Нелинейные механические свойства резин и резинокордных композитов и работоспособность деталей шин (1090180), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Подробно этитеории обсуждаются в главе 1.Возникает вопрос: можно ли построить упругий потенциалнесжимаемого изотропного тела без привлечения дополнительныхпредположений о виде зависимости напряжения от деформации? Ответ нанего может быть получен при более детальном анализе понятияизотропности.Рассмотрим подробнее смысл этого понятия. Безусловно, в процессеодноосного растяжения резина становится анизотропным материалом, чтопроявляется, в частности, в зависимости величины двулучепреломления отприложенного напряжения (закон Брюстера) [41] или в каландровомэффекте [253].

Очевидно, что анизотропия в процессе растяжениявулканизата возникает не скачком, а плавно и в разной степени для разныхсвойств. В этой связи возможно предположение, что в некоторойокрестности вблизи недеформированного состояния величина анизотропиинезначительна. Математически это означает, что закон деформирования поодной из главных осей не должен зависеть от величины деформации подругим осям и все следствия симметрии изотропного состоянияраспространяются и на деформированное состояние (повторим, что этоутверждение выполняется тем точнее, чем меньшим деформациямподвергается материал). На вопрос о том, до каких величин деформацийэто справедливо, может дать ответ в настоящее время только эксперимент.В подтверждение высказанного предположения можно привестирезультаты работы [66], где показано, что анизотропия упругих свойствненаполненного аморфного вулканизата, сшитого в деформированномсостоянии, проявляется не сразу, а только при некоторой конечнойдеформации (3040%).73Приведенные рассуждения можно использовать в качествеобоснования распространения понятия изотропности на деформированноесостояние.

Этими соображениями воспользуемся в предлагаемой теории.Известно, что любое сложное НДС может быть полученосуперпозицией двух простых деформаций по разным главным осям.Рассмотрим процесс последовательного деформирования единичногокубического образца по оси X в 1 раз и по оси Y в 2 раз (рис. 2.1.1).После деформирования по оси Х зафиксируем возникшее при этомусловное (отнесенное к исходному сечению) напряжение 1= 1(1).Заметим, что напряжение 1 равно нагрузке f1, приложенной по оси Х, т.к.площадь грани Y-Z равна единице. Размеры образца при этом будутследующие: x  1 ,y  z 11(2.1.1)Приложим к растянутому по оси Х образцу нагрузку f2=2(2)  1 пооси Y.

(Обратим внимание, что 2 является степенью удлинения тогоразмера, который образовался после растяжения образца по оси X, т.е.величины 1/  1 , а 2() – условное напряжение, отнесенное к томусостоянию образца, которое образовалось после приложения нагрузки f1 пооси X). Очевидно, что при этом размер образца по оси Y увеличится, а поосям X и Z уменьшится. Из принятой гипотезы об изотропности материалав деформированном состоянии следует, что сокращение образца по осям Xи Z произойдет в одинаковое число раз.74Z11a)1XY1б)1-0.5f1f11-0.5f212в)-0.5(21)-0.5f1f121-0.5f2Рис.2.1.1 Схема деформирования единичного кубического образца;а) - исходное состояние, б) - деформированное состояние поддействием нагрузки f1 по оси Х, в) - деформированное состояниепод действием нагрузок f1 по оси Х и f2 по оси Y75В результате размеры деформированного образца x, y, z и степениодноосного растяжения 1, 2 будут связаны соотношениямиx 1;2y 2;11.1 2z (2.1.2)Из соотношений (2.1.2) легко получить обратные зависимости:422 1   x3   y3 ;Покажем,что4 2   x3   y3 .изсоотношений(2.1.2)(2.1.3)и(2.1.3)следуеттождественность функций 1 () и 2 ()  1 .Из (2.1.2) следует, что при 1 = 2 выполняется соотношение y = х.Последнее равенство может быть выполнено только тогда, когда нагрузкиf1 и f2 , действующие по осям X и Y, равны друг другу, или, что то жесамое, 1 ( 1 )   2 ( 2 )  1 .Действительно,дляслучаяупругогодеформирования изотропного тела в виде куба равные приложенныенагрузки по двум перпендикулярным осям вызовут равные деформации поэтим осям.

Приведенные рассуждения справедливы для любых значений1=2, из чего следует тождество 1 ( )   2 ( )   1(2.1.4)Выражение для плотности энергии деформации U0 в зависимости отстепени одноосного удлинения  выводится из следующих очевидныхсоображений (l0- исходный размер испытываемого образца по осиприложения нагрузки; V0 – объем образца в недеформированномсостоянии):l11l01U   f ( l )dl l 0  f ( l 0   )d 11 l 0 S 0   ( l 0   )d  V0   ( )d1(2.1.5)11UU0  ( )dV0 1Запишем выражение для энергии деформирования образца U1 приего одноосном удлинении по оси Х на величину 1:761U1 =()d(2.1.6)1С использованием (2.1.4) и (2.1.5) запишем выражение для энергиидеформирования образца U2 по оси Y на величину 2:21U2 =1 ( )d(2.1.7)1При растяжении по оси Y образец сократился по оси Х и совершилработу U3 (см.

