Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 47
Текст из файла (страница 47)
5.б, а, б: Эти графики также называют амплитудным н фазовым спектрами. 3. Сплошные спектры. Сигналы с дискретными (в том числе с гармоническими) спектрами являются бесконечно протяженнымн во времени. Такие сигналы в известном смысле идеализированы. Реальнл>е сигналы всегда имеют конечную длительность. Поэтому они, в частности, не являются периодическими сигналами. Однако если рассматривать бесконечный временной интервал, то любой сигнал конечной длительности можно условно считать повторяющимся на бесконечности. Поскольку же признаком периодичности сигнала является его повторяемость через интервал Т, сигнал конечной длительности можно рассматривать как периодический сигнагг с периодом Т- о , Отсюда вытекает, что спектр сигнала конечной длительности содержит спектральные составляющие, интервал между которыми О = 2п/Т- О.
Такой спектр с бесконечно миль>ми интервалами между смежными спектра~гьнымгг составлгяющими называют сплошным. Следовательно, сигналы конечной длительности имеют сплошные спектры. Сплошной спектр на любом конечном частотном интервале содержит бесконечное множество спектральных составляющих. Если бы эти составляющие имели конечные амплитуды, их суммарная мощность на любом конечном частотном интервале была бы бесконечно велика, поскольку бесконечная сумма конечных величин равна бесконечности. Это лишено физического смысла.
Однако из формул (5.10) и (5.9) следует, что в случае сплошного спектра амплитуды спектральных составляющих бесконечно: мали: 0.~1т — О. При бесконечно малых значениях амплитуды 0 и интервала Р спектральная плотность (5.16) остается конечной величиной. Поэтому описание сплошного спектра возможно с помощью спектральной функции (5.17), если при Т вЂ” оо принять О = = ого и (7~ = дК„е Я(ы) = "' с '""' = — ~ е(0е >л'М. (5,!8) Ен л— При принятых обозачениях соотношения (5.19) — (5.21) вытекают из формул (5.8) — (5.10). Равенство (5.18) известно как прямое интегральное преобразование (интеграл) Фурье, а величина 5(ы) называется спектральной функцией.
Ей соответствует спектральная плотность 5(ы) = д(7»,(ы)том, а также дифференциальная форма энергетической спектральной плотности 5,(ы) = бр(ы)Г'йо (или ЙРЯ/61). Для краткости будем говорить о спектре 5(ы), подразумевая под этим сплошной спектр, описываемый спектральной функцией 5(ы). Преобразование Фурье (5.!8) является однозначным: заданному сигналу и(1) соответствует единственное значение спектральной функции 5(ы). Справедливо и обратное утверждение: заданной спектральной функции 5(оз) соответствует единственное значение, сигнала и(1).
Такую взаимную однозначность (свойство взаимности преобразований) будем обозначать следующим образом: и(1) =: 5(ы). (5.22) Свойства симметрии спектра (5.15) остаются справедливыми для модуля и аргумента спектральной функции; 5( — )=5( ), ф( — ы) = — ф( ).
(5.23) Из формул (5.23) и (5.21) вытекают также свойства четной симметрии вещественной частп спектральной функции и нечетной симметрии ее мнимой части: 5л( — ы) = 5»(ы), 5»( — ы) = — 5г(ы). (5.24) Учитывая свойства симметрии спектра ('5.23) и (5.24), его можно изображать только в области положительных частот. Интегральное преобразование Фурье является линейным.
Это означает, что при и~(1) Ф 5~(ы) и и»(1) — ' 5»(ы) справедливо свойство линейности: и(1) = А,иЯ + А»и»Я =: 5(оз) = А15~(ы) +- А»5»(ы), (5.25) где А, и А, — произвольные константы. Справедливость этого соотношения доказывается его подстановкой в формулу (5.18) с учетом свойства (5.22). Сплошные спектры присущи и некоторым бесконечным, а также «полубесконечным» сигналали ограниченным по времени с одной стороны. К сигналам «полубесконечной» длительности относится, например, экспоненциальный сигнал (рис. 5.7, а): .~ 0 при 1(0, 1е — и при т'»О, (5.26) гго где !1 > О. Спектральная функция (5,18) сигнала (5.26) определяется соотношениями или Я(го) = ., 5(оа) =,,— ар(оа) = — агс 1д —. (5.
