Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(5.33) Эта функция обращается в бесконечность на частоте р, = — которая называется полюсом спектральной функции. 224 При этом говорят также о полюсе спектральной функции в точке рь Таких полюсов может быть несколько. Пусть спектральная функция (5.37) состоит из двух слагаемых вида (5.38): — <. ~и+ .( 40)- .(.+5)( .») — .~ г "ь ~~) (5.39) где (11) О, 5~ ~ 0 и а = 5~ + (1, ' (1 = 5<5ь 4 = 4> + Ам В = ' =415з+Афь В силу свойства (5.25) спектральной функции (5.39) соответствует сигнал, являюшийся взвешенной суммой двух экспонент вида (5.26): иЯ= 1(1)(А,е «" + Азе ~"), (5.40) Спектральная функция (5.39) имеет два полюса в точках р, = — 5~ и рз= — 5ь В общем случае спектральная функция 5(р) имеет полюсы в и точках рз (й = 1, 2, ..., и).
При этом по аналогии с выражением (5.39) она может иметь следующий вид: Ф Здесь Е, — некоторая полиномиальная функция от р, рз(р)= И(р — р)= Х п р', (542) й=- ~ а=о значения рз являются корнями уравнения Е~(р) = О, (5.43) а коэффициенты аз — функциями этих корней, как и коэффициенты полинома Еь Величины рз называются также корнями полинома Г~(р). Аналогично сигналу (5.40), имеющему спектральную функцию (5.39), получаем сигнал, соответствуюший соотношениям (5.41) — (5.43): и(1) = 1(1) У А~е"и (5.44) г= 1 Рассмотренные корни рз полинома г"з(р) являются вещественными величинами. Соответственно и полюсы спектральной функции Я(р) = Я(ы) называются при этом вешественными полюсами. Существенно отметить, что в общем случае среди п корней уравнения (5.43) может сушествовать некоторое четное число комплексно сопряженных корней ркм~.п = оз ~ )ыз.
Отсюда следует, что в обшем случае надлежит пользоваться понятием комплексной частоты р = о+)ы, рассматривая ее как комплексную переменную для спектральных функций 5(р). Соответственно при этом говорят о комплексных корнях полинома р~(р), комплексныхчполюсах спектральной функции 5(р) =Я(ы) и комплексной плоскости с координатной системой (о, 1ы). в-~ззз ззз Комплексным корням Р» — — па+)оэе соответствуют слагаемые суммы (5.44), имеющие вид иа(!) = 1(1)Алеки'ь'"" = !(1)Аее и~"", или иа(1) = 1(!)Аье л(сов ма!+15!и юа1).
(5.45) В случае вещественных сигналов (5.44) мнимые составляющие слагаемые (5.45) приводятся, поскольку ил+~(1) имеют такие же составляющие с противоположным знаком. Полюсы функций (5.38), (5.39) находятся на отрицательной полуоси комплексной плоскости р(о, )оэ), поскольку р~ = — (1(О и р~ = — й~ О, рэ= — (3т~ О. Это показано на рис. 5,!О. Если Ра Рг Рк г д т с ц~ Рис. 5.1!.
Нарастаюцгий по экспо. иеите сигнал и его полюс Рис. 5.10. Полюсы спектральиой функции иа комплексиой плоскости бы было, например, 6 = О и р~ = — 6 ~ О, то полюс располагался бы в правой полуплоскости р(о, )ю). Однако при этом сигнал (5.26) превратился бы в бесконечно нарастающую экспоненту, что физически нереально.
Такие же нереальные сигналы соответствуют любым полюсам в точках ра = ос+)юе при оа ) О. Как видно из соотношения (5.45), в, этом случае получаются неограниченно нарастающие колебания. Таким образом, все полюсы спектральной функции любого бесконечно («полубесконечно») протяженного сигнала, который не возрастает неограниченно на бесконечности, расположены в левой половине комплексной плоскости р(о, 1ю), т.
е. в левой полуплоскости Р(а, )ю), как показано на рис. 5.10; ое ( О, Ут = 1, 2, , и, (5.46) Для таких сигналов возможен, однако, случай оь= О, что соответствует спектральной функции (5.29) единичного скачка (5.28) или незатухающим во времени колебаниям (5.45). Эти полюсы расположены на мнимой оси комплексной плоскости р. Возможны также сигналы конечной длительности с полюсами спектральной функции, расположенными в правой полуплоскости р(о, )оэ). Например, экспоненциальный сигнал (5.26) при = — а «-О имеет полюс в правой полуплоскости, но является реальным сигналом, если он существует на интервале [О, т) (рис. 5.11, а, б), 226 б 5.2.
