Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1092038), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Математическое ожидание н дисперсия величины г определяются формулами М12~Н, ) = М вЂ” )[л(т)+ п(2))в(т)а12 1 2 1 2Е оо ~о о, = 2Е/Но. Теперь можно записать плотность вероятности величины ял 1 ~ (г — 2Е,1Л'о) 1 ,% гю~л, ( 2 2г~ж, (3.59) 138 Учитывая, что корреляционная функция белого шума выражается соотношением М(п(г,)п(22)~ = — Б(22 — 2,), находим Но 3.3. Обнаружение сигналов Используя распределения (3.58) и (3.59), находим показатели качества обнаружения: Е = Р(г > го (Н ) = ~зе(г(Н )сХг = н ( г ~ ((п(о+6~о~ г2 .2е(в, ~ 2 2цв,~ ~ )2яи / .0 = Р(г > го/Н,)= )ги(г/Н1)сй = н 1 ( (г — 2Е/Уо) ~ (1п1о Е/Л~о ~ „.~2 2К(М, ~ 2 2К(Х, ~ ~,,)2Е(И, / е ( г) где Ф(х) = — ) ехр~ — ~ш' — интеграл вероятности.
/2я п~ 2 ~ Величины Е и р „численно равны площадям соответствующих участков под кривыми распределений и(г1Но) и н(г1Н,) (рнс. 3.6). Используя выражения (3.60) и (3.61), можно для различных Р' (рис. 3.7, сплошные линии) получить зависимости .0 = 7" (,~2Е~П ), которые называются характеристиками обнаружения. Пользуясь зтими характеристиками, можно определить необходимое отношение 2Е/Уо, при котором для заданной вероятности Р„, обеспечивается обнаружение сигнала с требуемой вероятностью правильного обнаружения 1).
Значение этого отношения характеризует так называемый пороговый сигнал. Из полученных результатов вытекает следующий важный вывод: воз- Рис. 3.6. Диаграмма расчета показателей качества обнаружения 139 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов 0,8 0,6 о,л 0,2 1 2 4 6 8 10 2 чзег'згв Рис 3.7. Характеристики оптимального обнаружнтеля т и„и(Т) = ()и(1~(Т вЂ” Г)ГЗК о Если импульсную характеристику фильтра выбрать такой, что ЧТ вЂ” 1) = — е(1), 2 '1'о или, что то же самое, Ь(г) = — в(Т вЂ” 1), 2 Ж~ (3.62) то и,и„(Т) будет совпадать с корреляционным интегралом выражения (3.55). Линейный фильтр, импульсная характеристика которого определяется выражением (3.62), нли, в более общем случае, выражением можность обнаружения сигнала с заданными вероятностями ошибок Г, и р „при помехе типа белого гауссовского шума зависит только от отношения энергии сигнала Е к спектральной плотности мощности шума Щ2 и не зависит от формы сигнала, Техническая реализация алгоритма обнаружения, представленного выражением (3.55), при использовании корреляционного приемника не является единственно возможной.
Корреляционный интеграл (3.55) может быль сформирован с помощью линейного фильтра. Действительно, сигнал на выходе линейного фильтра с импульсной характеристикой а(г) в момент 1 =Т имеет вид 3.3. Обнаружение сигназав "(г) = ав(!о г) где а — постоянная величина и го > Т, называется согласованным. При фильтровой интерпретации инте- Р"е' 3'8' СтРУктУРнаЯ схема грала (3.62) обнаружитель (рис. 3.8) состоит фильтРового о наРУжителЯ из согласованного фильтра (СФ) и порогового детерминированного сигнала устройства (ПУ). Рассмотрим основные характеристики согласованного фильтра.
