3 (1084738), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

69

где L/B — отношение высоты к ширине опоры моста. Эта величина

безразмерна, остальные шесть переменных имеют размерность.

Переменные размерные величины м, g, p, как и V, S, р, подлежат изучению при условии, что функция F0 будет представлена в крите­риальном виде.

При использовании метода анализа размерностей возможны лишь три безразмерные величины. Применительно к (3.33), запи­шем

В качестве основных размерностей принимаем м/сек, кгс, кгс - сек^2/м^2², т. е. для V, 5, р. При этом [F] = [V^х, S^y, р^z²] или кгc=(м/ceк)^x • (м^2)^y ' (кгс • сек^2/м^4)². Из этого выражения находим показатели степеней, принимая числитель со знаком +. знамена­тель — со знаком —: показатель кгс — 1=z; показатель м — 0 == = х + 2y — 4z; показатель сек, — 0 = —х + 2z.

Решая эти уравнения, имеем г = 1, х = 2, у = 1. Таким же обра­зом x1= 1; y1= 0,5; z1= 1; x2= 2; y2= —0,5; z2= 0; z3= 2; y3= 0;

z3= 1.

Отсюда запишем

Эта формула позволит исследовать процесс обтекания опоры моста в различных вариантах размеров l, В, скоростей V при условии равенства критериев подобия. Ее можно также использовать для анализа процесса методом теории подобия на моделях.

§ 5. Вероятностно-статистические методы исследований

В строительстве необходимо исследовать не только детерминированные, но и случайные вероятностные (стохастические) процессы.

Все строительные процессы выполняются в условиях непрерывно меняющейся обстановки (переброска бригад на объекты, вынужден­ные простои машин, перебои с поставками материалов, неравномер­ная работа транспорта, непрерывное изменение метеорологических

факторов и т. д.). Те или иные события могут произойти или не про- изойти. В связи с этим приходится анализировать случайные, вероятностные или стохастические связи, в которых каждому аргументу соответствует множество значений функции. Наблюдения по­казали, что, несмотря на случайный характер связи, рассеивание имеет вполне определенные закономерности. Для таких статистиче­ских законов теория вероятностей позволяет предсказать исход не одного какого-либо события, а средний результат случайных собы­тий и тем точнее, чем больше число анализируемых явлений.

70

Несмотря на случайный характер событий, они подчиняются определенным закономерностям, рассматриваемым в теории вероят­ностей.

Теория вероятностей является математическим отражением за­конов, изучает случайные события и базируется на следующих основных показателях.

Под совокупностью понимают множество однородных событий. Совокупность случайной величины х составляет первичный статистический материал. Совокупность, содержащая самые различ­ные варианты массового явления, называют генеральной совокуп­ностью или большой выборкой N. Обычно изучают лишь часть гене­ральной совокупности, называемой выборочной совокупностью или малой выборкой N1

Вероятностью Р(х) события х называют отношение числа случаев N(x), которые приводят к наступлению события х к общему числу возможных случаев N:

Теория вероятностей рассматривает теоретические распределе­ния случайных величии и их характеристики. Математическая ста­тистика занимается способами обработки и анализа эмпирических событий. Эти две родственные науки составляют единую математи­ческую теорию массовых случайных процессов, широко применяе­мую для анализа научных исследований.

В математической статистике важное значение имеет понятие о частоте события у(х), представляющего собой отношение числа слу­чаев y(х), при которых имело место событие, к общему числу собы­тий л:

(3.40)

При неограниченном возрастании числа событий, частота у(х) стремится к вероятности Р(х).

Допустим, имеются статистические наблюдения за количеством автомобилей Xi, прибывающих ежечасно на склад:

71

А бсолютная частота yi или относительная характеризует вероятность появлений случайной величины. Относительные частоты представляют собой ряд распределения (рис. 3.8), а плавная кривая — закон (функцию) распределения F(x).

Вероятность случайной величины (события) — это количествен­ная оценка возможности ее появления. Достоверное событие имеет вероятность Р = 1, невозможное событие — Р = 0. Следовательно, для¹ случайного события 0 =< Р(х) =< 1, а сумма вероятностей всех возможных значений

(3.41)

В исследованиях иногда недоста­точно знать одну функцию распреде­ления. Необходимо еще иметь ее характеристики: среднеарифмети-ческое, математическое ожидание, дисперсию, размах ряда распределения.

