Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Дискретнь1е снектрьг (от лат, с(слстеуиа — разделенный, прерывистый) состоят из дискретного ряда гармонических колебаний вида (!.20). Сигнал с дискретным спектром описывается выражением и(Т) = ~„„И„ьсоз(шэ1 + фь) = = Уо+ з' И есоз(озс1+ фь), (5. () ГДЕ (Го — ПОСтОЯННаЯ СОСтаВЛЯ1ОШаЯ, а ЧИСЛО 1т' может иметь как конечное, так и бесконечно большое значение. 213 Здесь имеется в виду дискретность по частоте, так что характерной особенностью данного ряда являются конечные интервалы между смежными спектральными составляющими: Лш» = = оз»ч.
~ — ш» ) О. Сумма дискретных спектральных составляющих (5.1) образует сигнал бесконечной длительности. Дискретные спектры можно изображать графически на временнбй диаграмме, как показано на рис. 5.1, а. Однако это неудобно и громоздко, особенно при большом числе спектральных составляющих. Поэтому принят другой способ изображения дискретных спектров. и увг вгг й, .0 1)гл О а) тат гхгг тг) д) б) Рис. 5.). Изображение дискретных спектров Каждая из спектральных составляющих характеризуется частотой, амплитудой н начальной фазой. Поэтому графически дискретньгй спектр изображают в виде отрезков линий, высота и расположение которых на частотной оси определяют амплитуду, начальную физу и частоту спектральных составляющих (рис.
5.1, б, в). Первый график называют спектром амплитуд (амплитудным спектром), а второй — спектром фаз (фазовым спектром). В соответствии с принятым изображением дискретные спектра» называют также линейчатыми. Ранее отмечалось, что спектральные составляющие могут быть измерены спектральными анализаторами (см. $1.3.5), которые должны выделять отдельные спектральные составляющие. Для дискретного спектра это осуществимо, например, с помощью резонансных контуров с полосой пропускания ЛЕ(Л1» = = Лш»/2п. Однако полоса пропускания не может быть сколь угодно малой. При этом в узкой полосе частот Л1 а ЛЕ находится несколько спектральных составляющих и измерения сводятся к определению мощности ЛР суммы спектральных составляющих в этой полосе частот Л') = Лш/2п". Тогда интенсивность спектра можно оценить не амплитудами спектральных составляющих, а энергетической спектральной п,готностью в одном из двух вариантов: 5, = ЛР/Лш, 5, = ч/ЛР/Лы.
(5 2) ь В 5 5.5.3 показано, что мощность аР равна сумме мощностей отдельных спектральных составляющих. Обычно мощность ор определяеыя иа единичном сопротивлении гя = г Ом). зы со»/гог = ?»/?г = ?т/1. (5.4) Гармонический спектр может включать и постоянную составляюшую, как показано на рис. 5.3. Если в гармоническом спектре отсутствуют те или иные гармоники, то интервалы Лго» между смежными спектральными составляюшими получаются неодинаковыми, но спектр остается гармоническим.
Например, спектр из трех гармонических колебаний с частотами 250, 700 н 900 Гц является гармоническим, поскольку указанные частоты удовлетворяют условию (5.4). Из условия (5.3) следует, что периоды гармоник Т» = 1//» = = 2п/со» связаны с временнйм интервалом Т соотношением Т = яТ». (5.5) Это означает, что в интервале Т укладывается целое число периодов Т» любой й-й гармоники.
Следовательно, при сложении О 57 Л? Л7 ФУ 557 св Рис. 5.2. Изображение энергетической спектральной функ. нии Рис. 5.3. Изображение нискрет- ного гармонического спектра 215 Вторую формулу (5.2) используют с учетом того, что мошность пропорциональна квадрату амплитуды напряжения (тока). Оба определения. (5.2) могут быть модифицированы заменой интервала Лм интервалом Л?. На разных частотах спектральная плотность получается различной: 5, = 5т(ы). Это обусловлено как различными амплитудами (?», так и различными интервалами Л<о».
Позтому величину 5,(го) называют также энергетической спектральной 4ункцией (частоты). Эту функцию изображают графически непрерывной кривой, как показано на рис. 5.2. Таким образом, дискретные спектры могут рассматриваться и как непрерывные функции частоты.
2. Гармонические спектры. В частном случае дискретные спектры могут состоять из гармонических колебаний с кратными частотами го» = яь?, й = О, 1, 2, ..., ЛГ, (5.3) где 1? = 2пР = 2я/Т вЂ” некоторая фиксированная частота, которой соответствует временной интервал Т. Спектральные составляющие с кратными частотами назьгваются гармониками сигнала (см.
$ 1.4.!), а дискретный спектр, состоящий из гармоник (рис. 5.3), — гармоническим спектром. Условие кратности частот произвольных гармоник ы» и юг имеет вид всех гармоник получается сигнал и(1), значения которого повторяются через время Т. Таким образом, гармонические спектры присуи1и периодическим сигналам и(1) = и(1+ Т) с периодом (5.5) и частотой Р = 1)Т.
Периодический сигнал является бесконечно протяженным во времени, как и гармонические колебания (см. $ !.2.3), поскольку он имеет повторяющиеся значения при любом Г в интервале [ — со, сс ). Сигналы с дискретным негармоническим спектром также яв'ляются бесконечно протяженными во времени, как и их гармонические спектральные составляющие. Такие сигналы называют квазипериодическими в отличие от непериодических сигналов, спектры которых ие являются дискретными. Чтобы сигнал с дискретным спектром являлся квазнпериоднческим, частоты его спектральных составляющих не должны удовлетворять условию (5.2).