Импульсная характеристика была приведена ранее. Она дает временное описание согласованного фильтра. Найдем комплексную частотную характеристику: К(3то) = ) йЯехр(-Рог)а! = ')ав(г — г)ехр( — 3ои)аг. Введя новую переменную т = г — б получим К(/а) =ехр( — Згого) ~авЯехр(3оз!)Ыт=аехр( — 3оно)5'(/в), (3.63) где 5 (3о) — функция, комплексно-сопряженная спектральной плотности сигнала в(!). Из формулы (3.63) следует, что модуль комплексной частотной характеристики (амплитудно-частотная характеристика) согласованного фильтра имеет вид (3.64) (К(3со)~ = а/Я(3в)(, а его фазовая характеристика определяется следующим образом: (3.65) ~р(оз) = — ~р, (ш) — ыо, Равенство (3.64) означает, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра совпадает с точностью до постоянного множителя с амплитудным спектром полезного сигнала, а следовательно, согласованный фильтр избирательно пропускает частотные составляющие сигнала; чем больше интенсивность составляющей, тем с ббльшим весом она передается.
Фазовая характеристика согласованного фильтра состоит из двух частей, одна из которых равна фазовому спектру сигнала ф,(в). взятому с обратным знаком, а вторая равна — ого. Благодаря такой характеристике фазовые сдвиги между частотными составляющими полезного сигнала компен- 3. Основы теории обнаружения и разяичения сигнаеов и, (Т) = )(в(г)+ п(г))п(Т вЂ” г)йг = [(в(г)+ пя)авяй = = а~аз(т)сИ + а()п(г)тЯй, (З.бб) Математическое ожидание и дисперсия выходного сигнала определяются формулами т М [и„,„(Т)~) = а )з ~(т)й = аЕ, (3.67) о т 2 а,„„ыМ[[и„„(Т)-аЕ) ~=М а~пЯвЯсИ =а~ЕЖ /2. (3.68) о С учетом выражений (3.67) и (3.68) отношение сигнал — шум по мощности в момент т =Т можно записать в виде з [М[и„(Т)Ц 2Е (3.69) Таким образом, отношение сигнал — шум на выходе согласованного фильтра в момент т = Т определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью мощности шума и не зависит от формы сигнала.
Можно показать, что отношение сигнал — шум на выходе любого линейного фильтра при действии на него детерминированного сигнала и гауссовского белого шума удовлетворяет неравенству д~ ( 2Е/Ф . (3.70) Из формул (3.69) и (3.70) следует, что согласованный фильтр является оптимальным фильтром, обеспечивающим максимальное отношение сигнал — шум. сируются так, что в момент г = го все составляющие полезного сигнала оказываются в одной фазе и значение сигнала на выходе согласованного фильтра оказывается максимально возможным.
Именно в этот момент принимается решение. Определим отношение сигнал — шум на выходе согласованного фильтра. При наличии полезного сигнала на входе согласованного фильтра выходной сигнал в момент г =го =Т имеет вид 3,3, Обнаружение сигналов Заметим, что максимальное отношение сигнал — шум на выходе коррелятора(см. рис. 3.5) также равно 2Е~Ц,. Действительно, з [М1г~Н1Ц (2Е~Но) 2Е о~ 2 Е/Фо Фо Найдем вид сигнала на выходе согласованного фильтра при отсутствии помехи: ! и,н„(г) = )л(т)й(~ — т)сй = ')лабаз([о — г+ т)с(т. (3.72) о о Нетрудно заметить, что относительно момента времени ( = ~ выражение (3.72) с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением для корреляционной функции полезного сигнала л(г).
Таким образом, сигнал на выходе согласованного фильтра при отсутствии шума совпадает по форме с корреляционной функцией сигнала, с которым фильтр согласован. В заключение отметим, что рассмотренные схемы реализации оптимального обнаружителя (корреляционная и фильтровая) обеспечивают одинаковые показатели качества обнаружения. Независимо от вида приемника (корреляционный приемник или согласованный фильтр) информация о полезном сигнале содержится на приемной стороне и используется при приеме. В случае корреляционного приемника на приемной стороне генерируется копия сигнала л(г), при согласованном фильтре информация о сигнале заложена в его комплексной частотной характеристике (или импульсной характеристике). При использовании корреляционного приемника необходимо точно знать время прихода сигнала. Если оно неизвестно, то приходится применять набор корреляторов, каждый из которых соответствует определенному интервалу возможного времени прихода сигнала.
