Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1092038), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При передаче любого сигнала в,(г) ошибка в приеме отсутствует, ес- ли выполняются неравенства г, > О, г, >пих(Ц,)гз(,...,)г~,),)гни),...,~г„„!). Вероятность правильного приема сигнала можно записать в виде 0 ч ч ~р(в!) )А )" ) и' (г| - г !за!)Ф".Ф-~а'м~ "сгг пг 0 -ч -ч Случайные величины гц ..., г„„г являются статистически независимыми и распределены так же, как и ортогоиальиые сигналы. Это позволяет вывести следующее выражение для вероятности ошибки: 1 е Р, = 1 — — ) (2Ф(г) -1) ехр — — г — — с1г. Помехоустойчивость биортогоиальных сигналов выше, чем ортогоиальиых.
Однако при т'я 1 разница в их помехоустойчивости стаиовится пренебрежимо мала. 172 3.4. Различение сигналов Как уже указывалось выше, вычислить вероятность ошибки в т-ичной системе в общем случае нелегко. Позтому на практике часто пользуются верхней границей для вероятности ошибки: Р (4) < '> Р (л ~и)), (3,132) где Р (з ~з,) — вероятность ошибки при передаче сигнала л,(т) в двоичной системе, использующей сигналы л,(г) и л (г).
Оценка (3.132) справедлива для любой системы сигналов и любого канала. Более простой, но менее точной является верхняя граница, определяемая следующим образом: Р < (а — 1)шахР, (л !з,), (3.133) где шах Р, (г (з, ) — максимальная по всем парам 1, т' вероятность ошибки в двоичной системе, использующей сигналы л,(г) и л,(г). 3.4.4. Различение двух сигналов со случайной начальной фазой на фоне белого шума Пусть сигнал на входе приемника имеет вид и(г) = 9з, (б <р,)+(1 — 9)лс (г.
~р,)+ л(т). чальных фаз т сс 1(ирр1 'Ро)— сО ~о ~ос (3,! 34) Усредняя числитель и знаменатель в выражении (3,134) по случайным параметрам яз, и дм получаем безусловное усредненное ОП: 173 где 9 — случайная величина, принимающая значения 1 и 0 с вероятностями р1 и Р0 соответственно; д~ и д0 — начальные фазы, представляющие собой независимые случайные величины, распределенные равномерно на отрезке 1 — я,кБ л(г) — помеха типа белого гауссовского шума со спектральной плотностью мощности Ю /2. Отношение правдоподобия (ОП) здесь так же, как и в задаче обнаружения сигнала со случайной начальной фазой (см. п. 3.3.5), зависит от на- 3. Основы теории обнаружения и разеинения сигнаеов — ехр( Е1/Фо)1о(221/Уо) ! (и)— ехр( Ео/л/о)1о(2со/Л~о) где 1о() — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, Ео, Е1— энергии сигналов.
Величины 22, /Уо и 22о/Жо совпадают со значением огибающей на выходе согласованных с сигналами в,(г) и в (!) фильтров. В соответствии с критерием максимума апостериорной вероятности решение в пользу сигнала в,(г) принимается, когда ехРИЕо -Е1)/М>) 1о(22~ /Жо) Ро 1о (2е о /.В/о) Р1 1п1о(22) /Уа) 1п1о(22о/Фо) ~ (Е, Ео)/Хо+ 1п(ро/р )=С„(3 135) где Ро, Р~ — веРоатности поЯвлениа сигналов е (!) и в,(!) соответственно. Для симметричного канала ро =р, =0,5, Е, =Е, =Е, порог С, равен нулю, а алгоритм различения принимает вид 1п1о(221/~о) < 1п1о(22о/!1/о). (3.136) В силу монотонности функции 1п|о() неравенство (3.13б) эквивалентно неравенству ч 2~ <2о (3.137) 174 Оптимальный приемник, алгоритм работы которого описывается формулой (3.137) (рис.
3.27, а), состоит из двух каналов, вычисляющих по принятому колебанию и(г) значения огибающих, сумматора и порогового устройства (ПУ). Каждый из каналов является оптимальным по отношению к соответствующему сигналу и реализуется по схеме, изображенной на рис. 3.10. Возможна реализация приемника на основе корреляторов (рис.3.27, б), где в,(!), !=0,1, — преобразование Гильберта от в,(г). При этом каждый канал представляет собой корреляционный приемник, схема которого показана на рис. 3.9. Оценим помехоустойчивость различителя, предварительно отметив, что в данном случае для передачи информации нельзя использовать проти- 3.4. Различение сыгналое Рис. 3.27.
