Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 105
Текст из файла (страница 105)
!~з = ~~0 ~2 ~~4 о !!! !!3 О пределитель Гурвица Л„составляют так: 1) по главной диагонали определителя в порядке возрастания индексов вписывают коэффициенты от а, до а„; 2) в ту часть каждого столбца, которая расположена выше главной диагонали, записывают коэффициенты в порядке возрастания индексов; 3) в ту часть каждого столбца, которая расположена ниже глав- Для суждения о характере корней характеристического уравнения разработано несколько математических критериев. Воспользуемся критерием Гурвица (Рауса — Гурвица).
Критерий (теорема) Гурвица состоит в следующем. для того чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры (Л„А~, ...,Л„!) определителя Гурвица (А„) были больше нуля. Определитель Гурвица ной диагонали, вписывают коэффициенты в порядке уменьшения индексов (до а„включительно). Следствием теоремы Гурвица является лемма: все коэффициенты характеристического уравнения (а, а„а~,...,а„) устойчивой системы положительны.
Из изложенного вытекает, что для системы с характеристическим уравнением второго порядка положительные вещественные корни (или комплексно-сопряженные с положительной действительной частью) имеют место в том случае, если какой-либо из коэффициентов уравнения (ао, а„а,) окажется отрицательным. Для системы с характеристическим уравнением третьего порядка положительные вещественные корни (комплексно-сопряженные с положительной действительной частью) будут в том случае, если: а) какой-либо из коэффициентов (ао, а,, а~, а,) окажется отрицательным; 6) а~ад — аоаз~ О. Аналогичные заключения могут быть сделаны и для систем с характеристическими уравнениями более высоких порядков.
Коэффициенты ао, а„а, ... могут оказаться отрицательными в следующих основных случаях: а) когда в состав исследуемой на устойчивость системы входят нелинейные резисторы, обладающие падающим участком характеристики, а точка равновесия оказывается на падающем участке характеристики; 6) в схемах с чрезмерно большим воздействием выходной величины на входную (в схемах с чрезмерно большой положительной обратной связью).
В этом случае поступление энергии из выходной цепи во входную превышает потребление энергии во входной цепи и приращение Лх возрастает; в) в схемах с управляемыми нелинейными индуктивными катушками (нелинейными конденсаторами) при наличии неявно (в некоторых случаях и явно) действующих обратных связей. В таких схемах обратные связи при определенных условиях приводят к появлению на характеристиках нелинейных индуктивных катушек (нелинейных конденсаторов) падающих участков. Режим работы системы может оказаться неустойчивым, если изображающая точка окажется на падающем участке характеристики управляемой нелинейной индуктивной катушки (нелинейного конденсатора). ф 17.3.
Исследование устойчивости состояния равновесия в системах с постоянной вынуждающей силой. Когда рабочая точка по постоянному току окажется на падающем участке ВАХ, то состояние равновесия в системе при определенных условиях может оказаться неустойчивым. В этом случае применяется известный способ: при исследовании устойчивости нелинейный резистор заменяют расчетной схемой — схемой замещения Она должна учитывать свойства 558 НР как при медленных (при ь-+О), так и при быстрых(при ь — оо) малых приращениях тока и напряжения на НР.
Свойства НР при ь-+-О определяются самой ВАХ НР, снятой при постоянном токе, на падающем участке которой дифференциальное сопротивление И,„,~( О. Если к НР подвести некоторое постоянное напряжение или через него пропустить некоторый постоянный ток такого значения, чтобы рабочая точка находилась на падающем участке ВАХ, и затем воздействовать на НР синусоидальным напряжением или током малой амплитуды, то сопротивление 2((ь), оказываемое НР синусоидальной составляющей малой амплитуды, будет представлять собой комплексное число. Опыт показывает, что при достаточно большой а действительная часть этого сопротивления оказывается положительной, т. е.
Ке Е(уь) О. Объясняется это тем, что физические процессы в самом НР являются процессами инерционными, причем инерционность (сдвиг фаз) сильнее проявляется с ростом частоты. В одних НР инерционность вызвана тепловыми процессами, в других — процессами накопления энергии в электрическом и (или) магнитном полях, в третьих — процессами ионизации и деионизации (которые также протекают не мгновенно), в четвертых — инерционностью процессов диффузии носителей тока и емкостью, обусловленной объемными зарядами. Но чаще всего инерционность есть следствие нескольких взаимно связанных друг с другом процессов. Таким образом, схема замещения НР, когда точка равновесия находится на падающем участке характеристики, по отношению к малым приращениям должна быть такой, чтобы при ь-~-О Келсо) = Р„„Ф~О, а при ь — ~-оо йеЕ(~н) ~О.