При использовании согласованного фильтра нет необходимости в знании времени прихода сигнала. Действительно, фильтр, согласованный с некоторым сигналом л(г), будет согласован и с сигналом л(л — г'), сдвинутым по времени на г'. Изменение времени прихода сигнала приводит к изменению времени достюкения сигналом на выходе фильтра своего максимального значения. 3.3.3.
Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой на фоне белого шума Пусть колебание на входе обнаружителя имеет вид и(г) = Нл(б сР) + п(г) = 91л соз(сов~ и- Р) 1+ пЯ, 143 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов 1 се(сР)= —, 0 ( ср < 2я, (3.73) 2я Поскольку сигнал в рассмотренном случае может принимать различные значения в зависимости от ср, гипотеза Н, является сложной. Поэтому алгоритм обнаружения согласно формуле (3.46) сводится к вычислению отношения правдоподобия 2в ~ и (и~Н„ср)се(ср)с(ср 1(и) = се(и)НО) (3.74) н сравнению его с порогом 1е.
При записи выражения (3.74) учитывалось, что распределение се(и ~Н ) не содержит неизвестных параметров. Отношение 1(и) можно найти следуюшим образом: 1(и) = ) 1(и)ср)и (ср)с(ср, о (3.75) где 1(и!ср) — условное отношение правдоподобия (отношение правдоподобия при условии, что начальная фаза равна ср). Оно совпадает с отношением правдоподобия для детерминированного сигнала е(с, ср), где ср — фиксированная величина. С учетом выражения (3.54) имеем Е 2 е = ехр — + — ~ и(2)ясов(соог+ ср)асс, ~о ~о о (3.76) где Я вЂ” амплитуда.
Подставляя выражения (3.73) и (3.76) в формулу (3 75), получаем 144 где з(с,ср) — полезный сигнал, у которого все параметры, за исключением начальной фазы ср, известны. Начальная фаза ср рассматривается как случайная величина с известным распределением. При отсутствии информации об априорном распределении начальной фазы вполне естественно считать это распределение равномерным: 3.3. Обнаружение сигналов ( Я'1 2н ( 2 т 11 ! (и) =ехр — ~ ) ехр — ~иЯЯсоз(вот+ р)й~ — сир.
(3.77) 1 М,3, ~2л Преобразуем сначала корреляционный интеграл: 2 т 2 т з = — ) иЯЯ соя(вот+ тр) й = — ') иЯЯ(соя(вот) соз р — з(п(вфзш ф)й = ""о о )9о о т = — совр ~и(т 1о соя(в 1)й— "о о — — япср~и(~)Яяп(вот)й= — (г, созср — г, ялмар), )11о о и'о т т где е, = ~и(г)Ясов(во~)й, гз — — ~и(г)аяп(вот)й. о о Введем обозначение г. = ~(е, + ез', тогда 2 е= — 2~ — сезар — — яп(р . Ф~ ~У У Отношения г~/У и зз/У можно рассматривать соответственно как соя О и яп О. Поэтому 22 22 е = — (созОсоз<р — яшОя(п<р) = — соя(О+ у). (3.78) ~о и'о Подставляя выражение (3.78) в формулу (3.77), находим (3.79) Интеграл в правой части выражения (3.79) является модифицированной функцией Бесселя нулевого порядка с аргументом 22/ Юо. Таким образом, (3,80) 1(и) = ехр — — 1о —, и алгоритм работы оптимального обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой имеет вил 145 3.
Основы нзеории обнаружения и различения сигналов и, 1(и) =ехр — — 1 — ~ 1е или 1п1 — ~ ~~ 1п1 + — =г . М и Ю О о (3.81) Учитывая, что функция 1 (У) монотонна, алгоритм (3.81) можно за- менить равносильным; и, 2~(С, ио (3.82) где порог С выбирается из обеспечения требуемой вероятности ложной тревоги г„. Таким образом, существенной операцией, которую необходимо выполнить при решении задачи обнаружения сигнала со случайной начальной фазой, является вычисление величины Г2 2 У =чзэс, +22 = (3.83) Оптимальный обнаружитель (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
