Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Подставив хо в (16.41) и учтя, что з1пасоз~а = 0,25з1па + 0,25з1пЗа, получим Рх — 2+ оРх!= — а!Ао(1 — 0,25А~ц)з1пе~+Ао~!созсп|+0,25а!Аодз1пЗгп|. (16.43) Уравнение (16.43) можно трактовать следующим образом: на колебательный ЕС-контур без потерь (левая часть уравнения (16.43)] воздействуют вынуждающая сила с угловой частотой и!, равной собственной частоте колебательного контура, и сила с угловой частотой, в три раза большей. Известно, что если подключить колебательный 1.С-контур, имеющий активное сопротивление й -~ О, к источнику синусоидальной ЭЛС Е з!пЫ при оговоренных условиях, то амплитуда тока в цепи будет нарастать до бесконечности. Действительно, Е Е + 1 = — з1пв1 — — е з1п(гв1 + т).
пр св р й (16.44) + Е!з1пЗЫ + Е!созЗЫ. Первое и второе слагаемые представляют собой полное решение однородного уравнения; четвертое и пятое — частное решение неоднородного уравнения. Третье При й — 0 ч - 0 и б =. Р/(2Е) — О. Разложим е ~~ в ряд и„учитывая малость б, возьмем два первых члена ряда.
В Е результате получим !' ж — 1в1п!01. 2Е Такие члены в решении дифференциальных уравнений, амплитуды которых нарастают теоретически до бесконечности при увеличении времени 1, называют вековыми. При дальнейшем решении уравнения (16.43) необходимо помнить о том, ,что амплитуды вековых членов должны оказаться равными нулю при любом 1 ) О. Р е ш е н и е (16.43) запишем следующим образом: х! — — А!з1п!п1 + В!спасова+ (С!з1пЫ + Е!!созе|)1 + слагаемое представляет собой вековой член.
Его можно было бы не вводить в дальнейшие выкладки по определению коэффициентов А и Вп Еп Гп С,, Оп однако введем его, чтобы показать, что его присутствие выкладкам не помешает. Дважды продифференцируем (16.44) по времени: 2 ° 2 х! —— — А,ь з1пь! — В!ь соаь1+ С!ьсовь! — В!ьа!пь!+ + ь(С,соэь! — Й,э1пь!) — !ь~(С1а!пь! + В1совь!) — 9ь Е,э1пзь!— (16.47) 2ьс, = Ао),; — 8ь~Е, = 0,25ьАоз, 8ь~Г, =О. (16.48) (16.49) Слагаемые (16.43) с вековыми членами дают нуль: !(С з1пь! + О,соаь!)(ь2 — ь~) = О.
(16.5О) Используем также заданные начальные условия для определения Ап Вп Сп Оп Еп Еп Так как начальные условия уже были удовлетворены при определении хо, то для всех последующих приближений начальные условия нулевые. Имея это в виду, из (16.44) находим х,(0) = В, + Г~ — — О. В соответствии с (! 6 49) Г1 — — О, поэтому В! — — О. Из уравнения (16 44), используя условие х!(0) = О, получим А, +И, +ЗьЕ, =О.
Но,0! и Г! известны из(16.44) и(1648), поэтому л = — зе,= — л. 3 32ь Поправку на угловую частоту )и а вместе с тем и значение Ао найдем исходя из того, что амплитуда векового члена должна быть равна нулю при любом !-: О. Отсюда С! — — 0 и й, = О. Из (16.47) следует, что 1! — — О, а из (16.46) — что Ао — — 2: 3, Ао А = — Аз В =0 С =0 =О,Е = — —,Г =О,ь=ь. — О ! — » ! — ! — 1 — ° 1 — — О.
32ь ' 32ь' Ограничившись первым приближением и перейдя от р. к яп получим 3 з. Ло х = хо + рх! —— Аосозь! + А1( А~оэ(пь| — — в! пзь|). 32ь 32ь Перво привело к изменению амплитуды первой гармоники с Ао = 2до2 и к появлению третьей гармоники. 2ь Угловая частота первой гармоники в первом приближении не изменилась и равна угловой частоте ьо нулевого приближения. Аналогичным образом производится и второе приближение. Однако каждое последующее приближение по сравнению с предыдущим более трудоемко. 540 — 9ь~Г!совзь1.
(16.45) Подставим (16.44) и (16.45) в (16.43), выделим из левой и правой частей (16.43) слагаемые соответственно с в!пь! [формула (!6.46)[, соаь! [формула (16.47)), э!пЗь! [формула (16.48)1, соазь! [формула (16.49)[: 0 ~ —— 0,5А о(! — 0,25А ф; (! 6 46) В основу данного метода положены работы французского математика Пуанкаре по небесной механике. Метод называют методом малого параметра потому, что в нем производят разложение решения в ряд по степеням малого параметра.
