Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Из состояния 1 в Р состояние 4 сердечник может быть переведен и иным путем — путем воздействия на него несколькими следующими друг за другом импульсами одинаковой полярности, для каждого из которых ~(Н,„— Но)о1 ~ М. После первого импульса рабочая точка о перейдет из положения 1, например, в положение 2, после второго из положения 2— в положение 8, затем из положения 8 — в положение 4. й $6.14. Фазовая плоскость и характеристика областей ее применения. Качественное исследование процессов в нелинейных электрических цепях, описываемых дифференциальными уравнениями первого и особенно второго порядков, в ряде случаев производят с помощью фазовой плоскости. Фазовой плоскостью (ФП) называют плоскость, по осн абсцисс которой откладывают исследуемую величину (напрнмер, х), а по оси ординат — производную от исследуемой величины дх/ог(обозначим ее у).
В литературе можно встретить и другие виды фазовых плоскостей, когда: 1) по оси абсцисс откладывают какую-либо одну величину (например, ток первой ветви), а по оси ординат — другую (например, напряжение на конденсаторе во второй ветви); 2) по оси абсцисс откладывают амплитуду синусной составляющей колебания, а по оси ординат — амплитуду косинусной составляющей колебания н т. д.
В каждой конкретной задаче под х понимают ток, напряжение, заряд илн индукцию. Любому сочетанию значений х и у исследуемой цепи соответствует вполне определенная точка ФП. Для качественного исследования процессов в электрических цепях, описываемых уравнениями третьего порядка, применяют трехмерное фазовое пространство. На одной оси декартовой системы этого пространства откладывают значение функции х, на другой — дх/д1, на третьей — о х/оГ . Качестненное исследование — это выявление общих свойств исследуемой цепи без интегрирования нелинейного дифференциального уравнения.
Под общими свойствами понимают обычно зависимость характера переходного процесса от начальных условий, возможность возникновения в схеме автоколебаний, резонансных явлений, автомодуляцин, а также устойчивости перечисленных режимов и режим~)в равновесия. Эти вопросы в ряде случаен можно решить и иным путем, без привлечения ФП. Применение последней делает исследование более наглядным и оправдано н тй случаях, когда объем работы соизмерим нли меньше объема работы при решений тех же задач иными методами. Обычно ФП применяют для исследования процессов в электрических цепи~, содержащих источники постоянной ЭДС и не содержащих источники периодической ЭДС.
Однако ее можно использовать н для изучения процессов н цепях, содержащих источники сннусоидальной (и постоянной) ЭДС, если предварительно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений, к уравнениям для медленно меняющихся составляющих. $16.!5. Интегральные кривые, фазоввя траектория и предельный цикл. Зависимость у = ~(х), получаемая из решения дифференциального уравнения системы. представляет собой семейство кривых на ФП, соответствующих различным значениям постоянных интегрирования. Кривые у =~(х), соответствующие различнь)м начальным условиям, называют интегральными.
Начальное положение изображающей точки на ФП определяется значениями х и у = йх/д1 при 1 = О. Интегральную кривую, проходящую через точку ФП с заданными начальнымн условиями, называют фазовой траекторией. 550 Рис.
16.11 Вид фазовой траектории зависит от конфигурации схемы, характера нелинейности и соотношения между параметрами. Если процесс в цепи является периодическим, то через интервалы времени, равные периоду процесса, соответствующие друг другу значения х и у повторяются и фазовая траектория в этом случае является замкнутой кривой. Замкнутую фазовую траекторию называют предельным циклом. Если интегральные кривые и снаружи и изнутри навиваются на предельный цикл, то его называют устойчивым, если удаляются от него — неустойчивым. Если же процесс непериодический, то фазовая траектория представляет собой незамкнутую кривую. Фазовую траекторию можно наблюдать на экране электронно-лучевого осциллографа С этой целью на одну пару отклоняющих пластин его подают исследуемую величину х, а на другую пару — производную от х.
9 16.16. Изображение простейших процессов на фазовой плоскости. Рассмотрим несколько простейших примеров. Требуется изобразить на ФП переходный процесс в схеме на рнс. 16.11, а, вызываемый при нулевых начальных условиях замыканием ключа. Обозначим:(в ток в цепи, ис — напряжение на конденсаторе.
