Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1092038), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пространство принимаемых сигналов Ю на каждом шаге наблюдения разбивается на три области: 1)о, Юь 1)з. Если анализиРУемаа выбоРка и„из, ..., и,. на 1-м шаге наблюдениЯ попадет в допустимую область Юо, то принимается решение уо об отсутствии сигнала. Если выборка попадает в критическую область Пь то выносится решение у1 о наличии сигнала.
Наконец, если она попадет в область Юъ то принимается решение уз о продолжении наблюдения. Эффективность последовательной процедуры обнаружения зависит от способа разбиения пространства 11 на области Юо, Ю~ и з)з. Так же, как и при рассмотрении непоследовательных процедур, возникает вопрос: как наилучшим образом произвести разбиение пространства П? Ответ на этот вопрос зависит от того, какой смысл вкладывается в понятие оптимальности процедуры. На практике часто одной из важнейших характеристик решающего правила является средняя цена наблюдений, необходимых для принятия решения при обеспечении заданных условных вероятностей Г„и р„„.
Учитывая, что цена наблюдений пропорциональна длительности наблюдений, оптимальной.при заданных вероятностях Р и р„„будет процедура, которая обеспечивает минимальную среднюю продолжительность наблюдений, или, что то же самое, минимальный средний объем т выборки принимаемого сигнала.
А. Вальдом совместно с Дж. Вольфовитцем в работе 127] было доказано, что для обеспечения минимального среднего размера выборки при условных вероятностях ложного обнаружения и пропуска сигнала, не превосходящих соответственно значений Г„и р„„, необходимо на каждом 1-м шаге, 1= 1, 2, ..., вычислять отношение правдоподобия 3.3. Обнаружение сигнапое йп) 0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 ~/Ь! Рис. 3.3. Последовательная процедура принятия решения !(н)= ~ ' >А, и'(цаво) или (3.28) и'(Ф) ~ ~и'(ц!Нс). Поскольку условие (3.28) справедливо для любой выборки, попадающей в область Пь обе части неравенства (3.28) можно проинтегрировать по этой области: ~те(ц(Н,)т1ц > А ~те(ц)Нс)т1ц. (3.29) Левая часть неравенства (3.29) есть не что иное, как вероятность правильного обнаружения 13 =1 — Рп и, а интеграл в правой части неравенства (3,29) равен Г„.
Следовательно, получаем Рпроп = Аглт 127 (вектор н попадает в область Юз), то принимается решение о продолжении наблюдения. Процесс обнаружения заканчивается при первом пересечении функции 1(ц) с одним из порогов. На рис. 3.3 в приведенных примерах процесс обнаружения заканчивается принятием гипотезы Н, (пример 1) и Но (пример 2) соответственно на девятом и пятом шагах. Пороги А и В находятся по заданным вероятностям ошибок Г„и рп и на основе следуюших рассуждений. Выпишем условие принятия решения в пользу гипотезы Нб 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов или Рваче 13 А( Г Г (3.30) Неравенство (3.30) является оценкой сверху порога А.
Аналогично можно получить оценку снизу для порога В. Выпишем условие принятия решения в пользу гипотезы Не. или зе(ц~Н~) ~ Вю(п(Не). (3.31) Неравенство (3.31) справедливо для любой выборки ц, попадающей в область Ц~, поэтому обе части неравенства (3.31) можно проинтегрировать по области Юе. ) 1е(ц(Н,)сй ~ В ) зе(ц(Н )сй. (3.32) Левая часть неравенства (3.32) является вероятностью пропуска сигнала р „, а интеграл в правой части — вероятностью правильного необнаружения р„=1 — Р' . Поэтому р„„» В(1-В„,), или (3.33) В- 1 — У' (3.34) 128 Неравенство (3.33) является оценкой снизу порога В.
Оценки решающих порогов (3.30) и (3.33) определяются только заданными вероятностями Р' и р„„и не зависят от вида распределений и(п~Н,) и и(а~Не). В случае близких гипотез, т. е. когда распределения и(ц~Н,) и и(в~Не) мало отличаются друг от друга, что имеет место при малых отношениях сигнал — шум, неравенства (3.30) и (3.33) переходят в приближенные равенства 3.3. Обнаружение сигналов При независимых элементах выборки вместо отношения правдоподобия удобно пользоваться его логарифмом. При этом выражение 13.27) можно переписать в виде !пЦн) =27 =') я = ') 1п и1и (Н,) (~ ~Н~) 13.35) Верхний и нижний пороги берутся равными а = 1пА и Ь = 1пВ соответственно.
На практике условные вероятности ошибок не превышают 0,5 и пороги удовлетворяют неравенствам а>0, Ь<0. Заметим, что при доказательстве оптимальности рассматриваемой процедуры в рабате 1271 предполагалось, что гипотезы Н, и Н1 являются простыми, выборка ин ..., и, — независимой и однородной, т.
е. 7е 1и„..., и,)Н ) = П7е1ие~Н ), 7е(ид ~Н/) = 5е1и~Н ), /с = 1, ...,7', /'= О, 1, числа шагов имеют вид т =М(т~Но7/ = М(Уи~Но1/М(ее~~Но1 й7, =М1 )Н,) = М(2'„~Н,)/М(яе(Н,1, 13.3б) 13.37) где 129 5 — 78 ив наблюдаемое распределение точно совпадает с ожидаемыми для гипотезы Нв или Нь а перескоком решающей статистики Цп) или 1пЦп) через пороги можно пренебречь 1гипотезы Нв и Н| близки). При нарушении одного или нескольких из указанных предположений поиск оптимальной последовательной процедуры усложняется. Одной из важнейших характеристик последовательной процедуры является ее средняя длительность или математическое ожидание числа шагов при гипотезах Нв и Нь Пусть решение принимается на шаге н7 наблюдения.
