Автореферат (1091537), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Выписаны канонические уравнения движения механическойсистемы и произведено их усреднение по быстрой угловой переменной. Врезультате получена замкнутая система обыкновенных дифференциальныхуравнений относительно переменных «действие» и медленных угловых переменных.Невозмущенный гамильтониан задачи в переменных Делоне имеет вид:02 30 = − 22, а дополнительный член возмущенного гамильтониана равен1 = −1{︂Ω2(R, Ω)2+−6 335}︂.Таким образом, гамильтониан задачи равен = 0 + 1 .13Канонические уравнения возмущенного движения в переменных Делонеимеют вид:11+ ,˙ = () + − ,˙ = −11˙ = −+ ,˙ = − ,11˙ = −+ ℎ ,ℎ̇ = − ,ℎ02 3, а обобщенные силы , , ℎ , , , где () =3(13)определяютсяиз выражения для элементарной работы: = F2 · R = ( + + ℎ ℎ + + + ).После вычисления обобщенных сил и усреднения правых частей уравнений(13)по «быстрой» угловой переменнойзамкнутая система обыкновен-ных дифференциальных уравнений относительно переменных «действие», и медленных угловых переменных4, ℎпринимает вид:}︁1 2 3/2Ω cos (1 − ) 2 () − 3 () ,(1 − 2 )15/2}︁1 4 {︁2 3/2˙=Ω cos (1 − ) 1 () − 2 () ,(1 − 2 )6{︂[︂(︂)︂424131Ω(1 − 2 )3/2 1 () −sin2 −˙ =++26(1 − )2416)︂]︂}︂(︂ 243sin2 · sin2 − 2 () cos ,−+24(︁)︁ ⎫⎧423(︂)︂⎬15 1 + 2 + 82 7/3 ⎨ 51222˙ =cos −Ω + +(1 − 2 )2 ⎩ 22( + )(1 − 2 )3 ⎭{︂ 2}︂3 13/334+Ω · cos · sin 2 ·+,(1 − 2 )524{︂ 2}︂2 7/3 23 13/334ℎ̇ = −Ω cos −Ω · sin 2+.(1 − 2 )2(1 − 2 )52402 33 4152 454 562Здесь =, 1 () = 1 + 3 + , 2 () = 1 +++,382816312 2554 1856 2583 () = 1 ++++,28166427()2 09()011 =, 2 =,=.32/32/370( + )1402˙ =,{︁00(14)14ℎ отделяется от остальных уравненийне зависят от ℎ.
Используя первые триУравнение для угловой переменнойсистемы(14),правые части которыхуравнения системы(14),можно получить эволюционную систему уравненийотносительно среднего движения спутника по орбите,эксцентриситетаи:}︁63 16/3 {︁2 3/2˙ = −Ω cos (1 − ) 2 () − 3 () ,(1 − 2 )15/2}︁23 13/3 {︁2 3/2˙ =Ω cos (1 − ) 5 () − 4 () ,(15)(1 − 2 )13/2{︂(︂)︂(︂)︂ }︂23 13/3 sin · Ω 119 3 25=−+− sin 2 +− sin2 4 ,25(1 − )24 216 4135 2 135 4 45 611 33 2 11 4где 4 () = 9 + + + , 5 () =+ + .48642416наклонения орбитыСистема уравнений(15)совместно с четвертым уравнением системы(14)образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений 4-го порядка относительно параметров орбиты спутникаИз последнего уравнения системы, , , .(15)следует, что или ≡ 0,или накло-нение орбиты во все время движения монотонно уменьшается.Рис. 2.
Фазовый портрет системы (, ˜)Фазовый портрет системы уравненийпеременных(, ˜ ),где˜ = Ω−1(15)в случае ≡ 0в плоскостиизображен на рис. 2.В 2004 году российскими астрономами было установлено, что ежегодноЗемля удаляется от Солнца в среднем на 15 сантиметров. Используя этотфакт, получены средние скорости изменения больших полуосей орбит других планет Солнечной системы в рамках рассматриваемой в данной работемодели.15Вторая глава посвящена задаче о движении спутника в гравитацион-ном поле вязкоупругой планеты без ограничения постоянства вектора угловой скорости вращения планеты. В §2.1 исследуется стационарное движениеспутника и его устойчивость.
