Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Поэтому в,!вг!... в»! перестановок из в! — неотличимы друг от друга, что приводит к указанной формуле. Рассмотрим, наконец, еше одну типичную ситуацию. Имеется й типов предметов, число образцов каждого типа — бесконечно. Число различных способов амбара г предметов в данном случае Стандартный пример — десять (типов) цифр, каждую из которых при записи числа можно использовать в любом количестве экземпляров (шестизначных чисел — миллион, 10 ).

6 1. Доказать: ° См Со-я ь ь ° С»+ С»+' = С»+,', в+1,+, — С =С й+1 и — ию ° йС» = вС„":,'. 2. Сколько различных чисел можно получить перестановкой цифр 1, 3, 7? (3!). 3. Сколько есть различных чисел, в записи которых участвуют только цифрм 1,3,7? (3 ). 4. Сколько есть различных чисел, в записи которых участвуют 1, 1, 2, — т. е. две единицм и одна двойка? (3). 1.3. Многочлены 1.2. Бином Ньютона При перемножении и сомножителей (х + у)(х + у)...

(х + у) число членов вида хп «у» равно С,"„поскольку й штук у в и сомножителях можно выбрать числом способов С». Поэтому (х 1 У)п хп 1 С!хп-!у 1 Сзхв-»уз 1 1 Св-!хув-! 1 уп Это формула бинома Ньютона, которая часто используется. Полапш х = у = 1, получаем с„'+с„'+с„'+... +со = г". В случае х = 1, у = -1, имеем с„'- с„'+ с„'-...

(-1)"с„" = О. Упражнение (х» у» л)п = ~~!~ ~р(йн умйз)х»ун»Ь где суммирование Идет по й,, й,, йз, удовлетворяющим условию й, + йз+ йз = и. 1.3. Многочлены Многочлены важны по двум причинам. С одной стороны, они широко используются, с другой — служат хорошим тренажером, вырабатывая полезные навыки «общематематического характера». Многолетнее изучение в школе квадратного трехчлена Рг(х) = ах + Ьх + с, параболы у = ах' + Ьх + с и корней квадратного уравнения ах + Ьх + с = О, — всегда лает результат.

Такой же, как обязательное изучение литературной классики. Если простым вещам учить долго, любую аудиторию можно «привести к общему знаменателюк Даже теорема Влета превращается в космическую загадку, если в х +ух+в (х х!)(х х!) раскрывать скобки и приравнивать коэффициенты в течение двух-трех месяцев. Школа в этом отношении идет горазао дальше. 12 Глава 1.

Предварительные сведения Другое дело задачи. Тут игра всегда идет на трех-четырех нотах... Когда у двух многочленов есть общий корень иги их корни перемехсаются? При каких значениях Рг(х) > О в заданной области? И тому подобное. Иногда кагкется, что все зто имеет отношение не столько к многочненам, сколько к искусству комбинирования. Однако гконглирование мечом помогает использовать меч в бою. Оперируя многочленами, приходится иметь дело со стандартными приемами — делением многочленов «в столбик», например, Произведенное деление дает тождество х' + 2х — х + 3 = (х — !)(х + Зх + 2) + 5. Легко видеть, что в общем случае деление многочлена Р(х) = х" + о», х" ' +...

+ ах + аь (1.1) на (х — с) даст в частном некоторый многочлен Цч,(х) и некоторое число 22 в остатке, т. е. Р„(х) )х — с (). 1(х), 22 что равносильно тождеству Р„(х) = (х — с)Я» ~(х) +И« полагая в котором х = с, получаем простой, но важный результат: 1.3.1. ТЕОРЕМа БЕЗУ. Остаток 22 при делении Р„(х) на (х — с) равен Р„(с), т. е.

Л = Р„(с). Таким образом, если с — корень уравнения Р„(х) = О, то И = О. В конечном итоге зто соображение приводит к разложению Р„(х) = (х — х1)(х — хг)... (х — хч), (1.2) где хо..., х„— корни многочлена Р„(х), которые по основной теореме алгебры всегда существуют — по крайней мере, в комплексной плоскости (см. сиед. раздел). 1.3. Многочлены 13 Примеры 1. Найти остаток от деления Р„(х) на хз + рх + д = (х — а)(х — Ь).

Очевидно, Р„(х) при делении на квадратный трехчлен даст в остатке (в общем случае) многочлен первой степени ух + д, т. е. Р„(х) = (х — а)(х — Ь)()я з(х) + 7х+ 6. (1.3) Подставляя в (1.3) сначала х = о, потом х = Ь, получаем систему уравнений Рь(о) = 7о+ д (: == Р„(Ь) = )Ь+ 6 для определения 7 и д. 2. Показать, что х — 1 делится на х" — 1 лишь в том случае, когда щ делится на и. Пусть щ = ий + р, тогда х — 1 (х") — 1 хг — 1 хя я хь — 1 хл — 1 + Далее надо учесть, что у" — 1 всегда делится на у — 1, ь = 1+ у +... + у' '.