Пусть среди n событий случайная величина x1 повторяется n1 раз, ве­личина x2— n2 раза и п. Тогда сред-

неарифметическое значение x имеет вид

(3.42)

Размах можно использовать для ориентировочной оценки ва­риации ряда событий:

(3.43)

где — максимальное и минимальное значение измерен­ной величины или погрешности.

Если вместо эмпирических частот y1…yn принять их вероятно­сти P1…Pn, то получим важную характеристику функции распре­деления — математическое ожидание:

(3.44)

По формуле (3.44) математическое ожидание равно m(x)= 1 • 0,10 + 2 • 0,15 + 3 • 0,45 + 4 • 0,30 + 5 • 0 == 2,95.

72

Для непрерывных случайных Величин математическое ожидание равно

(3.45)

т. е. оно равно действительному значению xд наблюдаемых событий. Таким образом, если систематические погрешности измерений пол­ностью исключены, то истинное значение измеряемой величины рав­но математическому ожиданию, а соответствующая ему абсцисса называется центром распределения.

Дисперсия характеризует рассеивание случайной величины по отношению к математическому ожиданию и вычисляется с помощью формулы

(3.46)

Важной характеристикой теоретической кривой распределения является среднеквадратичное отклонение или стандарт:

(3.47)

Площадь, расположенная под кривой распределения, соответ­ствует единице вследствие того, что кривая охватывает все значения случайных величин, т. е. все результаты измерений. Для одной и той же площади можно построить большое количество кривых рас­пределения, т. е. они могут иметь различное рассеяние. Мерой рас­сеяния (точности измерений) является дисперсия или среднеквадра­тичное отклонение.

Коэффициент вариации

(3.48)

применяется для сравнения интенсивности рассеяния в различных совокупностях, определяется в относительных единицах, Кв < 1.

Выше были рассмотрены основные характеристики теоретиче­ской кривой распределения, которые анализирует теория вероятно­стей. В статистике оперируют с эмпирическими распределениями. Основной задачей статистики является подбор теоретических кри­вых по имеющемуся эмпирическому закону распределения.

Пусть в результате п измерений случайной величины получен вариационный ряд x1, x2, x3 ...,xn. Первичная обработка таких рядов сводится к следующему:

группируют xi в интервалы и устанавливают для каждого из них частоты yi и yoi;

по значениям xi и yoi строят ступенчатую гистограмму частот; вычисляют характеристики эмпирической кривой распреде­ления.

73

Основными характеристиками эмпирического распределения являются среднеарифметическое значение

дисперсия

(3.49)

(3.50)

и среднеквадратичное отклонение

Значениям 'х, Д, б эмпирического распределения соответст­вуют величины х, Д(x:), б(х) теоретического распределения.

Рис. 3. 9. Общий вид кривой нормального распределе­ния:

б — m(х) =/= 0 ; б — m(х) = 0.

Рассмотрим основные теоретические кривые распределения. Наиболее часто в исследованиях применяют закон нормаль­ного распределения

(рис. 3.9):

(3.51)

Это уравнение соответствует функции нормального распределе­ния при m(х) =/= 0. Если совместить ось ординат с точкой т, т. е. m(х) == 0, и принять б²= 1, то закон нормального распределения описывается зависимостью (за единицу масштаба принята ди­сперсия б²).

(3.52)

Эта формула более проста и чаще применяется при анализе. Для оценки рассеяния обычно пользуются величиной а. Чем

меньше а, тем меньше рассеяние, т. е. большинство наблюдений мало

отличается друг от друга (рис. 3.10).

74

Таким образом, чем меньше о, тем больше сходимость результа­тов измерений, а ряд измерений более точен. Как видно из уравне­ний (3.51) — (3.52), среднеквадратичное отклонение определяет закон распределения.

Рис. 3. 10. Характер рассеяния кривой нормального распределения:

1 — б = 0,5; 2 — б = 1,0; 3 — б = 2,0.

Рис. 3. 11. Общий вид кривой распределения Пуассона.

Среднеквадратичное отклонение +б и -б соответствует точкам перегиба кривой (заштрихованная площадь на рис. 3.10). Вероят­ность тоге, что случайные события не выйдут за эти пределы, равна 0,683. В общем случае, для предела ±tб вероятность того, что со­бытие Xi попадает в данный предел, вычисляется по распределению Лапласа

Характеристики

Список файлов лекций