вектор кинетического момента−1планеты имеет вид L = Γ , то Γ = L, а с учетом первого интеграла[︁]︁(10) Γ = −1 G0 − R × Ṙ . В этом случае векторное дифференциальноеТак как с точностью до членов порядкауравнение, описывающее орбитальное движение спутника, имеет вид:(16)R̈ = F0 + F1 + F2 ,0R,3 {︃2(R, G0 )(G0 − R × Ṙ)(G0 − R × Ṙ)2F1 = −1R+−2 52 5}︂5R(R, G0 )2 6 −+ 8R ,2 7[︁]︁⎫⎧⎨ ṘG0 − R × Ṙ × R ⎬2˙+R−F2 = −2,⎭⎩ 8 98F0 = −30 2 , 2 = 6 1 .Компоненты векторов R, Ṙ, G0 в уравнении (16) задаются в инерциальнойсистеме координат , ось которой без ограничения общности можнонаправить по вектору G0 , т.е.
G0 = (0, 0, 0 ).1 =Система уравнений движения спутника в сферических координатах имеетстационарное решение: = , ˙ =является корнем уравнения0 − 2 − 4˙2{︂20 6 + 32}︂0, = /2, + 2где величина2 2 ˙ 220 ˙− 2+ = 0. (17) ( + )22 2 ( + )Полученное решение соответствует движению спутника по круговой орбите радиусажении пов плоскости, ортогональной векторууравнение(17)G0 .В нулевом прибли-может иметь не более двух решений. В случаесуществования двух решений (1 и2 , 1 < 2 )произведено исследова-ние их устойчивости. Показано, что стационарное решение, соответствующееорбите меньшего радиусатотически устойчивым.1 , является неустойчивым, а большего 2 – асимп-16В §2.2 выводится эволюционная система уравнений для неограниченнойзадачи. На первом шаге выписывается система уравнений движения системы«планета-спутник» в канонических переменных Делоне.После усреднения правых частей канонических уравнений выводится эволюционная система уравнений орбитального движения спутника в безразмер-0 , , , , ℎ, где 0 = −10 , — среднее движение спутникапо орбите, — эксцентриситет орбиты спутника, — наклонение орбиты, —долгота перигелия от восходящего узла, ℎ — долгота восходящего узла.ных переменныхВ §2.3 рассматриваются частные случаи движения спутника: плоское движение, когда наклонение орбиты спутника равен нулю, и движение, когдаэксцентриситет орбиты равен нулю.В первом случае стационарные решения соответствующей системы дифференциальных уравнений относительногде значение0 +1/30*0иимеют вид:0 = 0* , = 0,является корнем уравнения(18)= 1.0Во втором случае получена замкнутая система дифференциальных уравнений относительно параметров0и, имеющая0* являетсястационарные решения0 = 0* , = 0.
Стационарное решениекорнем уравнения (18).−4/3−4/3Если > 3 · 4, то уравнение (18) решений не имеет. При = 3 · 4−4/3уравнение (18) имеет одно решение 0 = 1/4. Если < 3 · 4, то уравнение(18) имеет два решения 01 и 02 : 01 < 1/4 < 02 .Показано, что значение 01 соответствует асимптотически устойчивымстационарным решениям, а 02 — неустойчивым.а)б)Рис. 3. Фазовые портреты для случаев: а) ≡ 0, б) ≡ 0На рис. 3 изображены фазовые портреты в плоскости переменныхи(, 0 )при значении параметра = 0.375.(, 0 )17Найдены численные значения параметра02и значение величины0 = 0 (0),стационарные значения01 ,на эпоху J2000 для различных систем«планета-спутник» Солнечной системы.Для всех рассмотренных примеров, за исключением системы Марс-Фобос,имеет место двойное неравенство:01 < 0 (0) < 02 .
Значение переменной 0во время движения уменьшается. Это означает, что большие полуоси орбитспутников увеличиваются, стремясь к асимптотически устойчивым стационарным значениям. При этом для спутников Юпитера и спутника Марса0 (0) ближе к неустойчивому стационарному значению 02 , а для системы Земля-Луна 0 (0) ближе к асимптотически устойчивому значению 01 . Для системы Марс-Фобос 01 < 02 < 0 (0).
Значение переменной 0 для Фобоса увеличивается. Так как безразмерная переменная 0 связана с большой полуосью орбиты спутника соотношением)︀2/31/3 (︀ = 0 / 0 −1 0, то большая полуось орбиты Фобоса уменьшается, т.е.Деймоса текущее значениеФобос приближается к Марсу. В §2.4 производится дальнейшее усреднениеРис. 4. Интерфейс программы 3D визуализации движения спутникасистемы(15)по угловой переменной.На основе полученной системы эво-люционных уравнений для некоторых планет Солнечной системы и их спутников проведено численное интегрирование уравнений в будущее с помощьюпрограммного комплекса типа Octave, построены графики, отображающие18эволюцию эксцентриситета,наклоненияи безразмерного параметра0 ,пропорционального среднему движению по орбите.Произведено сравнение полученных результатов с другими исследованиями.В §2.4.1 дается описание разработанной программы для численного интегрирования системы эволюционных уравнений, построения эволюционныхграфиков параметров орбиты спутника и 3D-визуализации движения спутника (рис.
