо), то Т(х)+д(х) -+ А+ В, "~~(х) — ь ТА, б(х)д(х) — г АВ и б (х)/д(х) — ~ А(В при условии д(х), В ~ О. Справедливы и другие аналоги утверждений о пределах числовых последовательностей. Теорема о трех собачках, например.
Факт существования предела в случае ограниченности и монотонности б'(х) тоже имеет место, но его формулировку приходится 32 Глава 2. Последовательности и пределы уточнять~) из-за новых обстоятельств. Однако в целом никаких особых трудностей здесь не возникает. Понятно, что в итоге различных понятий предела оказывается довольно много. Если их, не дай бог, воспринимать как разные понятия и укладывать в голове независимо друг от друга — никакого места не хватит. Есть всего одно понятие предела.
Одна идея, С одна схема. Осгпальное — вариации. И эти вариации, желательно, чтобы сами выскакивали из головы по мере надобности. Если «не выскакивают» — лучше еще повозиться с общей идеей. А заглядывать в книжку Рнс. 2.2 даже вредно. Общая схема ясна из предылущего. Что-то от чего-то зависит, «зф от икс», и приближение х к о влечет за собой приближение т к А, х -) и ~ г(х) -« А. Вариации определяются приролой переменных: а, А могут быть в том числе бесконечностями; х, т — дискретными или непрерывнмми величинами ).
6) 2.6.4. Важный пример. Легко видеть (рис. 2.2), что «лощадь НОАС < площадь сектора ОАС < «лощадь ГРОВС, 2 . 1 2 1 2 — Я в!пх < -Я х < -В (ях, 2 2 2 откуда япх сгжх « — 1, х что по теореме о трех собачках дает ) Необходимо ввести понятия «рве«лов слева и с«рввв (когда х приблюкается к о слева или справа). ) В принципе, зто могут быль векторы, функции и т.и.
В зависимости от природы переменных тогда оговариваются меры близости (расстояиия) )х — е), )з — А). 33 2.7. Непрерывность 2.6.6. Функция ( (х) в случае 7 (х) -+ О называется бесконечно малой, в случае [7(х)[ -+ оо — бесконечно большой. Иногда даже функцию называют бесконечно малой величиной, — и с этим проще смириться, чем спорить. 2.6.6. В случае 7'(х) у О, д(х) -+ О и 7(х)/д(х) — » О говорят, что 7 имеет более высокий порядок малости по сравнению с д, и пишут читая «7 есть о малое от д». Например, хс = о(х) при х — » О, (х — 5)4)з = о(х — 5) при х — » 5.
2.7. Непрерывность 2.7.1. Определение. Функция г(х) называется непрерывной в точке хо, если У"(х) -+ 7" (хз) пРи х -» хо. Функцию, непрерывную в любой точке ]а, О], называют непрерывной на [а, Б]. Рис. 2.3. Разрыв Это «прямое» определение соответствует интуитивному представлению о непрерывности, исключая ситуации типа изображенной на рис.
2.3. Для решения задач необходимо что-то более конструктивное. 2.7.2. Эквивалентное 2.7.1 определение. Функция 7(х) называется непрерывной в точке хз, если по любому е > О можно указать такое б, что [~(х) У(хо)[ < е, если [х — ха[ < б. 2.7.3. Определение. Функция 7(х) называется винтик«вой на [а,6[, если существует такая константа Ь, что [У(х) — У(иП < 4х — и[ (2.4) дяя любых х, у Е [а, 6[. Глава 2.
Последовательности и пределы 34 Липшицевы функции, очевидно, непрерывны. Для [т(х) — т(р)] < е лостаточно потребовать [х — р[ < е/Б. В то же время большинство функций на практике липшицевы, поэтому установление их непрерывности проще всего осуществляется проверкой неравенства (2.4). Например, х+р, х — р[ ], х — р~ [з!и х — яп р[ = 2 ~соа — яп — ~ < 2 1з!и — < [х — р].
2 2 ~ ~ 2 2.7.4. Теорема Вейерцзтраооа. Непрерывная на [и, Ь] функция ограничена снизу и сверху. Неограниченность 2(х), например, сверху — означает, что для любой последовательности М„-г со можно указать такую последовательность сн Е [а, Ь], что т(с„) > м„, лемма 2.5.2 гарантирует существование у с„сходящейся подпоследовательности. Чтобы не усложнять обозначений, можно считать сходящейся саму последовательность сн -ь с. Тогда, в силу непрерывности, т (с„) — ь т(с), что вступает в противоречие с т(с„) > М„-» оо. 1.
Найти (придумать) определения: ненрерывностн слева и справа (функции в точке); разрывов слева и справа; бесконечного предела функции, т(х) -+ оо. 2. Если функция 2(х) непрерывна на отрезке [а, 6], и т(а) = А, т(6) = В, то для любого С, лежащего между А и В, можно указать точку с б [а, Ь], в которой т'(с) = С (теорема Бвльяано — Коши). ! Подсказка: сначала полезно убедиться (бесконечным последовательным делением [а, 6] пополам) в существовании такого с б [а, Ь], что Г(с) = О, если А и В имеют разные знаки. а* — 1 3. !пп = 1п а (а > О). * о х 4. 1нп =Л (Л>0). (1+ х)» — 1 е-щ х 5. 1пп(!+ — ) =е*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
