Автореферат (1091537), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Корректность полученных моделей подтверждена и проиллюстрирована результатами численного анализа и их качественным сравнением.Апробация работыРезультаты диссертации докладывались на 60, 61, 62, 63 Научно-техническихконференциях МГТУ МИРЭА (Москва, 2011, 2012, 2013, 2014);X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретическойи прикладной механики (Нижний Новгород, 2011);IV Региональной научно-практической конференции «Университет XXIвека: исследования в рамках научных школ» (Тула, 2013);7XLI Международной летней школе-конференции «Актуальные проблемымеханики» (“Advanced Problems in Mechanics”, Санкт-Петербург, 2013);Семинаре им.
В.В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости под руководством чл.-корр. РАН Белецкого В.В. и проф. КарапетянаА.В. в МГУ им М.В. Ломоносова (Москва, 2015, 2017);XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретическойи прикладной механики (Казань, 2015);Первой научно-технической конференции Московского технологическогоуниверситета (Москва, 2016);X Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2016);Международной школе–конференции молодых ученых «Математика, физика, информатика и их приложения в науке и образовании» (Москва, 2016);Семинаре в Институте проблем передачи информации им.
А.А. ХаркевичаРАН (Москва, 2017).ПубликацииОсновные результаты диссертации изложены в 12 работах (в том числе 3работы в журналах из перечня ВАК). Список работ приведен в конце автореферата.Личный вклад автораЛичный вклад автора состоит в участии во всех этапах исследования иразработки и непосредственном получении результатов: выводе уравненийдвижения, эволюционных уравнений, численном интегрировании, построении фазовых портретов, проведении расчетов. В работах, выполненных в соавторстве, А.В.
Шатиной принадлежат постановки задач и общее научноеруководство, вклад автора не менее 50%.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (82 наименования) и приложения. Текст работы изложен на 157 страницах. Диссертация содержит 44 рисунка и 2 таблицы.КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводитсякраткий обзор литературы соответствующей тематики, излагается содержание работы.8В первой главе рассматривается задача о движении спутника в поле притяжения вязкоупругой планеты. При этом полагается, что угловая скоростьпланеты не изменяется (ограниченная задача).Рис.
1В §1.1 формулируется постановка задачи, и из вариационного принципаДаламбера-Лагранжа выводятся уравнения движения механической системы«планета-спутник».Рассматривается задача о движении спутника в поле притяжения вязкоупругой планеты. Планета моделируется однородным изотропным вязкоупругим телом, имеющим шаровую форму в естественном недеформированном состоянии, а спутник — материальной точкой(рис. 1)., — мас-0 — радиус планеты в естественном3недеформированном состоянии, — ее плотность ( = 40 /3).Вводится инерциальная система координат с началом в центресы планеты и спутника соответственно,масс системы.
Для описания вращательного движения планеты вводится по-1 2 3 с началом в центре масс вязкоупругойпланеты и система осей Кенига 1 2 3 . Полагается R = CP.Радиус-вектор точки вязкоупругого шара в инерциальной системе координат имеет вид:R = OC + Γ(r + u),где Γ — оператор перехода от подвижной системы координат 1 2 3 к системе осей Кенига, u = u(r, ) — вектор упругого смещения точек планеты.Так как — центр масс системы «планета-спутник», тоR, R = −R + Γ(r + u),(1)R =++где R — радиус-вектор точки .Следующие условия однозначно определяют радиус-вектор центра масс движная система координат9деформированнойпланетыисвязанную1 2 3 :∫︁∫︁1R (r, ),u = 0,OC ={︀ 3}︀ где =r ∈ : |r| ≤ 0 .снейсистемукоординат∫︁rot u = 0,(2)Потенциальная энергия гравитационного поля определяется функционалом:∫︁Π = −,|R − Γ (r + u)|где — универсальнаягравитационная постоянная.Функционал потенциальной энергии упругих деформаций вводится в соответствии с линейной моделью теории упругости:E =∫︀E [u],E [u] = 1 (E2 − 2 E ),1 > 0, 0 < 2 < 3,3∑︁∑︁E(1 − )2(1 − 2)где 1 =, 2 =, E = , E =( −2(1 + )(1 − 2)1−=1<(︂)︂1+, E — модуль упругости Юнга, — коэффициент2 ), =2 Пуассона деформируемой планеты, E , E — инварианты тензора малых деформаций u = (1 , 2 , 3 ).Для описания диссипативных свойств вязкоупругой планеты вводитсядиссипативный функционал, соответствующий модели Кельвина-Фойгта:D=∫︀D[u̇],D [u̇] = E [u̇] , > 0, — коэффициентвнутреннего вязкого трения.Методами аналитической механики из вариационного принципа ДаламбераЛагранжа получена система интегро-дифференциальных уравнений движения рассматриваемой механической системы «планета-спутник» в рамках линейной теории вязкоупругости в следующем виде:∫︁R − Γ(r + u)R̈ + = 0,( + )|R − Γ(r + u)|3∫︁Γ(r + u) × (R − Γ(r + u))L̇ − = 0,|R − Γ(r + u)|3)︂∫︁ (︂Γ−1 R − (r + u)−1Γ R̈ − ·, u +|Γ−1 R − (r + u)|3(3)(4)10∫︁+(∇u E [u + u̇] + 1 , u) +гдеL=∫︁(2 × n) · u = 0,∫︀Γ(r + u) ×[Γ(r + u)] — векторкоупругого шара относительно центра масс,единичный вектор внешней нормали ккинетического момента вяз-— граница области, n— .На следующем этапе в §1.2, 1.3 методом разделения движения на основеуравнений невозмущенного движения строится возмущенная система уравнений движения.Вводится малый параметр, обратно пропорциональный модулю упруго-сти Юнга.При = 0вектор упругого смещенияuполагается равным нулю, чтосоответствует задаче о движении механической системы, состоящей из абсолютно твердого шара радиуса0и массыи материальной точки массыв гравитационном поле взаимного притяжения.
