Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1092038), страница 31
Текст из файла (страница 31)
На практике при Р, «1 часто пользуются верхней грани- Рис. 3.29. Зависимость вероятности ошиб- ки различения е сигналов со случайными начальными фазами 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов цей вероятности ошибки Р <(т — 1)ехр(-Е!2Ие'у!2, совпадающей с первым членом суммы (3.152). 3.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума 3.5.1. Обнаружение сигнала Пусть колебание на входе приемника имеет вид и(г) = Ов(г)+ п(г), н=Оя+н, где н = (и,, и„..., х ), з = (в,, в,,..., е ) и и = (п„пз,..., п„) — векторы принятого, полезного и шумового сигналов соответственно, причем и, =и(г,), е, =д(г,) и п, =п(г,), 1=1,2,...,т; г„„.,г — моменты наблюдения, выбираемые в соответствии с теоремой Котельникова. Поскольку шум не является белым, то шумовые отсчеты будут коррелированы.
Обозначим через К„корреляционную матрицу шума. Оптимальный обнаружитель, по-прежнему, должен вычислить отношение функций правдоподобия 1(н) = и (н~Н, )/ и (н ~Не) и сравнить его с порогом С, значение которого определяется используемым критерием (см. В 3.3). В рассматриваемом случае плотности вероятности и (н 1Н,) и и'(и~Не) определяются п-мерными нормальными законами распределения: и(н(Н,) = „ыз ехр~ — (н-а) К„(н-я), (2л)" 1К„) ' 2 ( )и )= «р~ — 'я„ 1 1 (2 )л/2~К ~н2 1 2 " ) (3.153) (3.154) где ~К„~ — определитель матрицы К„, К„' — матрица, обратная матрице К„, и — я и н — вектор-столбцы, элементами которых служат отсчеты иЦ)-е(г,) и и(~,), 1=1,2,..., т, соответственно.
132 где Π— случайная величина, принимающая значения 1 и О с вероятностями р и 1 — р; е(г) — полезный сигнал, параметры которого известны, п(г) — гауссовский шум с корреляционной функцией й„Я. Рассмотрим сначала дискретную обработку сигналов.
При этом наблюдается выборка 3.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небееого шума С учетом соотношений (3.153) и (3.154) находим решающее правило: ехр — — (и-в) К (и-в) и, 2 И 1(и)— ехр — — в'К„в (3.155) Заметим, что в случае белого шума К„= о„1, где 1 — единичная -1 -2 диагональная матрица, и выражение (3.155) переходит в (3.50). Логарифмируя обе части неравенства (3.155), после преобразований получим и~ 1п1(и)= — (-в'К„'в — в'К„'в+в'К„'в) ~( ЬС. (3.156) и, Матрица К„~ является симметрической.
Поэтому в'К„'в =в'К„'в и выражение (3.156) приводится к виду и, "К ' в'К„'в ~( 1пС+ " =Сг (3.157) Поскольку параметры сигнала и статистические характеристики помехи известны, правая часть неравенства (3.157) может быть заранее вычислена. Позтому существенной является лишь нахождение величины и = и'К„в . Техническая реализация алгоритма (3.157) многообразна. Приведем основные схемы построения оптимальных обнаружителей 129, 301. Решающее правило (3.157) можно представить в одной из следующих форм: и, в'в' ~ С, и, (3.158) или и( в'в ~( С„ и, (3.159) 183 где в'=К„'в, и'=К„и, В соответствии с неравенствами (3.158), (3.159) на рис.
3.30 представлены структурные схемы оптимального обнаружителя. Первая (рис. 3.30, а) отличается от схемы оптимального обнаружителя сигнала на фоне белого гауссовского шума тем, что вместо координат вектора в используются координаты вектора з', хранящиеся в запоминающем устройстве 3. Основы лзеории обнаружения и различения сигналов Рнс. З.М.
Структурные схемы оптимального обнаружителя: а — с преобразованием полезного сигналж б — с матричным фильтром (ЗУ), а вторая (рис. 3.30, б) — наличием матричного фильтра с т входами н лз выходами, осуществляющего преобразование входного вектора и: н'=К„'н, или, чтото же самое, и,' =,) Я„„-и . /! Возможна и другая реализация оптимального обнаруясителя. Поскольку матрица К„является симметрической, то ее можно представить в виде К„= 1Л.', где Ь вЂ” нижняя треугольная матрица. Прн зтом обратная матри- ца имеет внд К„~ =(1.') ~ Ь ~ = У'У, где У = 1 1 — также является нижней треугольной матрицей, и решающее правило (3.157) можно представить в виде н'У'Уя = н„'я„~~ С,, (3.160) где (3.161) и„= Ун, я„= Уя.
К = М~п„п„'~ = УМ~па') У' = = УК„У' = У(У'У)-'У' = 1. Фильтры, осуществляющие декорреляцию шумовых отсчетов, получили название обеляющих. Рнс. 3.31. Структурная схема оптимального обиаружителя 184 Структурная схема оптимального обнаружителя в соответствии с (3.160) представлена на рис. 3.31. Она отличается от схемы оптимального обнаружителя сигнала на фоне белого гауссовского шума наличием двух матричных фильтров, осуществляющих преобразования (3.161).