ОБРАтные пРеОБРАЭОВАниЯ спектРА Обратным преобразопаннем спектра называется определенне снгнала по его спектру. Прн нспользоеаннн снмнолнческого метода ноэмомно также определенне сигнала по снмеолнческому отобраменню спектра. Прн этом получается снмаолнческое етображенне сигнала. Особым случаем обратного преобразоэання спектра нэлястсн оаределенне по спектру не самого сигнала, а его энергнн. По заданному нлн найденному днскретному спектру кеазнперноднческнб н перноднческнб снгналы определяют соатеетгтзенно'нз соотношенна (ЗЛ), (6.6).
Прн этом нспользуют подходящне преобразования рядов, еслн онн существуют, нлн пронэзодят чнсленное суммнронанне рядов с помощью ЭВМ. Определение сигнала по его сплошному спектру требует особого подхода. 1. Определение сигнала по спектральной функции. Для определения сигнала конечной длительности по его спектральной функции необходимо преобразовать соотношение (5.12) при 1)†О. Использовав принятые обозначения, сделаем предельный переход к интегралу при Йьс = ш, 0 ь = дУ е '" = о(со)бок 2 (5.47) Это соотношение, позволяющее определить искомый сигнал по его спектральной функции, известно как обратное преобразование (обратный интеграл) Фурье.
Оно обладает свойством взаимности (5.22) н образует с равенством (5.18) пару нзаимно обратных интегральных преобразований. С учетом взаимности эти преобразования используют в литературе и в других формах записи. Для удобства преобразований коэффициенты перед интегралами Фурье (5.18) и (5,47) комбинируют различным образом, отчего результат двойного преобразования (прямого и обратного) не меняется.
В частности, перед интегралом (5.!8) вместо коэффициента 1/я используют один нз следующих коэффициентов: 1,1/2л, 1/-1(2л. При этом перед интегралом (5.47 коэффициент изменяется соответственно на 1/2л, 1 нли 1/ 2я. Однако при таком определении спектральной функции (5.17) ее модуль 60 изменяется по отношению к спектральнои плотности — соотбы ветственно в 1/я, 2 или .!/2/а раз. Для сигнала (5.47) конечной нли полубесконечной длительности надо определить момент начала сигнала То. Если спектральная функция 5(ю) является дробно-рациональной, то сигнал (5.47), как и сигнал (5.44), существует при Т = О, т.е.
То=О. Возможны также спектральные функции вида о',(ю) = л(оз)е~' ', (5.48) где т~ Π— константа, имеющая размерность времени. Из соотношения (5.47) определяют также сигналы со спектральными функциями (5.48): и(Т) = — ~ ол(ю)е'" о я 'йо = и(! .+- т). (5.49) а Эти сигналы повторяют по ц(т+Г) иГ1)»)(Г- ь) фОрМЕ СИГНаЛ и(Г), НО СМЕЩЕНЫ относительно него по оси времени, как показано на рис. 5.!2. Следовательно, начало сигналов (5.49) определяется Рис. 832. смешение сигнала во врс. моментами времени го = ч- т мени т, е.
они существуют прн 1) -~- т. Учитывая симметрию спектра, можно ограничиться областью положительных частот не только при изображении спектральной функции, но и при определении с ее помощью искомого сигнала. Для этого преобразуем интеграл Фурье (5.47) с учетом формул (5.19) и (3.1): и(1) — — ~ 5(со)са дсо — — $ 5(со)соз(ш) — эр(го))сЬд + +1 ~ ~ 5(ш)81п(Ы вЂ” ф(со))дш. Последние два интеграла содержат соответственно четную и нечетную подынтегральные функции, как это следует из свойств (5.23). Поэтому последний интеграл. равен нулю, и остается интеграл Фурье в вещественной форме: и(1) = ~ 5(оэ) соз (со) — ф(ы))с(оэ.
о (5.50) (5,51) где Е~(р) — произвольный полипом; Ез()т) — полинам и-й степени, не имеющий кратных корней р» = рг (й =1), При этом функция (5.51) имеет и полюсов в разных точках р, (й = 1, 2, ..., и), являющихся простыми корнями уравнения (5.43). При принятых обозначениях интеграл Фурье (5.47) имеет вид * В литературе односторонним преобразованием Фурье 1газывают также интеграл Хл~ы) — — — )и01е 'ыйп который является частным случаем интеграла а (8!8) при г»=О, поскольку при этом и108ке = О.