В уравнение цепи Ф + ис —— Е вместо ~"с 1 подставим С вЂ”: М "ис Ж ЯС вЂ” +и =Е. Положим ис — — х, оис/М = у, тогда у = (Š— х)/(ЙС). Последнее уравнение описывает прямую аЬ (рис. 16.11, б), которая является фазовой траекторией рассматриваемого процесса (точка Ь вЂ” точка равновесия). Рассмотрим изображение на ФП синусоидального колебания(= ! з(пЫ (рис. 16.11, в). ох Обозначим 1 = х, тогда у = — = га! совЫ, т.
е. х = 1 з(пЫ, у = Ы созЫ. Разделив первое уравнение на /~, второе — на юУм, возведя в квадрат получен- 551 а) Рис. 16.12 ные выражения и сложив нх„получим уравнение эллипса (4 '14-' Следовательно, изображением синусоидального процесса (фазовой траекторией) на ФП является эллипс (рис. 16.11, г). Направление движения изображающей точки показано стрелкой. В верхней дх полуплоскости у = — )О: следовательно, изображающая точка движется в сторону й ох увеличения координаты х.
В нижней полуплоскости — (О, поэтому изображающая д! точка движется в сторону уменьшения координаты х. В целом перемещение изображающей точки на ФП происходит всегда по часовой стрелке. $16.17. Изоклины. Особые точки. Построение фазовых траекторий. Тангенс угла наклона„образованного касательной к интегральной кривой в некоторой точке ФП и осью абсцисс, определяет значение ду/дх в этой точке. Совокупносты очек ФП, для которых ду/дх = сопз1, называют изоклиной.
На ФП можно провести множество изоклин, каждой из которых соответствует свое значение. Для всех точек ФП, отражающей процессы в цепи второго порядка (кром~е особых точек), ду/дх имеет вполне определенное значение. В особых точках (ОТ) ду/дх = О/О, т. е.
не определено. Через эти точки может быть проведено множество изоклин с различными значениями оу/бх. ОТ классифицируют по виду интегральных кривых, окружающих эти точки. Если ОТ окружена эллипсами (рис. 16.11, д), то ее называют ОТ типа центр; она соответствует двум мнимым корням характеристического уравнения, Если ОТ окружена свертывающейся спиралью, то ее называют устойчивым фокусом (рис.
16.11, е); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с отрицательной действительной частью. Если ОТ окружена раскручивающейся спиралью, то ее называют неустойчивым фокусом (рис. 16.11, ж); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с положительной действительной частью. Если корни отрицательные и действительные, то ОТ называют устойчивым узлом (рис. 16.! 1, з). При положительных действительных корнях получают ОТ типа неустойчивого узла (рис. 16.! 1, и).
Когда один корень положителен, а другой отрица телен, имеем ОТ типа седла (рис. 16.11, к). Рассмотрим переходный процесс в схеме на рис. 16.12, а, вызываемый замыкани ем ключа при нулевых начальных условиях: Е = 1 В; Я = 1 Ом; Е = 1! н; С = 1 Ф. 552 Рис. 16.13 Построим семейство изоклин для напряжения на конденсаторе ис. Определим положение и тип ОТ. Построим фазовую траекторию переходного процесса. (1 дис пис дис В уравнении цепи ЕС вЂ” — + йС вЂ” + ис = Е заменим ис на х, — на у, д1 М й И <1 ду и'х пу — у на — — = у- — и учтем, что Ь = Я = С = Е = 1. Решим уравнение дх Ж пх и'у у — + у + х = ! относительно у и ду/дх: Йх 1 — х 1 + ду/йх' ду 1 — х — у дх у Из уравнения (б) следует, что координаты особой точки у = О, х =!.
Последовательно придавая ду/пх значения О, 1, 2, ..., — 1, — 2, оо„строим семейство изоклин (рис. 16.!2, б). Все изоклины проходят через ОТ и представляют собой прямые линии (цепь линейна). Масштабы по осям х и у приняты одинаковыми. Черточки на каждой изоклине характеризуют значение ду/пх для нее. дис Так как х(0) = ис(0) = О и у(0) = — = О, то к началу процесса изображают! о щая точка находится в начале координат.
В установившемся режиме х = 1 и у = О. Для построения интегральной кривой из исходной точки х = у = 0 проводим два луча до пересечения с изоклиной ду/дх = ! в точках т и а. Первый луч соответствует значению ду/дх = оо той изоклины, с которой начинается движение, второй — зна~1у чению — = 1 следующей изоклины, на которую точка перейдет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
