Нелинейные механические свойства резин и резинокордных композитов и работоспособность деталей шин (1090180), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Результаты аппроксимацииэкспериментальной зависимости () выражениями (2.2.13) и другимиизвестными соотношениями мы изложим в разделе 2.7 Мы увидим, чтоточность аппроксимации эксперимента не хуже, чем с использованиемвыражений (2.2.2). Это послужит основанием для обретения определеннойуверенности в том, что и в произвольном сложном НДС определяющиесоотношения (2.2.12) хорошо опишут поведение наполненной резины.Однако для сопоставления с экспериментом необходимо иметьрезультаты испытаний в условиях произвольного сложного НДС. Влитературе, как было отмечено выше, такие данные отсутствуют.Следующие разделы главы посвящены описанию сложного НДС иэкспериментально-расчетному методу определения плотности энергиидеформации в произвольном однородном сложном НДС.972.3Сложное НДС как суперпозиция чистого и простого сдвигов.Теоретическоеобоснованиеметодаоснованонатеореме,утверждающей, что любое сложное НДС может быть полученосуперпозицией двух простых видов деформирования, например, двухрастяжений по главным осям ([261], с.

42). Нами принята суперпозициячистого и простого сдвигов (рис. 2.3.1). С одной стороны, такие условиядеформирования характерны для резины между нитями корда, с другой это удобно для предлагаемой практической реализации в видедополнительной оснастки к стандартной разрывной машине (см. раздел2.7).Схема деформирования при суперпозиции чистого и простогоYРис.2.3.1 Деформированиерезинового образца.Жирные линии – исходноесостояние (кубик) иконечное (суперпозициячистого и простогосдвигов); тонкие – чистыйсдвиг.yXy0Zсдвигов приведена на рис.

2.3.1 и 2.3.2. y = y/y0 - величина деформациичистого сдвига по оси Y; = tg  - величина простого сдвига вдоль осиX.При сдвигесоотношениями:[5]деформации1  2 = 1,поглавным3 = 1.осямсвязаны(2.3.1)98Главные оси «1» и «2» лежат в плоскости рисунка. Здесь и далееиспользовано условие несжимаемости резины:1  2  2 = 1.(2.3.2)Простой сдвиг от чистого сдвига отличается способом реализации (рис.2.3.1), а также тем, что при простом сдвиге, в отличие от чистого,происходит поворот главных осей относительно деформируемого тела.Для определения направлений главных осей деформации введемединичный вектор i, расположенный под углом  к оси Y (рис.2.3.2).YРис. 2.3.2Положениеединичного векторадо деформации (i)и после (i)iiXВ результате деформирования i перейдет в i'. Длина вектора i' зависитот .

Требуется найти значения  и , при которых длина i' имеетмаксимальное и минимальное значения. Углы  i max и imin определяютглавные направления, которые отличаются на 900, а значения imax и imin величины главных удлинений.Исходные проекции i на оси координат:i x  sini y  cos  .(2.3.3)В результате деформации чистого сдвига:i x  sini y   y cos  .(2.3.4)99Деформация простого сдвига  по оси x, приложенная после чистогосдвига, приводит к соотношениям:ix  sin   y    cos iy   y  cos  .(2.3.5)Квадрат длины вектора i определяется соотношением, следующимиз (2.3.5):i 2ix2iy2tg 2   2   y    tg  2y (  2  1)1  tg 2 .(2.3.6)Условие экстремума для длины вектора i : 2 i 0.Продифференцировав выражение (2.3.6), получим:sin 2  1  2y   2  2y   2   y    cos 2  0 .(2.3.7)2Из (2.3.7) найдем значение угла , при котором i экстремален:tg2 2  y  2y 1   2   1.(2.3.8)Направления главных осей определяются углом  (рис.