Это соотношение, являющееся односторонним преобразованием Фурье, позволяет определять сигнал по его спектру в области положительных частот". '. Спр;д-л',;..- сг.гнала си пычстаги спектральной функции. В ряде случаев обратное преобразование спектра можно производить без интегрирования спектральной функции. При рассмотрении этих случаев удобно пользоваться мнимой частотой р = ро и функцией 5()оэ) = 5(р). По аналогии с выражением (5.41) представим ее в виде Рассмотрим сигналы, для которых „Р„ все корни уравнения (5.43) удовлетворяют условию (5.46), т.
е. лежат в левой ори полуплоскости р(о, )о»). При этом для ин- Р- теграла (5.52) можно образовать замкнутый контур интегрирования, охватываю- — о— щий все корни р». Как показано на Рг Рг рис. 5.13, этот контур образован мнимой осью )»о и полуокружностью с радиусом »Рх+г Д вЂ” ». оа.
Из курса высшей математики извест- Яп но, что интеграл по замкнутому контуру, охватывающему в комплексной плоскости (1 .) все полюсы нодынтегральной функции ((р), может быть вычислен через вычеты ()хеэЫп) этой функции в указанных по- оаоозооооно фурье люсах: ф((р)с$р = 2п) У (»еэ ) (р»). (5.53) Известно также, что вычет'в простом полюсе р» ~ г"»ф) Ор,"' ' )о=о, Гоп»)е" — Гго») оо (5.54) Из сказанного следует, что соотношения (5.52) — (5.54) определяют сигнал и(г) через его спектр (5.52) в виде 5(р) = — —,' ") =' и(г') 5 во = 2 ' "' е'*', (5.55) оо где р» = о»+)о»» являются корнями уравнения (5.43). Эти корни вычисляют на ЭВМ с помощью стандартной программы. Второе равенство (5.55) называется формулой разложения.
Ее можно преобразовать для сигналов, смещенных во времени, с помощью соотношений (5.48), (5.49): яр) О») емм и())) ~ ~иш) е» и ~»(р) ор (5.56) 229 Формулы разложения (5.55), (5.56) справедливы и в случае полюсов, расположенных на мнимой оси, т. е. при мнимых сопряженных полюсах р»,»о ~ = -Е)о»» и нулевом 'полюсе р„= О. Это можно показать, например, с помощью того же приема, что и при нахождении спектра (5.29) единичного скачка (5.28), т. е. путем предельного перехода при о»- О, а„- О. Тогда при Р„= 0 соотношения (5.55), (5.56) удобно представить иначе, приняв Го(Р) = Ргг(Р)' Рг — Ебрр г(Р (5.57) 5(р) = — — ' с ~" =; и(()!, и ~, = — + ! Ег(Р', ~ г Ег(0) и РЕ»(Р) ' Е (0] г — ! + ю е (Р ) .о„ р ~,) (5.58) Р» — Ег(Р») г)р где р» — корни полинома Ро(р).
Соотношения (5.55), (5.56) можно модифицировать для случая, когда все полюсы спектральной функции р» — о»+)о»» расположены в правой полуплоскости: 3Р) = — — '=' и(())гчо = — У ',Р" е"' 1, (5.59) гг Е»(р) »= г — — Ег(РО ор с(Р) — (Р) е*'* =, и(() ) ч т- = ( Ег(Р) и Е (Р) (5.60) » Е г(рг) г, и и гг ! » = 1 Е'г(Р») о ю»,~о др Изменение знака и временнбй области в формулах разложения (5.59), (5.60) обусловлено обходом контура интегрирования, охватывающего правую полуплоскость, по ходу часовой стрелки, т..
е. в отрицательном направлении. Положительное направление обхода восстанавливается при перестановке пределов интегрирования н формуле (5.52). При этом надо переставить пределы интегрирования и в формуле (5.37), т. е. изменить ( на — г, чтобы ие изменился результат последовательного применения прямого и обратного преобразований Фурье (5.18), (5.47). Если в правой полуплоскости расположена только часть полюсов спектральной функции, то ее надо разложить на сумму двух дробей, одна из которых имеет полюсы только в правой полуплоскости. Тогда к ней применимы формулы разложения (5.59), (5.60), а к другой дроби — формулы (5.55) — (5.58).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