у — 1 3. Часто встречается разложение на множители следующего многочлена трех переменных: х +у +х — Зхуя= = х +Зху(к+у)+у +г — Зхуя — Зху(х+у) = =(х+у) +л — Зху(к+у+я) = -(х+у+я)[(х — у) +(х — л) +(у — л) ~. 2 4. Раскрытие скобок и приведение подобных в (1.2) с последующим сопоставлением результата с (1.1), дает теорему Виста для многочлена п-й степени: Глава 1. Предварительные сведения 14 1.4. Комплексные числа 1 .4. 1 . 2«амнлексными числами называются числа вида х = к+ау, где х, у — обыкновенные вещественные числа, а ь — так называсыая мннмая единица, ь = — 1. Величину х называют действительнаи частью, у — мншлай, и пишут .2 Операции сложения и вычитания определяются покоординатным сложением и вычитанием: Два КЧ считаются равными, когда равны их действительные и мнимые части.

Понятия «больше», «меньше» для КЧ не определены. Правило умножения получается обыкновенным раскрытием скобок. С учетом ь = -1, это дает .2 х1Х2 — (Х1Х2 — у1у2) + 2(Х!у2 — у1 Хг) Легко проверяется наличие стандартных свойств умножения. Для деления используется несложный трюк избавления от мнимой единицы в знаменателе, опирающийся на факт вещественности произведения хх* = (х+ьу)(х — ьу) = х +у, гле х' = х — ьу — сопряженное числа. щ щхг В результате деление — = †, сводитХгаг ся к умножению х,х," в числителе. Указанные способы умножения и деления на практике используются редко, поскольку есть гораздо более эффективные приемы, основанные на геометрическом представлении КЧ: числу х = х + ьу сопоставляется вектор на плоскости х = (х, у) (рис.

1.1). Рмс. 1.1. Комплексное число 1.4.2. 'фигонометрическаи форма. полярные координаты (г = )х~ = хггхг + уг — модуль, р — аргумент х), в силу к=гевар, у =гз1пгр, Комплексные числа (КЧ) при беглом знакомстве создаст впечатление сумасшедшего дома. Однако за странным фасадом здесь прячется глубокая рациональная ьщея, питающая абстрактное мышление. Где остановиться, — каждый решает сам. Но в любом случае начало пути пролегает через обыкновенное знакомство с объектом.

15 1.4. Коыллексныв числн позволяют записать х в тригонометрический форме л = г1,соэ !в + $ з1п зэ). Неожиданно обнаруживается, что «неуклюжее умножение имеет прозрачный геометрический смысл. При умножении л, и а, модули перемножаются, аргументы складываются. Формула элементарно проверяется '1, как и формула деления: Более того, появляется воэможность говорить об извлечении корня, что в алгебраической записи выглядело неподъемной задачей. При й = О, 1,2,..., н — ! получаются н различных корней н-й степени из х что проверяется обратным возведением в н-ю степень по очевидной !рормулв Муавра и учетом периодичности синуса и косинуса.

1.4.3. ПрЕИМущЕСтеа ОКОЛЬНЫХ ПутЕй. Удача с находкой тригонометрической формы комплексного числа — далеко не рядовое событие. Это лример малвнькоиз чуда, которое изредка происходит примерно по такой схеме. Большие и малые разделы математики с той или иной долей натяжки можно себе представлять, как изучение некоторого множества А объектов с определенными в этом множестве операциями. Какие-то операции выполняются легко, какие-то — трудно. Естественно выглядит попытка установить взаимно- однозначное соответствие А с каким-либо другим множеспюм В, и посмотреть, какие манипуляции в В соответствуют операциям в А. Если действия в В проше операций в А, то задачи можно решать по схеме, изображенной на рис.

1.2. Объекты из А трансформируются в В, там выполняются необходимые действия, и результат возврашается в А. Но, хак говорится, легко сказать... Удачный Рмо. 1.2 выбор В всегда событие. П Конечно, если знать формулы синуса и косинуса суммы двух углов. 1б Глава 1.

!7редввригельные сведения 1.5. Показательная и логарифмическая функции Графики показательной функции у = о* изображены иа рис.1.3 (при а > 1 и а < 1, разумеется, а > О). Рис. 1.3. Показательная функция 1.6.1. Определение. логарифмом число у ло основанию а называется такое число х = !ой, у, что у = а*. Другими словами а'"" = у, что называют основным тогкдеством для логарифмов.

Иначе говоря, у = а* и х = 1ой, у — взаимно обратные функции, т.е. На вид — полное равноправие, ио логарифм, конечно, восприиимается труднее. Как зубную пасту легче выдавить из тюбика, — так и здесь, проще иметь дело с а*. Ситуация еще усугубляется тем, что вместо х = 1оуч у обычно приходится писать у = !оу х, меняя буквы местами, ибо згикет требует х — для аргумента, у — для фуикции. Если бы ие зто, то даже график логарифма ие надо было бы рисовать заново. Ои уже изображен иа рис.

1.3, правда, в обозначениях х = 1ой, у и с нестандартным расположением осей. Если же буквы х, у поменять местами, и оси привести в обычное положение (поворот иа 90' плюс отражение относительно вертикальной оси), то график логарифма будет выглялеть так (рис. 1.4). Рмс. 1.4. Логарифм 17 1.6. Множества Таким образом, график логарифма и график показательной функции — это одна и та же кривая (с точностью до поворота и отражения). То же самое можно сказать и о свойствах этих функций.

Характеристики

Список файлов книги