Структурная схема: а — фильтрового оптимального различителя двух сигналов со случайными начальными фазами; б — корреляционного оптимального различителя двух сигналов со случайными начальными фазами ~ з~ (г)зз(г)с(г = ~ з1 (г)зз(г)стг = О, (3.133) 175 воположные сигналы, отличаюшиеся сдвигом фаз на л, так как при случайной начальной фазе такие сигналы будут неразличимы. Обычно применяют ортогональные в усиленном смысле и амплитудно-манипулированные сигналы.
Рассмотрим сначала случай, когда используются ортогональные в усиленном смысле сигналы. Для таких сигналов справедливы соотношения 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов где ез(г) — преобразование Гильберта от ез(г). Примером таких сигналов явшвотсяЧМсигналы ео(/) ыЯосоз(озог+ср), е1(г)=Косов(оз,г+ср), где гр— произвольная начальная фаза, а частоты оз~ и ае удовлетворяют соотношениям а, ы2х/е,/Т, оз =2л/со/Т; й, и яе — натуральные числа. Характерная особенность ортогональных в усиленном смысле сигналов состоит в следующем: если на вход согласованного фильтра, настроенного на сигнал ео(г), подать сигнал е,(г), то значение огибающей выходного напряжения в момент г = Т равно нулю. Исследования показывают, что ортогональные в усиленном смысле сигналы с активной паузой обеспечивают в канале с неопределенной фазой и алднтивной гауссовской помехой минимальную вероятность ошибки, т. е.
являются оптимальными для указанных условий. Положим, что р, =ро, Е, =Е =Е. Пустьдля определенности передается сигнал е,(г). Тогда с учетом алгоритма (3.137) ошибка возникает, если выполняется неравенство Е > Е, или (3.! 39) 'Ъ «'Ь где и, =Е,/о, /=О,1, — относительное значение огибающей. Можно показать, что в рассматриваемом случае случайные величины Ее и Уь а следовательно, ие и и, независимы [23]. Поэтому с учетом неравенства (3.139) вероятность ошибки при передаче е,(г) имеет вид О Ю О О Ры(ею) = ~А1 )зег('~ "о)йо = )зе(и,) ~зе(ио)атос/и,. (3.140) о о Учитывая, что огибающие ие и и~ распределены по закону Рэлея (3.86) и Райса (3.87) соответственно, находим Введем новую переменную и= /2ю, и вынесем за знак интеграла множитель ехр( — Е/(2Ф )), Тогда 176 3.4. Различение сигналов Подынтегральное выражение в (3.141) представляет собой распределение Райса, а следовательно, интеграл равен 1.
Таким образом, Р, (з,) =0,5ехр( — Е/(2/Ув)). Учитывая симметричность канала, вероятность ошибки при передаче сигнала зв(г) Рош (зо) = Рош (з1 ) = 0 5ехр( — Е/(2Мо)) Соответственно, средняя вероятность ошибки Р, = 0,5ехр(-Е/(2/Ур)). (3.142) На рис. 3.22 (штриховая линия — ЧМ) показана зависимость Р от отношения Е//Ув, вычисленная по формуле (3.142). Анализ показывает, что некогерентный прием ортогональных сигналов дает небольшой энергетический проигрыш по сравнению с когерентным приемом. При малых вероятностях ошибки Р =10 он не превышает 1 дБ [231. Рассмотрим случай, когда используются амплитудно-манипулированные сигналы.
В данном случае Мг) ов соя(взог+ ср) зв(г) = О, 1 ] ро р Рош = — (Рош(з~)+Рош('о))= — ~зе(з1/з~)ей~+ ~зе(ив!зо)с/ио (3143) о ро где и~ и ио — относительные значения огибающих напряжений на выходе оптимального приемника в момент времени г = Т при передаче сигналов 177 где начальная фаза р является случайной величиной, распределенной равномеРно на отРезке 1 — л, л). По-пРежнемУ полагаем, что Рв = Р,. Решение принимается на основе сравнения значения огибающей Л сигнала на выходе оптимального приемника (например, согласованного фильтра, настроенного на сигнал з,(г)) с некоторым порогом (/„.
При превышении порога принимается решение в пользу сигнала з,(г), в противном случае — в пользу з (г). Средняя вероятность ошибки имеет вид 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов в,(г) и зо(г) соответственно, хо = У„ /и — нормированный порог. Величина и, распределена по закону Райса (3.87), а ио — по закону Рэлея (3.86). Подставляя распределения огибающих у, и ио в (3.143), получаем Р =- ~~,ехр — ' о 1о — у, с/у, +ехр — о . (3.144) Оптимальное значение порога го находится из условия минимизации вероятности ошибки (3.144).