Это наблюдается, в частности, при отношении указанных частот, равном иррациональному числу. Такое отношение частот может быть, например, ч АМ-сигналов. Соотношение (5.1) для периодических сигналов с учетом равенства (5.3) может быть переписано в виде ряда Фурье: и(1) = и,+ Х и,.» (йа1 — ф»). (5.5) »=! Здесь начальная фаза — »р» обозначена с отрицательным знаком, чтобы ряд (5.6) удобно представлялся через косинусоидальные и синусоидальные составляющие: А» и(1) = 2' + 2,'А,созяЯЕ+ У В»з»пйа1, (5.7) »=~ »-~ где А» = 2Пы А» = 1/»,»соз»(»», В» = Ю„,»з1п»р», (5,8) так что П» = —, Ю»,» = ~А»+ В»», ф» = Агс1о —.
(5.9) 2 А» Реальные периодические, сигналы и(1+ Т) всегда удовлетворяют условиям Дирихле, а именно: а) период Т может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция и(1) непрерывна и монотонна; б) в любой точке разрыва функции и(1) существуют конечные пределы и(1 — О) и и(1+О). Для таких сигналов, как известно из курса математики, ряд Фурье (5,?) сходится к значению сигнала в точках непрерывности и дает в точках разрыва значения и(1) = [и(1 — О)+ и(1+0)]тт2, если коэффициенты Фурье (5.8) определяются по формулам Эйлера: тт» тм т 5 иксов/гОВ»(1 В» — 2 ~ и(1)з»пяй181, (5,10) — тм — тм 216 и(1) = -м- 2', (/м»еа»о'. (5.12) Здесь согласно формуле Эйлера (3.! ) и соотношениям (5.8) — (5.!0) тм (тм» = 1/ »е 'м = А» — )В» = — ~ и(1)е ™д1, (5.13) т — тм причем К,ю = Клю = 2Кш Ко = Ао/2 = К»ь/2, фо = 0 (5.14) Соотношения (5.12), (5.13) охватывают не только постоян- ную составляющую с частотой ом = О !2 = О, но и спектраль- ные составляющие с отрицательными частотами ш» = — я»1.
Понятие отрицательных частот соответствует представлению, гар- монических колебаний не в виде одного вращающегося вектора, как в символическом методе (см. рис. 3.2, а), а в виде двух сим- метричных векторов, вращаощихся в противоположных направ- лениях (рис. 5.4у. Нижний вектор на рис. 5.4, вращающийся в отрицательном направлении, как раз и соответствует отрицатель- ной частоте ы». Хотя эта частота является условным понятием, при использовании комплексного ряда Фурье (5.12) спектр сиг- нала надо формально изображать и в области отрицательных частот, как показано на рис. 5.5.
Симметрия векторной диаграммы рис. 5.4 может быть описана следующим образом: К.( — ттй) = Км(/е!4), (5.! 5) ф( — (тУ) = — ф(я в»), или К„т»! = У», р» = — »р». (5.15') Рнц бя. Представление гар. моннческвх колебаннй явумв врашаюшнмнсн векторами Соотношения (5.15) означают также четную, симметрию спектра гю По своему физическому смыслу постоянная составляютцая Уо является средним за период значением и(т): тут и, =+ ~ (~)а. (5.11) — тлц Принятое для этой составляющей обозначение (5.9) делает первую формулу (5.10) пригодной и для определения коэффициента Ао, поскольку из этих соотношений вытекает равенство (5. 1! ) . Если воспользоваться известной формулой созФ = (ваш + + е Р")/2, то ряд Фурье (5.6) можно представить в комплексной форме: Рис.
5.5. Изображение комплексного гармонии амплитуд и нечетную симметрию спектра фаз, что отражено соответственно на рис. 5.5, а, б. Равенства (5.15') определяют значения параметров с отрицательными индексами. Если в соотношениях (5.2) принять Лго = 11, то понятие энергетической спектральной плотности можно распространить на периодические сигналы. При этом на интервале (! находится только одна гармоника, н вместо суммарной мощности спектральных составляющих следуе» рассматривать мощность одной гармоники.
Следовательно, спектральная плотность, определяемая по второй формуле (5.2), получается пропорциональной амплитудам К„ соответствующих гармоник. Таким образом, приходим к понятию спектральной плотности по напряжению; 5 = К„/1с. (5.!б) Перейдем в этом равенстве от вещественной к комплексной амплитуде: ()„,-з-Оа,. При этом, используя интеграл (5.13), сделаем в нем переход от дискретных частот к текущей частоте: И! — ~- гп. Тогда вместо вещественной . спектральной плотности (5.1б) получим комплексную спектральную функцию от частоты пп гга 5(оз) = — "! = 5(го)е и"! = ~ ~ и(!)е ииг)д (5.17) и ггз В этом случае вместо дискретных спектров амплитуд (рис. 5.5, а) и фаз (рнс.
5.5, б) будем изображать непрерывные 5=У! -'раатд5 Рис. 5.6. Изображение комплексной спектральной Функции 218 Здесь 5(>о) = 5(>о)е >и"' = 5л(ы) — 15в(о>), я».=>г>.»= >% »->-гг>.>, — >)>О>) = агй5(о>) = — Агс!п5о(о>),'5л(го), 5л(го) = 5(ы)созф(го) = — ' $ и(!)созгогд С 5о(о>) = 5(го) з>п>Ф(го) = — $ и(1)з!пгоИС > л (5.19) ' (5.20) (5.21) 2>9 графики частотной зависимости модуля и аргумента комплексной спектральной функции (5.17), как показано соответственно на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
