Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 6
Текст из файла (страница 6)
б, 1нпха"* = 1. *-~0 н х хЛ», 7. !пп соз — + Лз!и -) =е н~ ( и и 2.8. Числовые ряды 2.7.8. Определение. Функция 1(х), непрерывная на некотороммноясестве Х, называется равномерно неврерывной на Х, если но любому с > 0 мозкно указать такое б, что [1(х) — 1(р)! < е, если ]х — р! < б для любых х, р б Х.
Функции 1(х) = 1/х и р(х) = чгх на интервале (О, 1) не являются равномерно непрерывными. 2 ТЯ. теорема кантора. Функция 1(х), непрерывная на отрезке [а, ь], автоматически равномерно непрерывна на [а, Ь]. В предположении противного для некоторого е не найдется нужного б. Это означает, что лля любой последовательности положительных б„-ь 0 можно указать такие х„,рю по ]х„— рь! < б„, но ]1(х ) 1(у )! >е 2.8. Числовые ряды Суммы вида а„ = аг + ... + а„ + ... Е (2.5) п-1 называют бесконечными рядами.
Общеизвестный пример — сумма бесконечной геометрической прогрессии 1+ а+ а +... = —, ]а! < 1. 1 1 — а' 2.8.1. Конечный или бесконечный предел А частичной суммы Ап = аг +... + ап определяют как сумму ряда (2.5). Ряд, имеющий конечную (бесконеч- ную) сумму, называют сходящимся (расходящимся).
Вещественное число, в десятичной записи аь, а,аз..., — это сумма ряда а! аз аз+ — + — +.... 10 !Оз при любом и = 1, 2,.... По лемме Больцано — Вейерштрасса 2.5.2 из х„можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Для простоты, будем считать, что сходится сама последовательность х„, т. е. х„-з с Е [а, Ь]. Но тогда и р„-+ с в силу х„— р„-з О. В этом случае ]1(х„) — 1(У„)! > е противоречит непрерывности 1(х) в точке с.
Глава 2. Последовательности и пределы 36 Легко видеть, что бесконечные ряды представляют собой всего лишь эквивалентный язык для изучения последовательностей и пределов. Действительно, сходимость ряда означает сходимость варианты А„. Обратно, сходимость любой последовательности Ь„ равносильна сходимости ряда Ь1 + (Ьз — Ь1) + ... + (Ьв — Ьа ,) + .. Эквивалентные нредставленин иногда очень э$фективны (см. 1А.З), но выигрыш обычно возникает там, где транг4ормиругтсл нрирода изучаемых обьектов (яереход из алгебры в геометрию, например).
В данном случае нанти все остается на своем месте, однако выигрыш довольно велик, чта дает новод задуматься. 2.8.2. Сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на константу. (Гэ) 2.8.3. Если ряд (2.5) сходится, то ая -э О. Для положительного ряда утверждение очевидно. В общем схучае результат может вызывать даже сомнения. Тем не менее, две (разные) последовательности А„и А„, сходятся к одному и тому же пределу. Следовательно, а„= А„— А„, -+ б. Первый этап теории числовых рядов очень прост. Все результаты, имеющие здесь иногда громкие имена, представляют собой несложные переформулировки известных фактов из теории пределов. Они хороши в качестве упрюкнений.
1. Палолсительный рлд а, + аз+ ... (все а„> 0) сходится, если его частичные суммы ограничены сверху, и расходится в противном случае (следствие теоремы 2.3.3 о сходимости монотонной ограниченной последовательности). 2. Теорема сравнения положительных рядов (А): а1 + аэ +..., (В): Ь~ + Ьэ +... Если а„< Ь„(начиная с некоторого н) и — или же а„э,/а„< Ьв т/܄— и ряд (В) сходится, то ряд (А) тоже сходится.
Если (А) расходится, то и (В) расходится. 3. Если а„/Ь„имеет конечный строго положительный предел, то оба положительных ряда (А) и (В) сходятся или расходятся одновременно. 1 В этом случае (В) называют мвналэирнвтнм рвдом лля (А). 2.8. Числовые ряды 4. В общем случае ряд (2.5) называют абсаеющло сходяи1анся, если сходится ряа !а, 1 + !а,(+... из абсолютных величин.
Любой абсолютно сходящийся ряд схолится (легко следует из критерия Коши 2.3.2). 5. Любой знакопеременный ряд ае — а, +... + (-1)"а„+... (все а„> О) при условии монотонного стремления а„к нулю — сходится. Поэтому, например, не сходящийся абсолютно ряд 1 — 1/2+ 1/3 —..., сходится. Подсказка.
Частичные суммы Азь = (а, — аг)+(аз — а4)-1-... + (ам, — ам) монотонно возрастают, поскольку все скобки положительны из-за монотонности убывания а„. С другой стороны, Ам — — а~ — (а! — а!) —... — (агь-2 а2ь-!) — ам < а„ поэтому Ам сходится. Остается заметить, что Ам ы — — Аы + а,х ь! и а„-г О. Приведем два рабочих признака сходимостн положительных рядов. 2.8.4. Признак Коши.
Ряд (2.5) сходится, если ~/а„— ь а < 1, и расходится, если а > 1. и Доказательство. Для достаточно малого е > Π— такого, что а+с < 1,— начиная с некоторого и = лг, будет а„< (а+ с)". поэтому ряд (2.5) мажорируется сходящимся рядом (а + с)". 2.8.8. Признак Даламбера. Ряд (2.5) сходится, если ая+! — — !а< 1, ая и расходится, если а > 1. В данном контексте очевидна крайняя простота обоих признаков. Тем не менее они охватывают почти все прикладные задачи, а пограничная ситуация с а = 1 лишь изредка всплывает в задачниках для упражнения резервных возможностей организма. При изучении сходимости рядов о признаках Коши и Даламбера полезно вспоминать потому, что в конкретных задачах проблема часто упирается в отсутствие идей, из-за чего простые вопросы ставят в тупик.