Уравнения невозмущенногодвижения имеют вид:R̈ + 0 ·R= 0,3 = |R|,˙ = 0,20 = (+), = 02 — момент инерции шара относительно диаметра.5При ̸= 0 согласно методу разделения движений для систем с бесконечным числом степеней свободы определяется вектор-функция u, описываю-гдещая квазистатические деформации планеты под действием внешних сил исил инерции в виде:u = u1 + 2 u2 + · · · .Получено решение квазистатической задачи теории упругости для деформируемой оболочки планеты. Это решение можно представить в виде трехфункций:u1 = u10 + u11 + u12 ,где{︀}︀2u10 = 2 1 2 + 2 02 r,3 {︂ [︂]︂[︂]︂}︂[︀ 2]︀ 1 21 2 2 122u11 = 1 − (, r) r + 2 + 3 0 · r − (, r) ,623(5)11u12 ≈ u120 − u̇120 ,{︂ [︂]︂[︂]︂}︂[︀]︀3 1 2 11u120 = − 31 − (, r)2 r + 2 2 + 3 02 · r − (, r) ,623(1 − 2)(3 − )(1 + )(1 − 2), 2 =,1 = −10(1 − )10(1 − )2(1 + )(1 + )(2 + )(1 + )(2 + 3)1 =, 2 = −, 2 =.5 + 75 + 75 + 7После подстановки найденного решения (5) и линеаризации по u уравнений(3)–(4) , система дифференциальных уравнений, описывающих движениесистемы планета спутник в поле сил взаимного притяжения с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией, принимает вид:030 2 {︀ 2R̈ + 3 R +Γ + 2 (, ) − 5 (, )2 +4[︃]︃}︃˙6 + 3 + ˙ + 3 = 0, (6){︂]︁}︂6 2 3 [︁L̇ −Γ [ × ] (, ) + × ˙= 0,(7)334()07(1 + )(9 + 13)Γ−1 R, =, () =, Γ — оператор переходагде =1055 + 7от системы координат 1 2 3 к системе осей Кенига 1 2 3 , — вектор−1угловой скорости шара ( ×(·) = Γ Γ̇(·)), задаваемый своими координатамив подвижной системе координат 1 2 3 .Уравнения(6), (7)можно записать в следующем виде:R̈ = F0 + F1 + F2 ,(8)L̇ = M,(9)где первое слагаемое в правой части(8)соответствует классической зада-че двух тел, а второе и третье слагаемые — возмущающие силы, возникшиевследствие того, что одно из тел является не материальной точкой, а деформируемым вязкоупругим шаром.
Уравнения(8)–(9)имеют первый инте-грал — закон сохранения момента количества движения относительно центрамасс системы «планета-спутник»: R × Ṙ + L = G0 ,где =, G0 — постоянный+(10)вектор.В §1.4 исследуется стационарное движение спутника и его устойчивостьдля ограниченной постановки задачи, когда масса планеты много больше12массы спутника и угловую скорость вращения планетыΩ = Γможно счи-тать постоянной. Рассматриваются два случая движения: плоское (движениеспутника происходит в плоскости1 2, а вращение шара осуществляетсявокруг нормали к этой плоскости) и пространственное движение.
В обоихслучаях имеется стационарное решение, которое является неустойчивым.Уравнения движения спутника выписываются в сферических координатах. Для пространственного случая векторR = ( cos sin ; sin sin ; cos ), а уравнения принимают⎧⎪¨ − ˙ 2 − ˙ 2 sin2 + 0 +⎪⎪⎪2{︂}︂⎪⎪(︀)︀⎪618⎪⎨˙ = 0,+ 4 Ω2 1 − 3 cos2 + 3 +4(︁)︁(︁)︁6⎪⎪¨˙˙˙˙⎪ + 2 sin + 2 ˙ cos +sin − Ω = 0,⎪7⎪⎪⎪6 ⎪⎩¨ + 2˙ ˙ − ˙ 2 sin cos − 4 Ω2 sin 2 +˙ = 0,73 2 ( + ), Ω = |Ω|.где =Система уравнений(11)вид:(11)имеет стационарное решение: = /2, ˙ = Ω, = * ,(12)2где*является корнем уравненияПолученное решениеорбите радиуса*(12)0Ω6 ++= Ω2 .358соответствует движению спутника по круговойв экваториальной плоскости планеты с орбитальной ско-ростью, равной угловой скорости вращения планеты.Показано, что данное стационарное решение является неустойчивым.Для дальнейшего исследования системы в §1.5 вводятся переменные Делоне, , , , ℎ, .Рассмотрены два случая: плоского и пространствен-ного движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