2.3.2),который связан с углом  соотношением:i tgtg   x  .iyy(2.3.9)Из (2.3.8) можно получить значение для tg, соответствующеенаправлениям главных осей:2tg 1, 2 11222114 22y2y y.22yПодставив (2.3.10) в (2.3.9), получим(2.3.10)1002 11222114 22y2yytg 1, 2   .2(2.3.11)Перпендикулярность главных осей следует из соотношенийtg1 tg2= -1tg1 tg2= -1,(2.3.12)справедливость которых легко проверяется прямой подстановкой.Удлинения по главным осям 1 и 2 определяются по формуле(2.3.6) подстановкой значений tg1 и tg2 из (2.3.10):21  ix2  1   iy2  1 22  ix2  2   iy2  2 .(2.3.13)Изложим иной способ расчета главных удлинений и главныхнаправлений.

Рассмотрим эллипс, в который превращается единичнаяокружность после наложения деформаций чистого и простого сдвигов(рис. 2.3.2). Его уравнение может быть получено из соотношений,следующих из (2.3.5):X  x   y    y;Y   y  y;x 2  y 2  1.(2.3.14)Здесь:x, y – координаты точек единичной окружности до деформирования;X, Y – координаты точек эллипса (центр окружности и центр эллипсанаходятся в начале координат).Из (2.3.14) получим1 X 2  2 XY  Y 2   2  2   1 y (2.3.15)Для нахождения главных осей построим характеристическоеуравнение ( - корни характеристического уравнения):1Его решение:2  0.12y1012 1, 2 11  2  2y2 1   2  12  y 1 24y(2.3.16)Запишем уравнение эллипса в каноническом виде:X2 Y2 2  1.a2bГлавные удлинения, равные полуосям эллипса a и b, определяютсясоотношениями [262]:1  a 21.21   2  12y2 y 211, 2  b ,122121    2 y 1  2 4y (2.3.17)Угол , определяющий направление главных осей, задаетсясоотношением [263]tg2  211   2y(2.3.18)2Легко показать, что направления главных осей из (2.3.18) совпадаютс (2.3.11).Таким образом, задача построения инвариантов тензора деформации,исходя из величин простого сдвига  и чистого сдвига y, решена.В Приложении 1 дано решение задачи Вайссенберга сиспользованием результатов данного раздела.2.4Частный случай простого сдвига.Деформация простого сдвига достаточно часто реализуется влабораторных экспериментах и ее описание представляется вполне102уместным как с точки зрения проверки правильности результатовпредыдущего раздела, так и с целью использования при компьютерноммоделировании НДС шин или иных резинотехнических изделий.Для получения соотношений для простого сдвига следуетприравнять к единице величину y, характеризующую чистый сдвиг.Главные деформации в соответствии с (2.3.6) и (2.3.13) запишутся в виде21, 2  i12, 2  1   2  cos 2     sin 2 .(2.4.1)С использованием (2.3.10) и (2.3.11) соответствующие выражения дляуглов  и , определяющих направления главных осей, примут вид:tg 1, 2   2  42tg 1, 2   2  4.2(2.4.2)Из (2.4.2) следует, чтоtg  tg  tg2 2(2.4.3)tg  tg  1    90 0 .Подставив в (2.4.1) вместо cos2 и sin2 их значения, выраженные через ,получим21  2  4 .4Такое же выражение получится с использованием (2.3.17).21, 2 (2.4.4)Из (2.4.4) могут быть получены четыре значения для 1,2.

Выберемиз них те, которые удовлетворяют условиям 1,2   и 1  2 = :  2  41 2   2  42 .2(2.4.5)Из (2.4.5) легко получить связь между  и :1   2  1 11 2   .1  2(2.4.6)103Из сравнения (2.4.2) и (2.4.5) видно, что 1  tg1 2  ctg1 .(2.4.7)Соотношения (2.4.6) и (2.4.7) позволяют достаточно простоописывать деформацию простого сдвига в главных осях. Некоторые изпредставленных выражений для частного случая простого сдвигавстречаются в литературе (см., например, [264], с.

