Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 107
Текст из файла (страница 107)
!2. Покажите, что состояние равновесия в схеме на рис. 17.3, б, соответствующее точке 2 на рис. 17.3, д, при определенном условии неустойчиво, а соответствующее точкам 1 и 3 — устойчиво. 13. Изложите идею исследования устойчивости вынужденных колебаний и автоколебаний. 14. Сформулируйте алгоритм исследования устойчивости работы электрической цепи, содержащей управляемые источники напряжения или тока. 15. На рис. 17.5, а изображена схема генератора на туннельном диоде. ВАХ диода дана на рис. 17.5, б: Е = О,ЗВ, 1? = 5 Ом. Построить кривые г, и», и~ в функции времени при автоколебаниях.
Вывести формулу для значения ?., начиная с которого возникнут автоколебания, воспользовавшись схемой замещения (рис. 17.2, в). (От- : 7- 1 СяЯ + 1? „б'Н1? „ф — 1?,„о') 1). Глава восемнадцатая ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ВО ВРЕМЕНИ ПАРАМЕТР"АМИ ф 18.1. Элементы цепей. Электрические цепи с переменными во времени параметрами — это электрические цепи, в состав которых входят резистивные, индуктивные и емкостные элементы, изменя- а) И Ф) г) Рис.
18.! ющиеся во времени (если в состав цепи входит хотя бы один изменяющийся во времени элемент, то она принадлежит к рассматриваемому классу цепей). Угольный микрофон — пример изменяющегося во времени резистивного элемента (рис. 18.1, а). Сопротивление его является функцией звукового давления, оказываемого мембраной на порошок графита.
Индуктивная катушка с незамкнутым ферромагнитным сердечником, который выдвигается из катушки и вдвигается в нее (рис. 18.1, б), — пример переменного во времени индуктивного элемента. Конденсатор, пластины которого раздвигаются и сдвигаются, ие соприкасаясь (рис. 18.1, в), — пример емкостного элемента, изменяющегося во времени. Две индуктивные катушки Е, и ~ (рис. 18.1, а), взаимное расположение которых меняется во времени (например, если одна из них вращается вокруг своей оси, перпендикулярной рисунку), — пример взаимной индуктивности, меняющейся во времени.
Изменение параметров цепи во времени может происходить под действием внешней механической силы или чисто электрическим путем. Параметр цепи может изменяться во времени периодически и непериодически. Рис. 18.2, а — в иллюстрирует несколько различных периодических законов изменения параметров.
ф 18.2. Общие свойства электрических цепей. Несмотря на то что цепи с переменными по времени параметрами являются линейными цепями(описываются линейными дифференциальными уравнениями), они обладают свойствами, сближающими их с нелинейными цепями. Переменные во времени элементы цепи подобно нелинейным элементам являются генераторами высших гармоник тока и напряжения.
В силу этого в цепях с переменными параметрами протекают токи не только тех частот, которые имеют источник вынуждающей силы и переменная составляющая изменяющегося во времени параметра, но и токи множества других частот. Благодаря этому в цепях с переменными параметрами при наличии в их составе индуктивных и емкостных элементов могут возникать резонансные явления на высших и низших гармониках при отсутствии гармоник данной кратности у источника ЭДС. Рис. 18.2 Рис. 18.3 Об братим внимание на то, что амплитуды отдельных гармоник тока в цепях с переменными параметрами линейно зависят от амплитуд остальных гармоник (в нелинейных цепях аналогичная зависимость нелинейна).
Наряду с этим цепи с переменными во времени параметрами обладают линейными свойствами, принципиально отличающими их от нелинейных цепей. В них амплитуды гармоник тока и напряжения пропорциональны амплитуде вынуждающей силы. Другими словами, если ЭДС источника увеличить вдвое, то и амплитуды токов н напряжений увеличатся вдвое.