рис. 2.1.1):1 U 3  (  1 )   1   1  2 (2.1.8)Энергия, запасенная образцом в результате деформирования по двумосям, определяется соотношением:U = U1 + U2 - U3(2.1.9)С использованием (2.1.4) - (2.1.8) имеем11U   ( )  d 1121 ()d()111  2 1(2.1.10)Подчеркнем, что () - закон одноосного деформирования изисходного состояния (условное напряжение).Изменим последовательность деформирования,т.е.сначалаодноосно растянем образец по оси Х в 2 раз, затем так же одноосно по осиY в 1 раз.

По аналогии с предыдущими рассуждениями выражение дляэнергии деформирования в этом случае примет вид:21U *   ( )  d 2111  1 ()d()22 1 1Очевидно, что U=U*, т.к. состояния в этих двух случаях,определяемые конечными размерами образца, тождественны.Проведем несложные преобразования:(2.1.11)771 211     d   1 d 2  111  (  1 )   1   1  (  2 )   22 111  1 01   2  1111     d   1    1    1      d   2    2  ;  2   1 1   1 12   d  ( 1 )   1    d  ( 2 )   211111(2.1.12)112Видно, что величины с индексами «1» и «2» стоят по разные сторонызнака равенства.

Используя это, а также соотношениеdU ( ),dполучим из (2.1.12) линейное дифференциальное уравнение()=dUd const  3C11U ( ) (2.1.13)которое имеет строгое решение 2U()  C     3 (2.1.14)Дифференцируя (2.1.14) последовательно два раза, получимвыражения для напряжения  и модуля Е:( )  C  (1  32)(2.1.15)5d 3E( )  C 2d 2(2.1.16)78Подставив (2.1.15) в (2.1.10), получим выражение для плотностиэнергии деформации в произвольном однородном НДС: 1U  C 1  2  3 11  2 2(2.1.17)Используя соотношения (2.1.2), получимU  C  ( x   y   z  3)(2.1.18)Выражение (2.1.18) получено строго с использованием только понятияизотропности, распространенного на деформированное состояние.Очевидно, что оно удовлетворяет требованию инвариантности.Однозначность решения свидетельствует о том, что все прочиепотенциалы не удовлетворяют требованию изотропности деформирования,сформулированному выше.Потенциал вида (2.1.18), называемый потенциалом Хазановича –Бартенева, достаточно давно обсуждается в литературе.

Он являетсячастным случаем общего выражения для зависимости плотности энергиидеформации от инвариантов деформации в виде полиномаU   C ij J 1  3  J 2  3 ij(2.1.19)i,jгде J1 и J2 - любые независимые инварианты, а не только квадратичные,как это принято, в частности, в [5, 48].

Теоретическое обоснованиевыражения (2.1.18) с точки зрения простых представлений о сеточнойструктуре резины дано в [43], а в работах [44-46] описаны результатыэксперимента.Показано,чтовсравнениисдругимиоднопараметрическими выражениями потенциал (2.1.18) лучше описываетповедение ненаполненных резин не только при одноосномдеформировании, но и во многих видах сложного НДС.Используя (2.1.2), (2.1.3) и (2.1.15), легко получить выражения длянапряжений x и y через удлинения по главным осям x и y x  C  (1 1)2x   y y  C  (1 1) x  2y(2.1.20)79В таблице 2.1.1 приведены экспериментальные данные Трилора [48,54] по двуосному растяжению и расчетные данные по формулам (2.1.20). f1и f2 – массы грузов в граммах, создающих натяжения по двум осям.Значение константы С в уравнении (2.1.10) определяли методомнаименьших квадратов.

Хорошо видно, что в области малых деформацийсогласие теории и эксперимента практически идеальное. Некоторыеотклонения наблюдаются при деформациях, приближающихся к 50%.В заключение следует еще раз подчеркнуть, что в прикладномсмысле при расчетах резинотехнических изделий и шин не оченьинтересно поведение материала при больших деформациях, но весьмаважную роль играет правильное описание НДС в диапазоне =1.0  1.5. Вэтой области идея о сохранении изотропности, лежащая в основе всегоизложенного, представляется обоснованной для ненаполненных резин.

Обэтом свидетельствуют приведенные экспериментальные данные.Следующим шагом будет построение теории и получениеэкспериментальных данных для наполненных резин в произвольномсложном НДС. Мы увидим, что присутствие активного наполнителясущественно меняет не только количественные, но и качественныехарактеристики поведения резины. Мы обнаружим, что идея обизотропности, вполне себя оправдавшая для ненаполненных резин вобласти средних и особенно малых деформаций, не годится для шинныхрезин даже при малых, до 5%, деформациях. В чем причина такогоповедения? – ответ на этот вопрос представляется весьма важным, однакоего обсуждение выходит за рамки данного исследования.

Характеристики

Список файлов диссертации