27) Частотные зависимости функций (5.27) рнс. 5.7, б. показаны на Рис. 5.7. Экспоиеипиалаиый сигнал и его спектр 4. Смешанные спектры. Выше отмечалась возможность сушествования смешанного спектра, состояшего из ' сплошного спектра и дискретных спектральных составляющих. Примером сигналов, имеющих такой спектр, является единичный скачок (рнс. 5.8, а): "® "" 1'""'-' (О при т(О, (5.28) Этот сигнал, называемый также функцией включения, играет важную роль в технике связи. С его помощью могут описываться сигналы при коммутации (включении и выключении) цепей.
Например, экспоненциальный сигнал (5.21), который как бы включается в нулевой момент времени, достаточно просто описывается с помощью единичного скачка (5.28); и(С) = !(С)е Отсюда видно, что экспоненциальный сигнал (5.26) превращается в единичный скачок при () = О. По- атому сплошной спектр единичного скачка опи- сывается соотношения- ми (5.27) прн Р = 0: ' и С 5(го) = 1/)пы, Я(оа) = 1/пго, ' (5.29) — ар(го) = ~= и/2. а) Рис. 5 а. Единичный скачок и его спектр 22! Однако единичный скачок имеет и постоянную составляющую, которая является дискретной составляющей его спектра.
Она может быть найдена из соотношения (5.11), в котором после интегрирования на произвольном интервале [ — Т/2, Т/2] надо сделать предельный переход к значению (/ь при Т - ьь: тм =ф~ 81 т ь т или (/ь = 1/2. (5.30) Таким образом, полный спектр единичного скачка является 'смешанным, включая в себя дискретную спектральную составляющую (5.30) и сплошной спектр, описываемый спектральной функцией (5.29). Этот спектр показан на рис. 5.8, б. Составляющие (5.29), (5.30) смешанного спектра имеют разный физический смысл и неодинаковую размерность.
Поэтому их нельзя складывать непосредственно друг с другом. 5. Ширина спектра. Из предыдущего рассмотрения следует, что в общем случае спектр сигнала занимает бесконечный интервал частот [О, со ]. При этом определение ширины спектра (1.22) нуждается в установлении критериев, по которым могут быть определены граничные частоты спектра 1,. и 1,.„. Любой реальный сигнал с конечной длительностью т обладает конечной полной энергией В' и имеет на интервале т некоторую среднюю мощность р = Р = )Р'/т.
Эта мощность равна суммарной мощности спектральных составляющих сигнала, которая может быть найдена через энергетическую спектральную плотность 5,()) = —: врю ь) (5.3! ) Если бы спектральная плотность 5,(1) была конечной величиной во всем интервале частот [О, ь], то интеграл (5.31) имел бы бесконечно большое значение. Отсюда следует, что спектральная плотность может иметь конечное значение только в ограниченном частотном диапазоне, за пределами которого она должна стремиться к нулю.
Таким образом, всегда имеется вполне определенный ограниченный интервал частот [1,„„„ )„...], в котором сосредоточена подавляющая часть мощности (5.31). Задавшись относительной величиной е = 0,9 —: 0,99 этой части мощности, можно найти указанный интервал частот ЬР„, который определяет ширину спектра в энергетическом смысле: ~з(1)п), брийэ = )ю., — )пш. (5.32) згг Такое определение ширины спектра является довольно громоздким. Во многих случаях оно возможно только с помошью ЭВМ. Далее будут рассмотрены упрошеиные способы аналитического определения ширины спектра (см. $5,4.2).