В цепях с нелинейными элементами, где имеет место насыщение, такой пропорциональности, как известно, нет. Ранее отмечалось, что изменяющиеся во времени элементы цепи являются генераторами высших гармоник. Убедимся в этом на простейшем примере. На рис. 18.3 изображена схема, состоящая из источника постоянной ЗДС Е и резистора й, сопротивление которого изменяется во времени в соответствии с кривой (рис. 18.2, б): Й(~) = Й,(1 — А81пь|).
(18.1) Ф(1 По закону Ома, ток в цепи (18.1а) й(~) Р ! — Ая~~~ Известно, что функция 1/(1 — х) при 1х ~ «1 может быть разложена в степенной ряд: 1/(1 — х) = 1 + х + х'+ х'+ ... + х" (18.2) Роль, которую играет х в (18.2), в (18.1а) выполняет йяпо~. Поэтому при 1~1 (18.3) — = 1+ ИМпв1+ й яп Ы+ А~яп Ы+ .. ~о Воспользуемся известными из тригонометрии формулами яп'а = 0,5(1 — соэ2а); яп'а = — 0,25япЗа + 0,75япа; яп4а = 0,375 — 0,5соэ2а + 0,125соэ4а и объединим слагаемые правой части ряда (18.3) с аргументами одинаковой кратности.
В результате получим = (1 +. 05йг + 037514+ ) + (А + 0,25йз+ ...)япЫ— ~~0 — (0,5~8 + 0,514 + ...) соэ2Ы вЂ” (0,25йз + ...)э1пЗсо1 + .. Таким образом, несмотря на то что в цепи (рис. 18.3) включен источник постоянной ЭДС, а переменная составляющая сопротивления резистора изменяется по закону синуса с частотой ь, ток имеет и высшие гармоники (частоты 2со, За). Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока нелинейно зависят от коэффициента К но линейно зависят от ЭДС Е. Обратим внимание также на то, что при ЙФО постоянная составляющая тока в цепи (рис. 18.3) не равна Е(К„, т, е. в схеме наблюдается своеобразный выпрямительный эффект.
Энергия, выделяющаяся в виде теплоты в цепи с переменными во времени параметрами, доставляется не только источниками ЭДС (тока), имеющимися в цепи, но и теми внешними источниками (иапример, механическими двигателями), которые совершают работу при изменении параметра (параметров) цепи. Какую долю энергии доставляет источник ЭДС, а какую дает внешний источник, совершающий работу при изменении параметра, для каждой цепи с переменными параметрами следует рассматривать применительно к конкретным условиям. Доля энергии, доставляемая внешним источником, может составлять в одном предельном случае нуль, в другом — 100 '4. ф 18.3. Расчет электрических цепей в установившемся режиме.
Если переменный параметр изменяется во времени периодически, претерпевая резкие скачкообразные изменения (см. рис. 18.2, а), то расчет цепей целесообразно проводить с помощью классического метода расчета переходных процессов. В этом случае постоянные интегрирования определяют, исходя из законов коммутации и периодичности процесса. Если же переменный параметр изменяется так, что его можно представить в виде постоянной составляющей и одной или нескольких синусоидальных составляющих, то расчет производят, применяя метод гармонического баланса. Метод гармонического баланса применительно к нелинейным цепям был рассмотрен вф 15.49.
Основные его положения и здесьте же. Последовательность расчета такая: искомый ток (любая другая величина) изображают в виде ряда Фурье 568 Рг Рис. 18.4 ~ = /о + Гпяпго| + /12созго~ + Р„з1п2гв~ + /22соз2го| + .. Задана сводится к определению двух постоянных: С1 и С2 При 1=0 1=/2., следовательно, (18.4) /2=Е/Л,+С,. Полученное выражение для тока подставляют в дифференциальное уравнение цепи и выделяют из него уравнение, выражающее собой равенство постоянных составляющих левой и правой его частей, уравнение, выражающее собой равенство синусных составляющих левой и правой частей, и т. д. Каждое из этих уравнений в общем случае содержит несколько неизвестных (1о, Уп, 1д2, 12,, 122), но является линейным уравнением относительно этих неизвестных (в этом отличие от нелинейных цепей).