На рис. 17.2, а изображена одна из возможных схем замещения для НР с Я-образной ВАХ (рис. 17.2, б), удовлетворяющая перечисленным условиям. В этой схеме ń— некоторая малая индуктивность, которую часто называют «паразитной», Я„„» ~ Й,„~ ~ ~ О— некоторое добавочное активное сопротивление. На рис. 17.2, в изображена одна из возможных схем замещения для НР с Х-образной ВАХ (рис. 17.2, г), где ф— некоторая малая емкость, называемая часто «паразитной», и Р„.„'- Π— некоторое добавочное активное сопротивление. Параметры ~„и й,„„, а также С„и Р„,' зависят от физических процессов в НР и изменяются при переходе из одной точки на падающем участке ВАХ в другую. ф 17.4. Исследование устойчивости автоколебаний и вынужденных колебаний по первой гармонике.
Исходными при исследовании устойчивости автоколебаний и вынужденных колебаний обычно являются уравнения, получаемые по методу медленно меняющихся амплитуд (см. ~ 16.6). Однако в тех случаях, когда напряжение на каком-либо элементе (ток в исследуемой цепи) резко отличается по форме от синусоиды, например имеет пикообразную форму, исследование устойчивости целесообразно проводить по средним за полпериода значениям величин. Если через а и Ь обозначить медленно меняющиеся амплитуды синусной и косинусной составляющих исследуемого колебания, то из исходных уравнений системы можно получить два уравнения для медленно меняющихся амплитуд: с1а/Ж = А(а, Ь); (1?.1) (17 2) с1Ь/Ю = В(а, Ь) В(а„Ь„) = О (17.4) Пусть в результате возмущения амплитуды колебания получили малые приращения Ла и ЛЬ и стали равными: а = а, + Ла и Ьо+ ~Ь.
Подставим эти значения а и Ь в (17.1) и (17.2), разложим А(ао+ Ла, Ьо+ ЛЬ) и В(ао+ Ла, Ь + ЛЬ) в ряд Тейлора по малым приращениям Ла и ЛЬ, в силу малости приращений ограничимся слагаемыми ряда с первыми степенями Ла и ЛЬ. В результате получим: А(а + Ьа, Ьо+ ЛЬ) = А(ао, Ь ) + ЛаА, + ЛЬВ,, (17.5) В(а, + Ла, Ь, + АЬ) = В(ао Ьо) + ~аАя+ ИЮ~. (17.6) Для сокращения записи обозначено: : (17.7) дА(а, Ь)1 1" дА(а, Ь) да ~ ' ' ~ дЬ 560 Здесь А и В являются функциями амплитуд а и Ь, функциями параметров схемы, угловой частоты колебаний со и амплитуды вынуждающей силы.
Обозначим значения а и Ь в установившемся режиме (когда амплитуды не изменяются во времени) через а„и Ь,. Для определения ао и Ьо в (17.1) и (17.2) следует положить с(а/Ю = О и с(Ь/Ж = О и решить систему уравнений: А(ао Ьо) = О' (17,3) (17.8) дВ(а, Ь) дВ(а, Ь) д(ао+ Ла) ~~ ~((ЬО+ ЛЬ) ЫЬ Ж Ж Ж дс В результате получим два уравнения: Ыа/сИ = А,Ла+ В,ЛЬ; (17.9) (17.10) с1М/М = А,Ла + В,ЛЬ. Ллгебраизируем их: РЛа =А,Ла+ В,ЛЬ; (17.9а) РЬЬ = А~Лп + В,ЛЬ.
" . "':; (17.10б) Составим характеристическое уравнение р2+ тр+ ~=0, (17.11) где т= — (А, +А,); о=А,В,— ВА,. (17.13) В соответствии с критерием Гурвица для затухания приращений Ла и ЛЬ необходимо, чтобы т = О, д~О. ' (17.14) В автоколебательных системах периодические вынуждающие силы, как правило, отсутствуют, поэтому можно принять Ь = О, т. е. взять колебание в виде а(1)з(пса1 (см.
пример 164). В этом случае вместо двух уравнений (17.9) и (17.10) будет одно уравнение с1Ла/с1с = А,Ла, (17.15) где А,— (17.16) Для устойчивости автоколебаний в этом случае необходимо выполнение условия А,~ О. Индекс у свидетельствует о том, что в частные производные должны быть подставлены значения а и Ь установившегося режимаа, т. е. ао и Ь,. Коэффициенты А,, В,, А,, В, являются функциями а, и Ь,, но не являются функциями приращений Аа и ЛЬ. Подставим правые части (1?.5) и (17.6) в (17.1) и (17.2), учтя при этом (17.3) и (17.4), а также то, что к г с Рис. 17.3 Пример на исследование устойчивости автоколебаний по формуле (17.15) см.
в ф! 7.6'. й 17.5. Исследование устойчивости состояния равновесия в генераторе релвксационвых колебаний. Релаксационные колебания представляют собой автоколебания, при определенных условиях возникающие в нелинейных электрических цепях с одним накопителем энергии, например в цепи с одним конденсатором (без индуктивного элемента) нли одним индуктивным элементом (без конденсатора).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