При ограничении ширины бесконечного спектра конечным интервалом частот Лр„пренебрегают спектральными составляющими, лежащими за пределами этого интервала. За счет отбра-. сывания указанных составляющих гигмпеы претерпевают искажения. Однако они не связаны непосредственно с энергетическими соотношениями, использованными в критерии (5.32). Поэтому наиболее обьективным является определение ширины спектра, при котором ограничение спектра не приводит к искажениям сигнала, превышающим допустимую величину. Определение граничных частот спектра по этому критерию также требует расчетов на ЭВМ.
6. Связь ширины спектра с длительностью сигнала. Важным свойством спектра является связь его ширины с длительностью скгнала. Для доказательства сушествования такой связи рассмотрим среднюю спектральную плотность (5.33) Согласно определениям (5.32), (5.33) величины 5,(г) и 5,е ограничивают на спектральной диаграмме равновеликие площади. На рис. 5.9, а зти площади показаны соответственно вертикальной и горизонтальной штриховками. а) Рпс.
Зтх Знергетнческое апредененне ширины спектра и .тлнтетьнпстн сигнала Из формулы (5.3() видно, что ер = еКггт, т. е. получается усреднение неполной энергии сигнала е Ю' нз интервале т. Это нелогично, как видно из рис. 5,9, б, где показано текущее значение энергии шф сигнала иф. Энергия и, рассеиваемая, например, на некоторой проводимости 6, может быть определена по формулам (!.5) и (2.4). Возрастая неравномерно, но монотонно с течением времени, энергия ш(~) достигает значения Тет к моменту времени т, а значение е))т ~ 'ят 'достигается к моменту време'ни т, ~ т.
Поэтому и усреднение энергии н))т надо производить 223 на интервале т„, который может быть назван энергетической длительностью сигнала. При таком усреднении получаем ер = е)г'/т = ае)г'/т„, (5.34) где и = т,/т — коэффициент, зависящий от формы сигнала и выбранного значения е. Для сигнала с заданной формой н длительностью т изменение его энергии )р' приводит к пропорциональному изменению мощности (5.32) и средней спектральной плотности (5.33), поскольку. при этом ширина спектра Лг"„не изменяется.
Поэтому величина (5.33) и энергия еЖ', соответствующая полосе ЛР,„, пропорциональны друг другу: е )р = )15,0, (5.35) где р — коэффициент, зависящий от формы сигнала и(1) и выбранного значения г. Таким образом, для любого си~нала заданной формы из соотношений (5.33) — (5.35) находим связь между длительностью сигнала и шириной его спектра: т,ЛР„= а6 = С,. (5.36] Здесь С, — константа, которая имеет разные значения для сигнала различной формы и называется базой этих сигналов. Свойство (5.36) играет существенную роль при выборе параметров сигналов. Длительность сигнала необходимо уменьшать, чтобы за единицу времени можно было передать по каналу связи большее количество информации. С другой стороны, ширину спектра также целесообразно уменьшать. Это позволит разместить в отведенном частотном диапазоне большее число каналов связи и облегчит борьбу с помехами. Указанные требования к параметрам сигнала являются противоречивыми, так как согласно свойству (5.36) лри уменьшении, длительности сигнала задинной формы ширина его спектра возрастает.
Поэтому остается альтернативный выбор между уменьшением т. или ЛР,, Можно также использовать сигналы с минимальнымн значениями константы С,, если это допустимо. 7. Полюсы спектральной функции. При 'рассмотрении спектральных функций удобно пользоваться понятием мнимой частоты р =)4ь, называемой также мнимым оператором, При этом спектральная функция (5.18) является вещественной функцией от р: Я(~о) = 3() ы) = 3(р) = — ' ~ и(() е "дй (5 37) Например, спектральная функция (5.27) при использовании формы (5.37) имеет вид рациональной вещественной функции: 5(р) = 1/л(р + ()).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
