Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 8
Текст из файла (страница 8)
для у = а* имеем аз+а* — а* а а* — 1 у'= йп = 1ип а* =ао1па, Ьочо ДХ аочо Дх поскольку а' — ! -+ !па при т -+ О, т что следует из а' — 1 в 1 -о — = !па, т 1ой,(!+а) 1оу е где а' — ! = а. 3.4.3. Производная логарифмической функции. цзункции х = а" и у = 1ой, х взаимообратны. Поэтому производная логарифмической функции определяется формулой производной обратной функции. Прямолинейный вывод тоже несложен: 1ой.(х+ Дх) — !ой, х 1 1ой (1+ Дх/х) 1ой, е у = 1ип = — Иш о* о Дх ха* о Дх/х х 3.4.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНМЕ. Пусть у = Них.
Тогда, пользуясь формулой для разности синусов, получаем яп(х+ Дх) — них / Дх'т яп(Дх/2) у =!пп = !ип соо ~х+ — /! = сов х, Ьь-10 Дх лочо ~ 2 ) (Дх/2) япт в силу — -+ 1 при т -+ О, см. (2.6.4). т Производная косинуса вычисляется аналогично. Производные тангенса и котангенса — по формуле производной отношения двух функций. Производные обратных тригонометрических функций — по формуле производной для обратной функции.
На материале данного раздела нет смысла долго задерзкиваться— обучение все равно требует нескольких проходов. Правда, некоторые педагоги рекомендуют другой способ, которыи хорош для распространения в стане врага, — учить монотонно, шаг эа шагом. В этом случае удовольствие от учебною процесса растягивается на всю зкизнь. 9.5. Дифференциалы 49 3.5. Дифференциалы Гипотетически рассуждая, в условиях неведения о производных, можно было бы задаться вопросом, когда приращение функции Ьу = 3".(х+ г."ьх) — 3".(х) представимо в виде азу = АЬх + о(Ьх), (3.1) где А — некоторая константа. Ответ очевиден. допустим, справедливо (3.
1). Переход к пределу в Ьу о(Ьх) Ьх Ьх дает А = у'(х). Обратно, луста существует нровзвобнан Тв(х). Тогда по самому определению производной — — у'(х) = а(Ьх) -ь О, 1~у гьх откуда Ьу = у (х)Ьх+ а(гьх)Ьх, что и означает (3.1) при А = у'(х) Таким образом, проблема тривиальна, и на этом можно было бы закончить, но традиционно на данном аспекте сфокусировалось слишком много внимания, чтобы его теперь можно было обойти стороной.
3.5.2. Определение. Линейная часть приращения Ьу, равная Адах в представлении (3. 1), называется дифференциалом функции у = у (х) и обозначается ь(у. Следовательно, льу = 1(у+ о(гдх), т. е. приращение гду равно сумме линейного приращения ду и нелинейной части о(ьзх). Полагая для независимого приращения сьх = Их, имеем с(у = Г~(х) г(х 3.5.1. Представление (3. 1) имеет место тогда и только тогда, когда функция У дифференцируема в точке х.
При этом А = ~'(х). 50 ' Глава 3. Дифференцирование откуда, собственно, и возникло обозначение производной Т' (х) = —. 1у г1х Самый простой вопрос «почему сьх = Ых?» — иногда оставляет чувство недоумения. 0 наличии щюблемы свидетельопвует уверенность части населения, что «дифференциал — это очень маленькое приращение», На самом деле дх моэсет принимать любые значения. Неразбериху здесь порохсдают «маленькие дельта, которые были отправной точкой, но потом оказались ни при чем. Определение 3.5.2 говорит следующее. линейное приращение — назовем его в — функции р = 2(х) вдоль оси а связано с приращением аргумента х — назовем ею г — формулой в = З'(х)г.
Конечно, это слишком громоздко. Поэтому договорились г обозначить через дх, в — через ду. Тезис о «малости возникает лишь в том случае, когда речь заходит о формулах прибеизкения. Что касается вопроса «почему Ьх = Их?», то «как захотели, так и обозначили — оказалось удобно . Обычно при работе с приращениями функций приходится либо употреблять приближенные равенства Ьу Т"'(х)Ьх (в которых ошибки могут накапливаться по цепочкам), либо — формулы типа (3.1), таская из строчки в строчку хвосты нелинейных добавок о( ).
Понятие дифференциала освобождает от этих неудобств, позволяя писать для линейных частей приращений абсолютно строгие равенства. Это особенно удобно в более сложных ситуациях. Например, для у = )(х)д(х), имеем Это все плюсы. Минусы тоже есть. Они сказываются на этапе обучения. Дифференцируемость обычно определяется как возможность записи приращения функции в виде (3.1). Само по себе это не так плохо, но возникает нагромождение определений. Дифференцируемость и наличие производной оказываются разными свойствами. Благоприятный факт их совпадения производит на начинающего неприятное впечатление, ибо он начинает думать, что чего-то не понял.