37).2.5 О возможности построения упругого потенциала по результатамодноосного растяжения-сжатия.Известен ряд работ, в которых авторы пытаются построить упругийпотенциал по результатам испытаний резины в условиях одноосногорастяжения – сжатия [65, 67, 68]. Цель этих работ понятна – как ужеотмечалось, проводить эксперименты в сложном НДС достаточноутомительно.Возникает вопрос: а можно ли с определенной (пусть даже не оченьмаленькой) точностью гарантировать результаты в сложном НДС,опираясь на эксперименты растяжения-сжатия?Пусть имеется экспериментальная зависимость плотности энергиидеформации от деформации при одноосном нагружении U(1) длянесжимаемого материала (123 = 1), которая принадлежит поверхностиупругого потенциала U*(1, 2). Тогда1 U  ( 1 ,  2 )  U    1 , U ( 1 ) .1 (2.5.1)Построим упругий потенциал видаU  (  1 ,  2 ) U ( 1 ,  2 )  ABS   ,11   1  Q ( 1 ,  2 )   1   2     2 1   2  (2.5.2)где Q(1,2) - произвольная неотрицательная ограниченная функция,имеющая размерность плотности энергии, симметричная по аргументам и104обращающаяся в ноль при равенстве аргументов единице.

Очевидно, чтопотенциал (2.5.2) удовлетворяет условию (2.5.1), т.е. как и U*(12), онпревращается в функцию U(1) в условиях одноосного нагружения.Следовательно, все потенциалы вида (2.5.2) при разных Q(1,2) будутодинаково хорошо совпадать с экспериментом в условиях одноосногонагружения, но во всех прочих деформированных состояниях могутотличаться друг от друга на сколь угодно большие конечные величины.Итак, по данным одноосного нагружения в самом общем случаеневозможно сказать, как хорошо будут предсказаны свойства в сложномНДС. Каждый раз требуется экспериментальная проверка величиныдопускаемой погрешности.1052.6 Экспериментально-расчетный метод определения плотностиэнергии деформации в зависимости от инвариантов деформацииВ настоящем разделе предлагается метод реализации однородногосложного НДС на стандартных разрывных машинах.

В обзоре говорилосьо том, что сложное НДС до настоящего времени воспроизводят накустарном оборудовании, не обеспечивающем достаточную точность, какпри задании условий испытаний, так и при получении результатов.Основные из этих методов следующие: двухосное растяжение образцатипа «крест»; раздувание с одновременным растяжением резиновогообразца в виде трубы.Нами предложено и изготовлено приспособление, позволяющееиспользовать современное оборудование, такое, как разрывные машинытипа Тензометр Т-10 (ф. Монсанто) и УТС – 10 (Германия).Принципиальная схема приспособления, которое представляет собойпараллелограмм с жесткими сторонами и переменными углами, показанана рис. 2.6.1. Будем в дальнейшем называть его «рамка».

Испытываемыйобразец представляет собой резиновую пластину с размерами 30х165х2(мм). Закрепляя образец в рамке так, как указано на рисунке иприкладывая растягивающее усилие F к вершинам 1 и 2, получаемоднородное деформирование резины, представляющее собой, как ипрежде, суперпозицию чистого и простого сдвигов. Величина чистогосдвига определяется нормальной составляющей перемещения верхнейстороны параллелограмма относительно нижней (b-bо), величина простогосдвига  - углом . Рамка устроена таким образом, что боковые стороныявляются сменными и имеют разные длины.

Эти длины подобраны так,чтобы при деформировании получались разные соотношения деформацийчистого и простого сдвигов.Задача состоит в том, чтобы по перемещениям зажимов разрывноймашины 1 и 2 рассчитать инварианты тензора деформации резиновогообразца. Эта задача может быть решена только в случае высокой степениоднородности НДС резинового образца.106резиновый образец1b02aметаллическая рамкаа)fφf1αbaβ2б)Рис. 2.6.1 Схема приспособления для реализации сложногоНДС, представляющего собой суперпозицию чистого ипростого сдвига:а) до деформированияб) после деформирования107Понятно, что проблема однородности, как и для случая чистогосдвига, связана с отношением b/a.

Характеристики

Список файлов диссертации