Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1092038), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Вырожденным случаем такой процедуры является усеченная последовательная процедура 1281. При этом обнаружитель сначала работает как последовательный (рис. 3.4): вычисляет значения отношения правдоподобия 1(ц), г = 1,2,... (блок ОП), которые через переключатель П поступают на двухи оро гово е устройство ПУг. тг Если окажется, что в течение заданного времени наблюдения (заданного числа т шагов) не будет принято решение в пользу гипоте"з'г зы Н, или Нг, то выход блока гг формирования отношения правдоподобия переключается на одно- пороговое устройство ПУь ПроРнс 3.4.
Структурная схема поспелова- изводится сравнение величины тельного обнаружителя с усечеиием вре- 1и(п) с одним порогом, выбирае- мени наблюдения мым, например, по критерию 132 3.3. Обнаружение еиенаяае Неймана — Пирсона, и выносится решение уе или уъ На этом процедура обнаружения заканчивается. Недостатком усеченной процедуры Вальда является то, что она часто не обеспечивает заданные вероятности ошибочных решений 1291.
Дальнейшее повышение эффективности многоканального последовательного обнаружения достигается, если в ходе эксперимента целенаправленно изменяется не только решающее правило, но и условия наблюдения. Последние изменяются не на каждом шаге наблюдения, а по завершению некоторого этапа. Параметры первого этапа выбираются исходя из заданной вероятности пропуска сигнала, поэтому его средняя длительность может быть меньше величины, необходимой для поддержания расчетной вероятности ложной тревоги Е .
Решение в пользу гипотезы Не на первом этапе означает окончание процедуры. Если гипотеза Не не подтверждается, то происходит переход к следующему этапу, Примером алгоритма этого класса может служить двухэтапное радиолокационное обнаружение, при котором на первом этапе разрешающая способность по дальности уменьшается, например увеличением длительности зондирующего сигнала. На втором этапе, который проводится только при условии, что на первом этапе было принято решение об обнаружении сигнала, обеспечивается требуемая разрешающая способность и производится измерение дальности.
Многоэтапные процедуры относятся к классу последовательных, если даже на некоторых этапах правило принятия решения базируется на выборках фиксированного объема. При оптимальном выборе параметров двухтрехэтапные многоканальные последовательные процедуры приближаются по эффективности к квазиоптимальным невырожденным последовательным процедурам. Недостатком таких алгоритмов является сравнительная сложность их реализации и использования в нестационарных условиях наблюдения.
С методами преодоления трудностей, возникающих при использовании многоэтапных процедур, можно познакомиться в работе (29). На практике часто параметры сигнала (амплитуда, частота, фаза), а также параметры помехи (например, ее интенсивность) неизвестны. Поэтому наиболее типичной в задаче обнаружения являются ситуации, когда распределение наблюдаемого колебания и(~) зависит не только от вида гипотезы, но и от неизвестного параметра Х (или вектора ) ). При этом гипотезы Н1 и Не оказываются сложными и задача обнаружения состоит в проверке сложной гипотезы при сложной альтернативе.
Усть и(и~Но Х,) и и(и~Н„).е) — Условные плотности веРоЯтностей наблюдаемого колебания и(~) соответственно прн гипотезах Н~ н Но, зависящие от неизвестных параметров Х1 и Х,. При байесовском подходе к ре- 133 3. Основы теории обнаружения и ршличения сигналов шению задачи обнаружения параметры л1 и ло рассматриваются как случай- ные величины, распределения ое(Х,) и ое(ло) которых известны. При этом можно найти усредненные плотности вероятностей: й(и~Н,) = ~ое(и~Н,, Х,)ое(Х,)ВАКХ„ л, .ое(и!Но) = ~ос(иапо ~о)"Ро) 1) о (3.44) (3.45) ло где Л1 и Л о — множества значений параметров л1 и Х~ соответственно. В результате переходим к случаю проверки простой гипотезы прн простой альтернативе, когда распределение вероятностей наблюдаемого колебания зависит только от типа гипотезы.
Таким образом, рассматриваемая задача обнаружения сводится к ранее рассмотренной. Оптимальный алгоритм обнаружения записывается следующим образом: ~ж(и~Н,, Х,)ое(Х,)ИХ1 "М'о) ~~(иапо»~о)~(2о)<12о (3.46) ло где порог 1о зависит от выбранного критерия, Неизвестные параметры Х~ и Хо могут быть векторами, при этом интегралы в выражениях (3.44) — (3.46) будут многократными. 3.3.2. Обнаружение детерминированного сигнала иа фоне белого шума Пусть наблюдаемое колебание имеет внд и(г) = Вв(г) + н(1)„ Я (т) = — об(т). 2 Найдем алгоритм работы оптимального обнаружителя. Вначале рассмотрим дискретную обработку, когда наблюдения ведутся в дискретные 134 где Π— случайная величиноь принимающая значения 1 и О с вероятностями Р1 и Ро =1 — р„в(1) — полезный сигнал с известными параметрами; п(г)— гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией 3.3.