Поначалу действительно не ясно, зачем вводятся дифференциалы. Тот небольшой выигрыш, который они дают, на первом курсе выглядит неубедительно, ибо пока ничего не известно о какой-нибудь дифференциальной топологии, где все это может «выстрелить». Но если присмотреться, то это хорошо «стреляет» и в самых простых ситуациях. Достаточно сказать, что 3.6.
Теоремы о среднеы 51 появляется возможность обрашаться с ф/гзх, как с обыкновенной дробью. Например, )зу Ы~ с() г)хЖ Ж Ска:кем, в у = )(х) производится замена х = н(т), после которой х становится зависимой переменной. И хотя теперь уже Ьх ф дх — равенство )(у = у'(х) дх сохраняется, в чем легко убедиться используя формулу дифференцирования сложной функции: ду = у', Мт = у„х, дт = у, дх. Это простое, но важное свойство называют инвариантностьт формы дифференциала. Формула для производной ду/дх, допускающая сокрашения как в обыкновенных дробях (но не буквы д!), часто оказывается предпочтительнее. Например, в случае параметрического задания кривой, х = )р(т), у = ф(т), производную у,' с помощью дифференциалов можно вычислить, не восстанавливая зависимости у(х): ду у, дт у) (т) дх х', дт ф'(т) 3.5.3. Дифференциалы высших порядков. вторым дифференциалом )(~у функции у = /(х) называется (оервый) дифференциал функции т) ду = ~'(х) дх (как функции х, но ие дх), т.
е. д'у = Щ'(х)) дх = (1" (х) дх) дх = Т'(х) дх . Дифференциалы более высокою порядка определяются индуктивно, д"у = Т) )(х) дх". В отличие от дифференциалов первого порядка, для которых всегда ду = у'(х) дх (инвариантность формм), приведенные формулы для дифференциалов )(а (и > 1) справедливы лишь в предположении независимости аргумента х. Если х = р(Ю), то дйут [У()е(С))]р й = [У())т()] )П = (у ° (у) +У ув) Мй = У дх +У д х.
3.6. Теоремы о среднем Когда весь курс анализа забывается, в памяти остается одна теорема: 7) Но не квадратичная часть приращения Сту! Глава 3. Дифференцирование 52 3.6.1. Пусть у(х) в точке х = а дифференцируема и принимает локально максимальное значение, т. е. у(а) > 'г'(х) для всех х из достаточно малой окрестности точки а. Тогда у'(а) = О. Результат. очевиден с разных точек зрения. В точке максимального удаления скорость обнуляется — надо остановиться, чтобы двинуться обратно. Другой вариант.
Геометрически понятно, что касательная к локальному максимуму (рис. 3.4) должна быть горизонтальна (~я р= о). Третий вариант. В предположении противного, у'(а) ~ О,— например, уг(а) > О, линейная (самая большая при малом гдх) часть приращения у (а)здх > О при здх > О, Рнс. 3.4 т. е. Т(а+ сзх) > у(а) при достаточно малых гдх > О, что противоречит наличию локального максимума в а. Обратное, разумеется, неверно. У х производная (Зх~) в нуле — нуль, но— никакого максимума (в нуле у х — точка перегиба). 3.6.2. Теорема Ролля. Пусть у(х) дифференцируема на [а, Ь] и у (а) = у (Ь).
Тогда есть точка ( Е [а, Ь], в которой ~'(0 = О. Из з(о) = з(Ь) вытекает, что з(х) на (о, Ь) имеет или минимум, или максимум. Далее решает ссылка на предыдушую теорему. М 3.6.3. Теорема Лагранжа. Пусть у(х) дифференцируема на [а, Ь]. Тогда есть точка с Е [а, Ь], в которой у(Ь) — Т(а) Ь вЂ” а Последнее равенство чаше записывают в виде подчеркивая способ выражения гь7 с помощью умножения гзх на среднюю скорость роста 7 (С). 3.6. Теоремы о среднем 53 < Для доказательства введем вспомогательную функцию ы(х) = У(х) — йх, Т(Ь) — Т(о) которая при й = удовлетворяет условию ы(а) = ы(Ь).
Доказательство Ь вЂ” а завершает применение к ы(х) теоремы 3.6.2, Для некоторого С б [а, Ь) будет ы'(О = ~'(Π— й = О. 3.6.4. Теорема Коши. Пусть Т(х) ид(х) дифференцируемына [а, Ц и д'(х) зй О в промежутке (а, Ц. Тогда есть точка ( б (а, Ц, в которой Я)) — Т (а) Т"'(~) д(Ь) — д(а) д'(О Доказательство можно опять получить сведением к теореме Рояля с по- У(Ь) — У(а) мощью функции ы(х) = Т'(х) — йд(х), которая при й = удовлетворяет условию ы(а) = ы(Ь). Точка С б (и, Ь], в которой ы'(О = Т'(Π— йд'(О = О, дает «то, что нужно». Заметим, что теорему Коши можно рассматривать, как теорему Лагранжа, переведенную на другой язык.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