Далее решают систему линейных уравнений относительно /о, 1ц, /,2, 120 / Метод гармонического баланса можно применять к расчету цепей, содержащих несколько переменных во времени параметров (например, изменяющееся во времени резистивное сопротивление и изменяющуюся во времени индуктивность), причем характер изменения во времени ЭДС (тока) может быть по любому периодическому закону. Пример 167. В схеме на рнс. !84, а ЭДС Е источника ЭДС и индуктивность Е катушки постоянны, а сопротивление резистора Я(1) меняется в соответствии с рис.
18А, б. Определить закон изменения тока в установившемся режиме. Р е ш е н и е. Так как сопротивление изменяется периодически, то и ток изменяется периодически Обозначим значение тока в момент 1=0 через Х2 В этот момент сопротивление цепи скачком возрастает от И2до К~ н ток в цепи начинает уменьша1ься. В момент 1=т ток принимает значение 71 и сопротивление скачком уменьшается с й1 до Р2. Последнее приводит к тому, что ток начинает увеличиваться. В первом интервале времени от 1=0 до ~=т ток можно представить в ниде суммы принужденного Е/К~ и свободного С1е~1~ токов, причем Р~ —— — К1/Š— корень характеристического уравнения цепи РЕ+й~ — — О, С~ — постоянная интегрирования., ° . Во втором интервале времени от 1=т до 1=2т Е 1= — +С2е~2' '; Р2= — Й2/ь.
~2 Прн 1=т 1=1п поэтому (18.5) Е 1,= — +С,ер!'. 1 — р 1 Начальное значение тока для второго интервала времени 1~ можно найти и иначе: Е 1! — — — +С2 1~2 К концу второго интервала времени, когда 1=2т, 1=12, 1 =Е/Я +С е 2'. Приравнивая правые части уравнений (18.4) и(18.7), получим ŠŠ— + С~ — — — + С2ер2'. М, й2 Аналогично, из уравнений (18.5) и (18.6) следует, что ŠŠ— +С +С ел~'. 2 11 1 Совместное решение двух последних уравнений дает (18.8) а(1 — еи2т) 1 еР~т+Р2т (18.9) Е Е С2 — — — а+Сне ~~; а= — —. я ъ; 1~2 1~1 (18.10) (18.11) подставляем ток ~=1о+1ыяпЫ+1~2совв1+12~в~п2ь1+122сов2Ы.
Выделив постоянную составляющую, получим уравнение й!о — — Е. (18.12) Равенство коэффициентов при в1пЫ в обеих частях (18.10) после подстановки в него(!8.11) и деления на сдает Е,„ (18.13) 1„— а1,2 — 0,5йа12~= — совф 21 р Приравняв коэффициенты при совЫ (после деления на Я), получим Е а1, +1,2 — 0,5Иа122 — — — айо+ — в1пф; (18.14) 570 В первом интервале времени 1=Е/Ц+С,ер~~, во втором 1=Е/К2+С2е~У '~. Кривая 1=1(1) показана на рис. 18.4, в. Пример 168. В схеме на рис.
18.4, г ЭДС е=Е+Е„,в1п(ь|+ф), 1=1.о(1+йв1пь|) (1~1), сопротивление Я не является функцией времени. Определить постоянную составляющую, а также первую и вторую гармоники тока. Р е ш е н и е. В дифференциальное уравнение д Б+ — ~1л)=Е+Е в1п(Ы+чЯ 61 Рис. 18.5 при з1п2со1 (18.15) аИ „+/21 — 2аl22 — — 0; при соз2гв1 (18.16) а И 12+2а!21+/22=0 а=ГВ ~-о/1Г- (18 1?) Е Е 1+4а2 05а2й2 М= — созф Ф= — з1п1г — аИо, 'а= Р Р О 1+4 2 ай а(1+4а2 — а~а 2) 2а~й т — , Р— У= 1+4а2 1+4а2 1+4а2 Изменяя постоянную ЭДС Е в схеме на рис. 18.4, г, можно управлять переменным током.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