Насколько этот параметр должен быть мал в каждом примере, заранее сказать нельзя. Важно, чтобы ряды для х и для а~ или ь сходились. Если ряды будут сходиться медленно или вообще не будут сходиться, то пользоваться этим методом не имеет смысла. ф 16.8. Метод интегральных уравнений. От нелинейного дифференциального уравнения можно перейти к интегральному, используя одну из форм записи интеграла Дюамеля.
Поясним идею этого перехода. Решение линейного дифференциального уравнения, например уравнения )д~ — + а~ — + аох= ~(1), может быть записано в виде х(~) =У(~)а(0) +$Ф)а'(~ — М . о (а) Под д(~) понимают переходную проводимость, либо переходную функцию в зависимости от того, чем является х по отношению к вынуждающей силе ~(Е); д(~) определим как решение (а) при Я~) = 1. Если исходное уравнение нелинейно, например дх й~ — 2+ а| ~ + аох + Ьх = Щ, то нелинейный член ох' можно перенести в правую часть и рассматривать как внутреннюю вынуждающую силу: дх Йх 2 — + а1 — + аох = Щ) — Ьх .
,) ~2,) ~ (в) Используя (б), запишем решение уравнения (в): х = (~(1) — Ьх~(1)]д(0) + ~ [~(х) — Ьх~(т))д (1 — т)сИ. (г) о Переходная функция ф~) определяется по линейной части исходного нелинейного дифференциального уравнения при воздействии на нее 1(1). Уравнение (г) является интегральным уравнением по типу Вольтерра второго рода. Его можно решать методом последовательных приближений, полагая хо(1) = х(0) и пользуясь таким соотношением для й-го приближения: х,(о = ф ш) — ьх2,(к) дд(0) + $ фт) — ьх2,(т) фд( к — т) дт.
о Рис. 16.6 Метод имеет смысл применять только в том случае, когда про- цесс последовательных приближений является сходящимся. дх Пример 165. Решить уравнение — + х~ = 1 при х(О) = О. Ф Р е ш е н и е. Для определения д(1) на линейную часть системы воздействуем дх единичным напряжением — = 1; я(Ф) = Ф; д(1) = 1; д(О) = О; я'(Ф вЂ” т) = 1.
Записы- В ваем рекур рентное соотношение: хд(1) = ~ 11 — х~~,(т)1дт; о 1з х, = (,)т = 1; х, = 1 (1 — тз)йт = 1 — —, 3 13 ~15 17 т )211 з=~ 3 3 15 бз ф 16.9. Переходные процессы в цепях с терморезисторами. Методику рассмотрим на примере схемы (рис. 16.6, а). Переходный процесс вызван замыканием ключа К Полагаем, что температура окружающей среды й неизменна. ВАХ термистора при температуре ет представлена на рис. 16.6, б кривой а.
Установившийся режим до коммутации определяется точкой 1, после коммутации — точкой 3. Сразу после коммутации сопротивление термистора (он обладает большой постоянной времени) остается равным его сопротивлению Уг до коммутации рг, = —. При коммутации изображающая точка 1 у скачком перемещается из положения 1 в положение 2. После этого она по некоторой траектории перемещается из 2 в 3. Режим в точке т будем полагать устойчивым (в ф 3.10120] разобрано, как исследовать устойчивость этого режима).
Переходный процесс описывается уравнением теплового баланса Рис. 1б.7 (а) )Т где С вЂ” — теплота, идущая на увеличение теплосодержания тела т ~~ термистора; С, — удельная теплоемкость; Т вЂ” среднеобъемная абсолютная температура тела термистора; Й(Т вЂ” Й) — теплота, отдаваемая в окружающее пространство; РР— теплота, выделяемая в термисторе. Полагаем, что за время переходного процесса й и С практически неизменны. Сопротивление термистора й = й е~~г (см., на- ЛЕ пример,(20]); Я вЂ” сопротивление термистора при Т оо; й = —, 1 где ЛŠ— усредненная энергия активации, Й, — постоянная Больцмана.
Например, для термистора ММТ-1 8=46001 и Р = 5,5 Ом. Из уравнения (а) следует, что т, Здесь ЦТ) = й е / — Й(Т вЂ” Й). ~+ ~ н~т (в) Верхний предел интеграла в (б) изменяется от Т, до Т;. В В Утз !пф./й )' з 1п(Я./Я )' 'ъ ! 543 ф 16.10. Переходные процессы в цепях с управляемыми нелинейными индуктивными элементами. Типичный представитель такого класса цепей представлен на рис, 16.7, а. Управляемая цепь образована источником синусои- дальной ЭДС е(Х) = Е в]п(Ы + ~), двумя обмотками ы нелинейного индуктивного элемента, расположенными на двух одинаковых магнитных сердечниках (сечением 5, длиной средней магнитной линии Х), и резистором сопротивлением Й,с Управляющая цепь образована источником постоянной ЭДС Е,, резистором сопротивлением й и двумя обмотками ыо, расположенными на тех же сердечниках. Переходный процесс вызывается замыканием ключа К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