4).В третьей главе рассматривается задача о движении спутника в полепритяжения планеты с ядром (рис. 5). В §3.1 формулируется постановказадачи для механической системы «спутник-планета с ядром» и выводятсяуравнения движения.В отличие от модели, рассмотренной в первой и второй главах, планета моделируется телом, состоящим из твердого ядра и вязкоупругой оболочки, занимающим область = 0 ∪ 1в трехмерном евклидовом про-странстве при отсутствии деформаций. Здесь0 ={︀r ∈ 3 : |r| ≤ 0}︀,1 =}︀{︀r ∈ 3 : 0 < |r| ≤ 1 . 0 , 1 — плотности ядра и вязкоупругой оболочки соответственно, а 0 , 1 — их массы.
Предполагается, что материал оболочкипланеты является однородным и изотропным. Спутник, как и ранее, моделируется материальной точкойс массой.Рис. 5Из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа получена система интегро-дифференциальных уравнений движения исследуемой механической системы.Раздел §3.2 посвящен исследованию деформаций вязкоупругой оболочкипланеты с ядром.19В §3.2.1 решается краевая задача теории упругости для вязкоупругогошара с ядром для определения первого приближениясмещения по степеням малого параметра.u1вектора упругогоКраевые условия состоят в ра-венстве нулю вектора упругого смещения для точек внутренней поверхностисферической оболочки, прикрепленной к твердому ядру, и равенстве нулюнапряжений на внешней поверхности сферической оболочки.Решение соответствующей краевой задачи имеет вид:(19)u = u1 = (u10 + u11 + u12 ),где{︃3}︃2u10 = 1 2 1 2 + 2 + 3 r,(20)3]︂{︂(︂)︂ [︂143u11 = 11 2 + 2 + 3 + 5 · 2 r − (, r) +3(︂)︂ [︂]︂ }︂6 71 2 2 1+ 5 + 5 + 7 − (, r)2 r ,62(︃)︃ {︂(︂)︂ [︂]︂3˙3 413 121+·1 + 2 + 3 + 5r − (, r) +u12 = −33(︂)︂ [︂]︂ }︂6 71 2 1+ 5 + 5 + 7 − (, r)2 r −62{︂(︂)︂]︁3 13 4 [︁ ˙2˙−1 + 2 + 3 + 5 (, r) + (, r) +3(︂)︂}︂6 7˙ r)(, r)r .5 + 5 + 7 (,−1Здесь = Γ R/, = |R|, = ||.
Коэффициенты , ( =1, 2, 3, = 1, .., 7) в формулах (20) являются дробно-рациональными функциями, зависящими от коэффициента Пуассона , а также внутреннего ивнешнего радиусов оболочки 0 , 1 . Зависимость от времени вектор-функцииu, определяемой равенством (19), осуществляется через величины R, , согласно невозмущенной задаче:R̈ +0R = 0,3˙ = 0,=(︀)︀]︀8 [︀ 50 0 + 1 15 − 05 .15На основе полученного решения исследуется деформация вязкоупругойоболочки планеты. Получены уравнения для описания поверхности вращающейся деформируемой планеты без учёта приливных деформаций, а такжевыражение, позволяющее определить величину приливного горба, создава-20емого на поверхности планеты спутником. В качестве примера рассмотренасистема Земля-Луна и получено отношение внутреннего и внешнего радиусоввязкоупругого слоя планеты.В §3.2.2 рассматриваются приливные деформации планеты в гравитационном поле притягивающего центра и спутника.
Спутник моделируется материальной точкой. Система планета-спутник движется относительно общегоцентра масс, который в свою очередь совершает движение по кеплеровскойорбите относительно неподвижного притягивающего центра. Предполагается, что масса спутника много меньше массы планеты, которая много меньшемассы притягивающего центра.Получена в явном виде функция1 (r , ),описывающая зависимостьвеличины приливного горба в фиксированной точке поверхности планеты откоординаты этой точки и времени. Рассмотрен плоский случай, когда движение спутника, притягивающего центра и центра масс планеты происходитв одной плоскости. Полученные теоретические результаты были примененыдля исследования приливных деформаций на поверхности Земли в системеСолнце-Земля-Луна.Введена безразмерная функция, характеризующая отношение величиныприливного горба в данной точке поверхности планеты к максимальному значению равновесного лунного прилива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