Для независимой однородной выборки с учетом формулы /3.35) решающая статистика У в момент принятия решения в пользу одной из гипотез представляет собой сумму случайного числа одинаково распределенных величин я„ /с =1,2, .... Поэтому при гипотезах Нв и Н~ математические ожидания 3. Основы теории обнаружения и роэличения сигналов математическое ожидание приращения решаю(цей статистики за такт наблюдения при гипотезе Н„причем го < О, а г( >О.
Действительно, используя неравенство !их ( х — 1 и учитывая, что !ах =х — 1 только при х= 1, получим *-.=1 ( >.( (н,(й«(( (-» (*,(н,(о,= (н'(геф() ! "Г(е(г )Н() '(, и(ге ~Но)~ '(, (е(ге (Но) о = ~ ~ (е(ге )Н( ) — (е(гд ~ Но ) ~йг = О, Поскольку и(г„!Н() и: и(гд ~Но), находим, что г < О. Аналогично, 3 ф -( г( — — )' 1п ~ ( (е(г~~Н )йг~ — — ) 1п "~ ~ н(г~~Н,)йг = и(геНо) и(ге (Н() 11 1 — !и( ( "!Н )1 А1Н, '( ле(г (Н()! Учитывая неравенство (, н(ге (Н()/ (см. предыду(ций вывод), находим, что г( > О.
Для близких гипотез решающие статистики Х ~Н~ и Х ~Н( определяются выражениями Рпроп ' Тогда М17. ~Но) = Г„а+(1 — Р )Ь, М(.с (Н(1 (1 — рп п)а+рп пЬ. (3.39) (3.40) Подставив выражения (3.38) — (3.40) в формулы (3.36) и (3.37), получим 130 г„~Н, ( (а с вероятностью 1 Ь с вероятностью а с вероятностью У„~Н, = Ь с вероятностью Рлт ~ 1 — Р, Рпроп т 3.3. Обнаружение сигналов т =М(т)Н 1= йв — П рппоп )а + рппопЬ Е1 (3.41) (3.42) Заметим, что для рассматриваемого случая близких гипотез выполняется условие Ув и — У,. Тогда, учитывая выражения (3.41) и (3.42), находим й,/т и — а/Ь. (3.43) Для последовательной процедуры существенным является то, что среднее число шагов т оказывается меньше фиксированного размера выборки т, необходимого для обнаружения сигнала по любому другому критерию при условных вероятностях ошибок, не превосходящих Р„, и р При Р'„, = рп и выигрыш в среднем объеме выборки, обеспечиваемый процедурой Вальда по сравнению с эквивалентной по вероятностям ошибок процедурой Неймана — Пирсона, составляет примерно 2 раза (см.
[271), а при сильно различающихся значениях Р' и р„~„(Р„<< рп и ), что характерно для радиолокации, выигрыш существенно возрастает. Объясняется это следующим. При Рп, < рп и пороги а и Ь оказываются не симметричными относительно нулевого уровня и выполняется неравенство а» !Ь|. Поэтому, учитывая выражения (3.43), момсно утверждать, что й, » йв. Величина т, приблизительно равна размеру выборки т, используемой в эквивалентной процедуре Неймана — Пирсона, и, следовательно, тс « й,. Поскольку при радиолокационном наблюдении в большинстве элементов разрешения цели нет, средняя длительность процедуры Вальда будет существенно меньше длительности процедуры Неймана — Пирсона. Выигрыш в среднем времени наблюдения оценивается приближенно отношением !пав'„,/!пр„го„и при типичных для радиолокации значениях Г = =10 ...10 ' и рп и =0,1...0,5 составляет 5 — 20 раз.
Последовательный критерий отношения правдоподобия позволяет получить эффективные процедуры в смысле минимального значения среднего объема наблюдений (выборки) и в тех случаях, когда условия теоремы Вальда — Вольфовитца не выполняются, хотя строгого доказательства оптимальности этих процедур в настоящее время не существует. Обратим внимание на то, что последовательная процедура Вальда дает выигрыш по сравнению с непоследовательными процедурами лишь в 5' 131 3.
Основы теории обнаружения и различения сигналов среднем времени наблюдения. В отдельных случаях длительность процесса обнаружения по Вальду может оказаться недопустимо большой. Особенно это проявляется в тех случаях, когда задача обнаружения сигнала решается параллельно во многих каналах (например, в зч' радиолокационных каналах по дальности). Если решение в каждом из каналов принимается независимо, то общая длительность процедуры определяется тем каналом, где решение было принято последним. Очевидно, что с увеличением числа каналов зУ длительность процедуры увеличивается.
При этом временные затраты последовательной процедуры растут быстрее, чем для эквивалентной по надежности (при одинаковых вероятностях Р н,0) процедуры Неймана— Пирсона 123]. Поэтому применение последовательной процедуры Вальда для многоканального обнаружения с независимым принятием решений при увеличении числа каналов становится все менее выгодным по сравнению с процедурой Неймана — Пирсона (предполагается, что каналы однородны). Повысить эффективность радиолокационного последовательного обнаружения удалось, учитывая зависимость отношения сигнал †ш от дальности. Среднюю длительность многоканальной процедуры с независимыми решениями можно сократить, если перейти от постоянных (вальдовских) порогов к функциональным порогам, зависящим от номера шага, для которого область неопределенности по мере накопления данных сужается. Однако удобных для инженерной практики методов расчета зависимостей порогов А(т) и В(т), обеспечивающих минимизацию средней длительности процедуры при заданных вероятностях Г и р„„в настоящее время не сушествует 1231.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