Взяв производную ЙР /с(го и приравняв ее нулю, имеем гоехР— о+ о 1о хо -гоехР о 0 или после упрощений (3.145) 1о — го — — ехр— 12Е 1 Е Логарифмируя соотношение (3.145), получим 1п1о ~ — хо! = —. /1/о /1/о Учитывая, что х, хв 1, 1п1,(х) = хз/4, х~1, находим ~ Е/2Ио при больших отношениях сигнал — шум, хоои (3.146) /2 при малых отношениях сигнал — шум. Таким образом, с учетом (3.144) и (3.146) при больших отношениях сигнал — шум имеем /е/™о е ~ 1 „„р~ " + и )У (~ ~)ы„р~ — /) 9.147) При Е/Мо > 10 первым слагаемым в (3.147) можно пренебречь.
Тогда 178 3.4. Различение сигналов ( .б') Р м 0,5ехр — ~. ош- ° 1, 4А 0 (3.148) На рис. 3.22 (штриховая линия — АМ) показана зависимость вероятности Р,„от отношения Е/Жв, рассчитанная по формуле (3.148). Сравнение с соответствующей кривой для когерентного случая позволяет сделать вывод, что при вероятности ошибки 10 з...10 некогереитный прием АМ сигналов проигрывает в энергетике иа 1...0,5 дБ.
При неоптимальном пороге вероятность ошибки может оказаться значительно больше Р, определяемой по формуле (3.148). Поэтому при изменении уровня принимаемого сигнала порог приходится подстраивать, что является существенным недостатком систем с пассивной паузой. 3.4.5. Различение зи сигналов со случайной начальной фазой на фоне белого шума Пусть на входе приемника сигнал имеет вид и(г)=з,(г,р,)+л(г), 1 = 1, 2, ..., лз, где начальная фаза <р, представляет собой случайную величину, распределенную равномерно на отрезке ( — я, л); п(г) — помеха типа белого гауссовского шума. Полезные сигналы в,.(г), /= 1,2, ..., зл, ортогональны в усиленном смысле, равновероятны и имеют одинаковую энергию.
Алгоритм принятия решения (3.111) для рассматриваемого случая можно записать в виде У, >2о /=1,2,...,т, /и/, (3.149) ~, >кп /=1,2,...,т, /~/, в ч Р„= (Р,,~Ц„(,п,„.„,ии)/.г..Ь,,/„,...й.. (3.150) о о о 179 где и, =У,./и, Структурные схемы оптимальных различителей, выполненных на основе корреляторов и согласованных фильтров, представлены на рис. 3.28, а и 3.28, б соответственно.
Оценим помехоустойчивость оптимального различнтеля. Очевидно, что ошибка при приеме возникает тогда, когда неравенства (3.149) не выполняются хотя бы для одного индекса /в/. В общем виде вероятность правильного приема сигнала определяется формулой 3, Основы теории обнаружения и различения сигналов Рнс 3.28. Структурная схема: а — корреляционного оптимального различителя т сигналов со случайными начальными фазами; б — фильтрового оптимально~о различителя т сигналов со случайными начальными фазами При использовании ортогональных в усиленном смысле сигналов значения огибающих оказываются статистически независимыми и соотношение (3.150) можно переписать в виде У! У! Рв = )!!и! ~"-)ЗЕ(и!)ЗЕ(и2)- ("и) ! 2" з-! о о о Как и для двоичной системы, значение огибающей и! Распределено по законУ Райса(3.87), а значениЯ огибающих ио з=1,2,...,т, !'м1, — по закону Рзлея (3.86).
Используя (3.86), (3,87), находим 180 3.4, Различение сиенашв Учитывая, что 1 — ехр — =,Г (-1)" С„", ехр— выражение (3.151) можно переписать в виде =„р( — ~~~-1гс', 1. р(- )ч( — )ь, После несложных вычислений получаем [23) 1 ( нЕ Р р — — ~ ( — 1)" С", — ехр~- =о "+1 (и+ 1) Ло ) Вероятность ошибки имеет вид т-! Р, =1 — Р = '~ ( — 1)"'~ С", — ехр~- 1. (3.! 52) ош пр и-1 1 1 ( 1) п~ рпш 1о-: З БВРХп, лБ 4 В 181 Так же, как и в и.
3.4.2, сравнение различных систем передачи информации при некогерентном приеме необходимо проводить на основе зависимостей Р, =~(ЕБ/ЛРо). Из рис. 3.29, на котором представлены эти зависимости, видно, что чем больше т, тем выше помехоустойчивость системы. Сравнение когерентного и некогерентного методов приема показывает, что при нВ = 12о различие в помехоустойчивости пренебрежимо мало.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