88 Глава 2. Последовательности и пределы Пусть, например, ряд (2.5) абсолютно сходится. Будет ли сходится ряд па„? Скорей всего, исходный ряд удовлетворяет признаку, скажем, Даламбера. Но тогда и (и+ 1) а„е, -» а < 1. па„ Примерм 1. Ряд Е ! 1 ! — = 1+ — + — +.. и' 2' 3' «=г (2.6) сходится при в > 1 и расходится при 0 ( в ( 1. Расходимость (2.6) при в = 1 уже была установлена в разделе 2.4. Отсюда тем более следует расходимость (2.6) при в < 1. Установим сходимость при в > 1. Очевидно, ! 1 1, 1 1 (2»+1)' (2»+2)* (2»ег)з (2" +1)' 2М' '1 <2 < Поэтому ! т=«! — < ~~ и' ~ 2»1' '! «=г»=ь х х 2. Из теоремы сравнения (упражнение 3), в силу мп —: — » 1, ряд «ь и' и' Е х »1 яп — сходится и расходится ! при тех же в, что и (2.6).
и' « Теоремы сравнения (упралснения 2, 3) сводят»шогообразие бесконечных сумм к изучению нескольких эталонных рядов, главный среди которых ) 9». Признаки Коши и Даламбера, покрывающие 90 % задач, работают в тех нее самых ситуацш»ч, что и сравнении с суммой геометрической прогрессию Еще 90 % из «непокрыт»ос» задач решаются сравнением с рядом (2.6). 3.
Ряд ~ ~!и (1+ х/и) при любом х > 0 расходится, поскольку « з! Прн большом я первые члены ряла могут иметь разные знаки, но потом знак стабилизируется. а мажорирующий ряд справа сходится, поскольку представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (со знаменателем 1/2» ').
2.9. Гипноз и математика 39 Упражнения 1. В случае а„ -з а ) 0 ряд ~(а„х)" сходится при 1х~ < 1/а. и » х 2. Ряд ~ — сходится при любом х (подсказка: признак Даламбера). и! » 3. Ряд ~ п~х" сходится при любом 1х) < 1 и любом фиксированном Ь. » О дальнейшем развитии теории числовых рядов. На самом леле большую роль в анализе играют не числовые ряды, а функциональные. Но числовые — служат базой, н задачи, которые держатся на прицеле, определяют специфику.
Например, повышенный интерес к р|шам вида ~~ а„Ь„может показаться слабо мотивированным, если не знать, что в дальнейшем подразумевается ы переход к изучению рядов ~ а„х". Достаточно естественными представляются вопросы влияния на сходимость рядов стандартных операций: перегруппировки членов (изменения порядка суммирования), умножения рядов. При этом выясняется, что между абсолютно сходящимися рядами и всеми остальными проходит мощный водораздел. Абсолютно сходящиеся ряды «беспроблемны». Они допускают любое изменение порядка суммирования. Их можно без предосторожностей перемножать: а„= А, » ь„= в а„Ья = АВ, »,я независимо от порядка суммирования членов а„Ья.
Что касается остальных рядов, то там не спасают даже предосторожности. 2.9. ГИпноз и математика Остановимся, наконец, на принципиальном вопросе о неспособности к математике, который иногда встает при изучении анализа. Проблема имеет, по всей видимости, неожиланное решение. Чем легче человек поддается гипнозу, тем труднее ему дается математика. Причина заключается в следующем.
Тройная спираль Эриксона — три истории, вставленные друг в друга— 91 любого вгоняет в гипнотический транс. И это не сказка, а психологический «1 Знаменитый американский гипнотизер. 2.8.6. ТЕОРЕМВ РИМВНВ. Не абсолютно сходящийся ряд (А) всегда допускает изменение порядка суммирования, лри котором сумма (А) оказывается равной любому наперед заданному числу (квнечному ияи бесконечному). 40 Глава 2. Последовательности и пределы прием, простой как молоток и эффективный как уголовно наказуемый «двадцагпь пятый кадр».
В математике нечто подобное происходит само собой. В результате многие попадают в состояние транса задолго до тою, как то или иное рассуждение услышано до конца. Транс же хорош для восприятия чувств и настроений, но не логических цепочек. Поясним сказанное. Спираль Эриксона — это хитрый и вместе с тем очень простой трюк. Рассказывается некая история, которая в середине обрывается, и начинает рассказываться вторая история, которая снова не доводится до конца, и повествование переключается на третью историю.
Сознание вынуждено держать в памяти все эти половинчатые истории — и у него оказываются «заняты руки», Охрана снята, дорога к подсознанию свободна, слушатель в трансе. В учебнике математики эриксоновы спирали уходят за юризонт. Вот простейший пример. Функция у(х) непрерывна в точке х», если по любому е > О (об у(х) забыто, с потолка появилось с, для чего пока неясно, но обзтои е > О надо помнить, чтобы потом понять конец истории) можно указать такое б (на голову сваливается еше один «персонале»), что ~~(х) — У(х»П < е, если (х — хю! < б. Все истории сразу заканчиваются, но отключенное сознание улсе ничего не слышит. Подсознание слышит, но не понимает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