Заметим, что на выходе матричного фильтра шумовые отсчеты оказываются некоррелированными с дисперсиями, равными единице. Действительно, 71 корреляционная матрица шумовых отсчегов является единичной: 5.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума Таким образом, в соответствии с алгоритмом (3.160) проводят сначала декорреляцию координат входного вектора, а затем его обрабатывают так же, как при приеме сигнала на фоне белого гауссовского шума. Для обеспечения декорреляции координат входного вектора можно использовать ортогональные преобразования. Поскольку корреляционная матрица К„ является симметрической, то всегда можно найти ортогональ- ное преобразование 9 такое, что 9'КЯ = Р, где 9 — ортогональная матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы К„; Р— диагональная матрица с элементами Х„1 = 1, 2,..., и, на главной диагонали, равными собственным значениям матрицы К„.
Соответственно, обратная матрица К„' находится следующим образом: (3.162) где Р ' — диагональная матрица с элементами на главной диагонали, равными 1/Хь 1 = 1, 2,..., т. Таким образом, решающее правило с учетом соотношений (3.162) можно представить в виде и, н, (3.163) 185 где не =9'н, я =9'з. В соответствии с алгоритмом (3.163) на рнс. 3.32 представлена структурная схема оптимального обнаружителя. Преобразователь (матричный фильтр) 9 обеспечивает декорреляцию координат входного вектора н.
Все рассмотренные алгоритмы (3.158) — (3.160) и (3.163) обеспечивают одинаковую помехоустойчивость. До сих пор предполагалось, что координаты векторов н, з и п получаются в результате временной дискретизации непрерывных реализаций и(г), в(Г) н п(1) в соответствии с теоремой Котельникова. При этом в условиях действия небелого шума шумовые отсчеты оказываются коррелированными„что усложняет обработку сигнала. Однако разложение Котельникова не является единственным. Как известно (8, 30] (см.
также з 2.4), случайный процесс, имеющий непрерывную корреляционную функцию, можно разложить по любой ортогональной системе функций в виде (2.26). Очевидно, что целесообразно для этого выбрать такую ортогональную систему, чтобы коэффициенты разложения (2.25) были некоррелированы, т.
е. использовать разложение Карунена — Лоэва. 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов При выборе системы ортонормированных функций, удовлетворяющих интегральному уравнению (2.35), коэффициенты разложения и,, ! = 1, 2,..., и, гауссовского стационарного процесса л(т) с нулевым математическим ожиданием будут представлять собой независимые гауссовские величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями о, = Хн 1=1, 2,..., и, 2 где 2„— собственные числа ядра К„(г', г) интегрального уравнения (2.35).
' Распределения и(н~Н,) и и(и~Но) будугиметьвнд (3.164) (3.165) где и, и з, — коэффициенты разложения входного и(г) н полезного з(2) сигналов по используемой системе ортонормированных функций. С учетом соотношений (3.164) и (3.165) находим логарифм отношения правдоподобия 1п 1(н) = ,'> — '' — ,'1 — ' и,з, х, ,, 2.. он 21, Соответственно, алгоритм работы оптимального обнаружителя будет Рне. 3.32. Структурная схема оптимального обнаружителя 3.5.
Оптимальный прием еигнаеов на фоне небелого шума Рнс. 3.33. Структурная схема оптимального обнаружнтеля иметь вид и,л, > и, и 2 — ~( 1пС+~ — '=С,. (3.166) !87 Структурная схема оптимального обнаружителя, построенного на основе (3.166), представлена на рис. 3.33, где блок Ф определяет коэффициенты разложения сигнала и(г). Заметим, что если п(г) — стационарный белый шум, то уравнению (2.35) удовлетворяет любая ортонормированная система функций при 3., = 2Уо /2. Для разложения сигналов удобными оказываются кусочно-постоянные функции, что обусловлено все более широким внедрением цифровых вычислительных устройств в технику обработки сигналов. Большинство работ по применению таких функций при синтезе устройств обработки сигналов связано с функциями Уолша и Хаара.
При синтезе обнаружителя на основе разложения Карунена — Лоэва встречаются проблемы, о которых уже говорилось в 8 2.4; процедура нахождения решения интегрального уравнения (2.35) в общем случае неизвестна, а техническая реализация обобщенной дискретизации сигналов более сложна, чем временная дискретизация. Реализация алгоритмов (3.158) — (3.160) и (3.163) достаточно трудоемка, поскольку требует большого быстродействия вычислительных устройств. Рассмотрим непрерывную обработку сигналов, Оптимальный обнаружитель в данном случае должен вычислять отношение условных функционалов плотности вероятности н(и(г)1Н,~ и н(и(г)1Но) и сравнивать его 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