Обнаружение сигналое моменты времени ~п (г, ...,г„, а решение принимается на основе выбороч- ных значений 1=1,2,...,л. и(г,, ) = и, = Ое,. + и,, Для принятия решения необходимо вычислить отношение правдопо- добия н (ип ..., и„(Н,) н (и(Н,) н'(ип ..., и„)Не) н'(н!На) (3.47) и сравнить его с порогом 1е. Найдем распределения н(н(Н,) и н(н(Не). Пусть справедлива гипотеза Н,. Тогда наблюдаемое колебание представляет шум, т.
е. и(г) = л(1). Поскольку в качестве помехи рассматривается гауссовский белый шум, то распределение любого отсчета наблюдаемого колебания является гауссовским: ( и, 1 1е(и ~Не) = — ехр г /2ло ~ 2о~ ! ( 1 л ~ „..., „/н,)=' р~ —,г„,') (з.4в) ( Г2~ит)" 2о~,, При справедливости гипотезы Н~ имеем и, =е, +л,. Используя формулу преобразования плотности вероятности и учитывая, что е, — детерминированная величина, находим распределение 1 ((и,— е)1 н(и,(Н~)= ехр 2 Поскольку отсчеты и,, 1= 1,2, ..., л, по-прежнему оказываются стати- стически независимыми, то распределение и (и„..., и„(Н,) = ехр — —,1 (и, — е,) . (3.49) ( 1 ( (2ко)" 2о 135 Учитывая, что отсчеты белого шума статистически независимы, находим распределение 3.
Основы яреории обнаружения и различения сигналов Подставив выражения (3.48) и (3.49) в формулу (3.47), получим отношение правдоподобия Соответственно, алгоритм работы обнаружителя примет вид ( 1 л и г > п,~ 2п,ы р (3.50) Учитывая монотонную зависимость показательной функции от аргумента, алгоритм работы обнаружителя (3.50) можно записать в виде неравенств л и, 1п1(и) з ~.~иА з л~» ~в~ с 1п10 о~ рри 2о; 1 нр или Н~ 1п10 + з ~.~в! яО' но 2о в г'= — ) ив, и (3.51) Из выражения (3.51) следует, что существенной операцией, которую необходимо выполнить при решении задачи обнаружения, является нахождение суммы произведений отсчетов принятого колебания и полезного сигнала.
Перейдем к рассмотрению непрерывной обработки сигнала. При переходе к непрерывному времени можно воспользоваться зависимостью 1уо /2 грг (3.52) где 1У0/2 — спектральная плотность мощности шума. Подставляя выраже- ние (3.52) в формулу (3.51) и переходя к пределу при бг -у О, находим алго- ритм работы обнаружителя непрерывного сигнала 2 '1и(Г)зЯ'"Г < (п10+ р яо ~О 0 нр 1У0 (3.53) где Т, — длительность полезного сигнала, а Š— его энергия. 136 В настоящей главе далее длительность сигнала Т будем обозначать без индекса «с».
3.3. Обнаружение сигналов 1 Коррелятор 1 3 Заметим, что отношение правдоподобия для непрерывного сигнала имеет вид т 1 1 Уо Е 2 й! с !(а) = ехр — + — ~и(г)л(г)с(г . о оо Рис. 3.5. Структурная схема корреля- (3 54) цианисто обиаружителя детерминированного сигнала Из формулы (3.54) следует, что при непрерывной обработке необходимо вычислить интеграл 2 т е = — ~ и(~)л(г)ш' Но о (3.55) т е = — )л(г)л(г)й.
Но о (3.56) Из выражения (3.56) следует, что величина я является линейным преобразованием белого гауссовского шума, а следовательно, она имеет гауссовское распределение, которое полностью определяется математическим ожиданием М(е1Но~ и дисперсией о,. Первая характеристика находится тривиально: (2 т т М(е(Но) = М~ — ~л(с)л(г)с(г~ = — ~М(п(~)) е(г)сй = О. Но о Вычисление дисперсии о~ несколько сложнее: 137 и сравнить его с известным порогом. Интеграл (3.55) характеризует меру взаимной корреляции между наблюдаемым колебанием и(г) и полезным сигналом л(1) и называется корреляционньии.
Соответственно, корреляо3ионньии называется обнаружитель, построенный в соответствии с выражением (3.53) и состоящий (рис. 3.5) из перемножителя, интегратора и порогового устройства (ПУ). Перемножитель и интегратор образуют коррелятор. Определим показатели качества обнаружителя: вероятность ложной тревоги Е и вероятность правильного обнаружения 33 =1 — р„,„. Для этого необходимо знать распределение решающей статистики е при отсутствии н наличии сигнала е(г) на входе обнаружителя. Пусть справедлива гипотеза Но. Тогда 3, Основы теории обнаружения и различения сигналов тт = — ЦМ ( п(г~ )п(22 )1 в(г1 )в(т2)й~ са2. '"о оо 2 тт Цб(гз т1 )в(Г1 )л(ГМ~АГ2. ооо Наконец, используя фильтрующее свойство б-функции, получаем о, = — ~в (г,)ав, = —.
Но о Ж~ (3.57) Таким образом, 1 22 2е(я~Но) = ехР— .~2 .2Е(ч, ~ 2 2л!н,~ (3.58) Пусть теперь справедлива гипотеза Нь При этом величина 2 т г = — ')1в(Г)+ п(Г) )л(1)Йд Но о по-прежнему является результатом линейного преобразования гауссовского шума и, следовательно, имеет гауссовское распределение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
